关于图形在高中数学解题中的作用的调查

关于图形在高中数学解题中的作用的调查朱敏洁 李妍 姚霁月 陆婷 杜君 曹静 赵静 徐娇艳（按学号排名） 小组情况及其分工：组长：曹静组员：朱敏洁 李妍 姚霁月 杜君 陆婷 赵静 徐娇艳（排名不分先后）分工：1.由全组人员一起搜集问题，最后由组长制定调查问卷；2.由杜君和赵静去省中进行问卷调查；3.由赵静和杜君绘制表格，姚霁月绘制图表4.由杜君、陆婷、徐娇艳、赵静、李妍、朱敏洁对第7至第12题进行分析；5.由组长最后定稿，全体成员写心得体会。b5E2RGbC1问题提出华罗庚教授曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”数形结合是中学数学解题的基本思想方法，也是基本要求之一。现代数学基础教育，对数形结合方面有了大量的研究，尤其是对图形在数学解题中的作用有众多的见解。图形在数学解题中的作用，就是把抽象的数学语言、数量关系通过直观的几何图形、位置关系表示出来，从而可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，最终起到提高解题效率，优化解题过程的目的。然而，现在的高中生利用图形解决数学问题的情况如何呢？能否通过利用图形来提高解题效率呢？希望通过本次调查，对现在的高中生在利用图形解题的现状有个直观的了解；并通过调查的结果分析，能够提出提高解题效率途径的若干建议。p1EanqFD2 研究方法本研究采用调查问卷及测试的方法。对常熟市部分高中的高二年级和高三年级的学生进行抽样调查。共发放调查问卷177份，实收168份。其中王淦昌中学高三年级理科班（以下简称王淦昌）发放50份，实收50份；江苏省常熟中学高二年级文科班（以下简称省中）发放42份，实收42份；尚湖高级中学高二年级理科班（以下简称尚高）发放51份实收43份；常熟外国语中学高二年级理科班（以下简称外国语）发放34份，实收33份DXDiTa9E2.1问卷编制本调查测试问卷主要采用选择题的题型，这主要考虑到现在的高中学生平时的学业相对较重，对一些问答题的题型有排斥的心理。故本卷共设计13小题，第1至第6小题，主要调查学生对数学以及数学图形方面的主观感受；第7至第12小题，主要是通过具体的习题，客观的考察学生利用图形解决数学问题的现状和能力。（注：由于最后排版和印刷上的失误，我们取消了对第13的统计和分析，转变成对学生在解题中解答正确并能够正确画出图形的人数的统计）RTCrpUDG2.2 研究实施在问卷的调查过程中我们要感谢本班同学的帮助。是他们使得本组的调查问卷进行的比较顺利。首先，感谢徐峰同学的帮忙，王淦昌中学的50份调查问卷是他帮助我们完成了，也是首先完成的50份调查问卷，并且他对我们的问卷提出了非常宝贵的意见，即是本问卷的第6至第12题中有些题目的难度相对高中二年级是较大的（以下有详细的分析），这与我们最初的设想是有较大落差的，为我们今后的调查奠定了基础。其次是要感谢程丽娜同学的帮助，在她的帮助下，我们组的两位成员赵静和杜君才有机会去江苏省常熟中学做调查问卷。最后，要感谢汤婧同学和刘艳同学，分别帮助我们完成了对常熟外国语中学和尚湖高级中学的调查问卷。可以说这次的调查问卷，不仅仅是我们小组在努力，是我们整个班的同学帮助我们共同完成的。5PCzVD7H3 结果分析3.1 对数学的兴趣和对图形在数学解题作用的认识本调查的第一题为选出你喜欢的科目，本题给出了高中课程的大部分科目作为选项，可多选。调查结果显示：在168份的调查问卷中仅有82人选择了数学（44.09%）；以下分别是四所高中选择数学人数所占的百分比：王淦昌48%；省中30.95%；尚高46.51%；外国语75.76%.这说明现在的高中生中喜欢数学的比例不是很高，甚至是选择理科的同学中喜欢数学的比例也不是很高，调查中仅有54.76%的同学选择了数学。“兴趣是成功的关键”，缺少对数学学习的兴趣，也就会缺少探索、发现学习科学的兴趣，那么不仅数学成绩无法提高，对个人的创新思维和创造能力也是无法提高的。jLBHrnAI四所高中在调查问卷中第2至第6题的情况在对现在高中生普遍喜欢数学类型的题目的调查中显示，我们发现，从总体上看喜欢做几何类型题目的比例只比喜欢做代数类型题目的比例高出9.52%（图一），而就各个学校来看，省中和尚高的调查数据显示：喜欢做几何类型题目的比例比喜欢做代数类型题目的比例分别高出23.81%（图二）和37.21%（图五）；相反的，从王淦昌和外国语的调查数据显示：喜欢做代数类型题目的比例比喜欢做几何类型题目的比例高出10%（图三）和15.15%（图四）。