直线的交点坐标和距离公式

(能用解方程组的方法求两直线的交点坐标/掌握两点间的距离公式/点到直线的距离公式/会求两条平行直线间的距离),8.3直线的交点坐标与距离公式,1两条直线是否相交的判断两直线是否有公共点，要看它们的方程是否有公共解因此只要将两条直线L1和L2的方程联立(1)若方程组无解，则L1/L2；(2)若方程组有且只有一个解，则L1与L2相交；(3)若方程组有无数解，则L1与L2重合,2点到直线距离公式点P(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离为：3两平行线间的距离公式已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：AxByC10，l2：AxByC20，则l1与l2的距离为,1过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与直线yxm平行，则|AB|的值为()A6B.C2D不能确定答案：B2已知点(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a等于()A.B2C.1D.1答案：C,3直线l1经过点A(3,0)，直线l2经过点B(0,4)，且l1l2，用d表示l1，l2间的距离，则()Ad5B3d5C0d5D0d5答案：D4直线l过点(2,1)，且原点到l的距离是1，那么l的方程是()Ax1或3x4y50By1或3x4y50Cy1或4x3y50Dx1或4x3y50答案：C,直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20的交点：1可通过解方程组求得，若方程组有唯一解，则l1与l2相交；若方程组无解，则直线l1l2；若方程组有无数组解，则l1与l2重合2方程(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0表示过l1与l2交点的直线，但不能表示直线l2：A2xB2yC20.如yy0k(xx0)不表示直线xx00.,【例1】直线l被两条直线l1：4xy30和l2：3x5y50截得的线段的中点为P(1,2)，求直线l的方程解答：解法一：设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，由已知条件，则直线l与l2的交点为B(2x0,4y0)，并且满足即解得因此直线l的方程为，即3xy10.,解法二：设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由得x由得x则2，解得k3.因此所求直线方程为y23(x1)，即3xy10.解法三：两直线l1和l2的方程为(4xy3)(3x5y5)0，将上述方程中(x，y)换成(2x,4y)整理可得l1与l2关于(1,2)对称图形的方程：(4xy1)(3x5y31)0.整理得3xy10.,变式1.如图，设一直线过点(1,1)，它被两平行直线l1：x2y10，l2：x2y30所截的线段的中点在直线l3：xy10上，求其方程解答：与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x2y20.设所求直线方程为(x2y2)(xy1)0，即(1)x(2)y20.又直线过A(1,1)，(1)(1)(2)120.解得所求直线方程为2x7y50.,1.点P(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d在使用点到直线距离公式时，要注意将直线方程化为一般式，利用点到直线的距离公式可求三角形的高线的长度等2使用两平行线间的距离公式时，直线方程要化为一般式，同时要使x、y前面的系数相等,求过点P(1,2)且与点A(2,3)和B(4,5)的距离相等的直线l的方程解答：解法一：设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由题意知即|3k1|3k3|，k.直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当直线l的斜率不存在时，直线方程为x1，也适合题意,【例2】,解法二：当ABl时，有kkAB，直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当l过AB中点时，线段AB中点为(1,4)直线AB方程为x1，故所求直线l的方程为x3y50，或x1.,变式2.如图所示，正方形的中心点为C(1，0)，一条边所在的直线方程是x3y50，求其他三边所在直线的方程解答：设与x3y50平行的直线为x3yC10，由题意C15或C17.所求直线的方程为x3y70.设与x3y50垂直的直线为3xyC20，由题意C29或C23.所求直线的方程为3xy90或3xy30.,如直线l：(13)x(12)y(25)0，无论取任何实数直线l恒过一定点，定点坐标的求法大致有两种：(1)将直线方程转化为(xy2)(3x2y5)0，通过解方程组(2)也可令0，1通过特殊情况求出定点的坐标，然后证明定点坐标满足方程(13)x(12)y(25)0.,【例3】设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)(1)若l在两坐标轴的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围解答：(1)若a2，直线方程为3xy0；显然a1，当a2时直线方程可化为：因此所求直线方程为3xy0或xy20.,(2)由(a1)xy2a0得a(x1)(xy2)0.无论a取何值，直线l过A(1，3)点，则直线l的斜率k0，即(a1)0.解得a1.,变式3.点P(2，1)到直线l：(13)x(12)y25的距离为d，则d的取值范围是()解析：本题考查数形结合思想，以及分析、转化能力本题要直接解很困难，注意到本题的形式结构，符合直线系的形式，故可从几何意义的角度考虑问题,将直线l的方程变为：xy2(3x2y5)0，它表示过直线l1：xy20，l2：3x2y50的交点且不包含第二条直线的所有直线显然当直线过点P时距离最小为0，当直线过交点B(1,1)且与PB垂直时距离d最大为，但此时直线与已知直线l2重合，所以0d.答案：A,【方法规律】,1求两直线交点坐标就是解方程组即把几何问题转化为代数问题2要理解“点点距”、“点线距”、“线线距”之间的联系及各公式的特点特别提示：求两平行线间的距离时，一定化成l1：AxByC10，l2：AxByC20的形式3注意归纳题目类型体会题目所蕴含的数学思想方法如数形结合的思想；方程与函数的思想；分类讨论的思想.,(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合(如图所示)将矩形折叠，使A点落在线段DC上(1)若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；(2)求折痕的长的最大值,【答题模板】,解答：(1)设折叠后A在DC边上对应的点为A，则折痕EF所在直线的斜率k0.当k0时，A与D重合，EF所在直线方程为y当k0时，线段EF垂直平分OA.故直线OA的方程为yx.则当A与C重合时k2，设OA交EF于G点，则G点坐标为()，得EF所在直线的方程为ykx,(2)由(1)知线段EF的方程为ykx(2k0)当E与D重合时，E点坐标为(0,1)，由式得k1.当F与B重合时，F点坐标为(2,0)，由式得k2令f(k)|EF|2，则,当k2，0时，f(k)递减，f(k)的最大值为f(2)3216；当k1，2)时，可证f(k)在1，上递减；在，2)上递增，f(1)2f(2)3216.当k2，1)时，f(k)递增，f(k)f(1)2，综上可知f(k)的最大值为3216则|EF|的最大值为,【分析点评】,点击此处进入作业手册,本题对直线方程，两点间的距离公式和分段函数问题进行了综合考查，在考查直线方程时是以折叠为背景，实质是考查对称问题(1)点与点关于点对称，图形与图