就题型本身而言，代数题型相对计算复杂，但思路清晰，一类问题可以套用一种方法；而几何题型则相对计算简单，但灵活多变，往往是一个题目一种方法。xHAQX74J调查显示：对于希望老师用什么方法讲解题目时，大家的观点还是基本上一致的，希望老师先用按部就班的推理演算，再适当给出一些巧妙灵活的解法的占64.29%（图一）。这说明大多数的同学还是希望在保证基本解法的同时，再用一些适当的巧妙的方法来提高解题效率的，而不单纯的只运用一种方法。虽然大部分同学都希望老师运用一些简单巧妙的方法来解题，但是很多同学在做题时任然不能主动地有意识地利用简单的方法来解题，仅有39.29%（图一）的同学会经常使用，而52.98%（图一）的同学则是有时会用。虽然，有高达77.98%（图一）的同学认为图形在解题中的作用很大，但是也仅有54.76%（图一）的同学会比较喜欢利用图形来解题。虽然大部分同学都知道，利用图形辅助解题能够提高解题效率，但是要自己主动地有意识地运用还是有一定得难度的。LDAYtRyK3.2 对学生解题情况的分析调查数据显示：从总体看，第7题至第12题答对的正确率并不高（图六），虽然我们在通过对王淦昌中学的调查问卷后就已经意识到这些问题对高二或高三年级的学生来说难度相对较大，但我们并没有重新修改我们的调查问卷，我们还是希望通过这些较难的题目来考察一下现在高中生数学解题的水平。由于这些问题都是选择题，所以相对而言，解题的难度也就降低了一半。即使，一开始同学们在解题时没有思路，也可以通过观察选项来寻找、猜测正确答案。我们也要求同学们将答题的过程（即草稿）列在该题的旁边，以便我们能够更加深入地分析研究。下面，我们将给出我们对第7题至第12题的分析，希望通过分析来得出现在高中生在解题过程中普遍存在的问题，以及针对这些问题我们有哪些应对的措施。Zzz6ZB2L第7题至第12题答题的总体情况（图六）题号选项789101112人数人数人数人数人数人数A020755974210283703832D1576470209532无01404226正确率93.45%38.10%41.67%35.12%56.55%25.00%画图且正确率21.43%21.43%26.79%20.24%39.29%1.19%第7题：不等式+3的解集是（ D ）A C. B D. 解：可以把，看成为数轴上x到1的距离，x到2 的距离。在数轴上，我们看到，若x处于，而的长度为1，则+成立;dvzfvkwM当x=0或3时，+=33，不成立;当,则有+3，若，则有+3，成立。综上所述：，故选D。 0 1 2 3分析:一.对被试者的结果进行分析，其中有一个高三班，三个高二班，总人数168人，有157人正确，1人选B，10人选C，无人选A，正确率为93.45%，画图且正确率为21.43%。rqyn14ZN二下面我们对学生使用的解法归类（除以上给出的解法）。解法一：分三种情况讨论：当时；当时；当时，分别去绝对值得到结果。解法二：利用直线图形来，即时，；时，；时，画出相应的直线，再利用小于3的条件。解法三：利用代入法，即设几个特殊值代入。解法四：将一项绝对值移到等式右边，直接两边平方去绝对值。解法五（这是我们在问卷中看到的唯一很有新意的解法）：她将题目转化为+3，即转化为点到点的距离，画出图形。（如右图）EmxvxOtO当x=0或3时，+=3，所以x在03之间。三该题从整体上来说，正确率还是相当高的，对于未能解答正确的学生，通过对他们的解体过程进行分析可得出以下原因：1.计算错误，比如当时，去绝对值得到，到了这一步，有些学生就把写成了，从而得出，导致结果错误；2.一些学生在使用特殊值代入法时，由计算错误导致结果出错；3.少数的学生使用的方法不恰当，全凭猜测来做题。SixE2yXP建议：在遇到绝对值问题时，很多时候，我们的第一反应绝对值，要去绝对值，就要对绝对值里的数据进行分析，往往会把题目的计算弄得非常复杂。以后我们在遇到绝对值问题时，不妨先考虑下绝对值的几何意义，如是数轴上到原点的距离，是数轴上到1的距离。如本题，若考虑到绝对值的几何意义，就会使计算大大的简化了。6ewMyirQ第8题：对于每个实数，设是，和三个函数中的最小值，那么的最大值是（ D ） A B C D kavU42VR解：是，和三个函数中的最小值，即是一分段函数。 如图所示，的图像为图中红线的部分。不难算出图中A点坐标为，B点坐标为。很显然的最大值B点取得，固此题选D。y6v3ALoS分析：一.对被试者的结果进行分析，其中有一个高三班，三个高二班，总人数168人，有64人正确，20人选A，42人选B，28人选C，4人未给答案，正确率为38.10%，画图且正确率为21.43%。M2ub6vST二从问卷的分析来看，该题的解法，基本有两种：1.以上所给的解题方法；2.纯粹用代数的解法，但计算相当复杂，很少有学生能够正确解答的。0YujCfmU三从该题的正确率38.10%，学生解答该题的正确率较低。其实该题并不是一道难题，仅仅只是由最基本的三条直线组成的一个分段函数，对于未能解答正确的学生，分析可得出以下原因：1.不能正确理解题意，一直纠结于，最大值和最小值；2.计算出错，无法正确得出分段函数；3.既理解了题意，由能找到正确解题的思路，却不能准确画出图像，没有标刻度或刻度标的不准确。eUts8ZQV建议：1.理解题意是解题关键，是首要环节。若这题每位同学都能够认真审题，弄清题意，那么该题的正确率就不会那么低了。2.善于画出图像，特别是一些分段函数的图像，并要能正确标明拐点（转折点）的坐标。往往一些拐点处就与所要求的值有关。3.提高计算能力，避免无谓失误。sQsAEJkW第9题：从点向圆，作切线，求切线长最小为（ D ）A B C D 解：设所求切线长为，点到圆心的距离为。画出该题的图形，根据勾股定理，要使得切线长最小，只要使最短即可，因为其中。又显然由于垂线最短，则的最小距离是5，从而得出切线长最小是。固此题选D。GMsIasNX分析：一对被试者的结果进行分析，其中有一个高三班，三个高二班，总人数168人，有70人正确，75人选A，20人选B，3人选C，正确率为47.69%，画图且正确率为26.79%。TIrRGchY二从问卷的分析来看，在收回的168份调查问卷中，有70人做对，其中在试卷上明确写出解答过程的有50人。并且在这70个人里，有58人画出图形。本题的解法基本有两种：1.以上所给的解题方法（使用该方法的有30人）；2. 将切线长用y表示出来，经过计算得出切线长=，当y=-2时，切线长最小，为。（使用该方法的有20人）7EqZcWLZ三从整体来看，本题的最大干扰选项是A，选A的同学占总数的0.446，高于正确率。可见全体学生对“直线与圆的位置关系”这类知识点掌握得还不是很好。分析可能出错的原因：1.解题思路是对的，但是使用第二种方法时计算发生错误；2.把题目复杂化，有些同学看到求最大最小距离时就认为题目很难，产生畏惧心理；3.有些同学已经画出图形，在尝试画切线的过程中画出一种图形，想当然的认为这就是答案，归根到底就是没有认清题目的实质；4.对直线与圆的位置关系掌握得还不是很好，不能想到解题的关键。lzq7IGf0建议： 1.加强“直线与圆的位置关系”这类知识点掌握；2.遇到圆，椭圆，双曲线，等图形，最好能先准确画出图形，增加直观感受，然后进行相应的计算，而不要凭空想象该图形。zvpgeqJ1第10题：若不等式在内恒成立，则的取值范围（ A ）A B C D 解：注：这道题目将图像画出来的时候就会一目了然。设，若恒成立，则由图像显然可知：0a1当时，代入得，而 ， 故此题选A。分析：一对被试者的结果进行分析，其中有一个高三班，三个高二班，总人数168人，有59人正确，15人选B，70人选C，20人选D，4人未选答案，正确率为35.12%，画图且正确率为20.24%。NrpoJac3二从问卷的分析来看，大多数答对的学生，大部分都采用了画图的方法，但是有部分学生也采用猜测或排除的方法答对本题。1nowfTG4 三从整体来说，这道题的正确率为35.12%，并不高，还低于选C的41.67%，以下分析出错的原因：1.A、C选项只相差一个实点，主要考察学生对图像的理解掌握，大部分选C的学生在计算的过程中没有注意等号是否可取，这是一个很普遍的问题，表明学生思考问题时未将A、C进行比较，找出选项的区别；2.部分学生看到（0，）中没有 ,所以就想当然的认为A肯定不选。大部分选D的学生在考虑这道题目时觉得a应该要分两种情况讨论，但没有做到检验是否符合图像性质，所以想当然的就选了D。fjnFLDa5建议： 虽然做数学题时，当我们无法着手，无法判断时，往往会选择猜。但是我们不能盲目的想当然，要多方面的考虑。就选择题而言，若是从选项出发，我们可以先观察选项之间的区别，只有找出不同点，我们才会有着手点和落脚点。然后带着疑问去检验是否符合题意，这样才能做到万无一失，得分率较高。tfnNhnE6第11题点P是抛物线上一动点，则点P到点A的距离与点P，到直线的距离和最小值是（ D ）ABC DHbmVN777解：图形如上图所示，所求即min(PA+PB)。 抛物线上一点P到准线的距离等于其到焦点的距离，即PF=PB。故所求即为min（PA+PF)。连结AF，与抛物线交与一点P,这时通过图像观察，即可知道最小值就是AF长度。因A 、F ，则，故此题选D。V7l4jRB8分析：一对被试者的结果进行分析，其中有一个高三班，三个高二班，总人数168人，有95人正确，7人选A，26人选B，38人选C，2人未选答案，正确率为56.55%，画图且正确率为39.29%。83lcPA59二从问卷分析来看，解该题的方法一般有两种：1.以上给出的方法，基本上只要能够画出图像，并能正确连接AF的学生，解答该题肯定没有问题了。2.通过联立方程，抛物线和AP直线，来求最小解。显然过程繁琐，基本没有学生通过这一方法得出正确答案的。mZkklkza三从整体来看，这道题，168人做对的有95人，正确率是56。55%，其中还有40%不能画出图形，利用图形辅助解题，分析出错的原因有：1. P点找错了。不知道是什么原因，相当一部分同学将P点标在了O点，从而就得出了选C的结果。还有将P标在了这个位置，或者通过一些连线，平行对称等将P标到了某个位置。其实这说明学生有思考，只是方向不对，导致结果千奇百怪。2.有少数同学将图像画错了。把的图画成了或者将A标成了，甚至还有将画成，这很明显看出事学生的粗心犯下的错误。3.还有同学未利用图像辅助解题，联立方程，导致过程繁琐，最后也没算出正确的答案。AVktR43b建议： 在遇到抛物线、椭圆、双曲线等圆锥曲线时。若遇到曲线上的点与焦点的连线时，我们往往会转化为曲线上的点到准线的距离，而当已知曲线上的点到准线的距离时，我们往往就不能想到，要把它转化到曲线上的点到焦点的距离。思考问题时我们要提高逆向思维的能力。ORjBnOwc第12题求的最大值（ A ）A BCD解：因为=由此联想到平面上两点之间的距离公式，可以设A（x,0）,M(2,0), N(-1,1)，即把原题就转化为求点AM与AN距离之差的最大值。由图形我们可以知道当点A在x轴上移动时，若A、M、N三点构成，在中，由两边之差不大于第三边可知，而当点A在x轴上移到A、M、N三点构成一直线时，故在该点取得最大值，此时MN=，故该题选（A）。2MiJTy0d分析：一对被试者的结果进行分析，其中有一个高三班，三个高二班，总人数168人，有42人正确，36人选B，32人选C，32人选D，26人未选答案，正确率为25.00%，画图且正确率为1.19%。gIiSpiue二从调查问卷的分析，这道题是正确率最低的一道题，几乎没有同学能够给出我们想要的解题方法。以下是分析出现这种现象可能的原因：1.部分学生能够把=，但为数不多了，下一步就无从入手了。2. 部分同学之所以能够选出正确的答案，是因为在写完上述步骤之后通过移项、平方，然后求出x的一个范围，而正好在这个范围内。3. 还有部分同学利用求导、配方等各种繁琐的代数方法求得了答案A。uEh0U1Yf建议： 在平时做数学题时，应有意识的考虑一些代数式子能否用为几何图形表示。希望通过有意识的训练可以提高学生利用图形辅助解题的能力。尽管这道题目难度较大，但是没有一位同学能够把它转变为点之间的距离，是值得我们深思的。IAg9qLsg4几点建议从本次调查结果来看，特别是本次调查的核心问题，关于利用图形解决问题方面，现在的高中生在数学解题方面都存在着不同程度上的问题。只有弄清楚产生问题的原因，才能找出解决问题的办法。下面在调查分析的基础上，提出我们对此的若干建议和意见。WwghWvVh4.1 增加对数学解题的兴趣“兴趣是成功的首要因素”，增加学生对学习数学的兴趣，是最关键的。在调查显示中，喜欢数学的学生并不是很多，没有了学习的兴趣，也就没有了探究钻研的兴趣，那么是无法学好数学的。作为老师和家长，应该鼓励和激发其学习数学的自信心和好奇心。asfpsfpi4.2 解题要小心谨慎在解题过程中，首先审清题意是关键，切忌凭经验和想象来解题，不仅要知道题目中的已知数、未知数还要弄清条件和结果，条件是够充分，是否有矛盾，结果是否存在等等，之后才可以动手解题。其次，要理清个条件之间的联系，不可盲目的按一般思路解题，在遇到较复杂的计算时，我们要善于停下来思考，然后在继续前进。最后，计算要认真严谨，防止无谓的失误，有时我们并不是不会解题，而是遗漏个符号、简单的计算错误，这对我们的解题都是致命伤，也会使我们解题的信心大大减小。ooeyYZTj4.3 在基础上进行提高对学生能够利用图形解题的要求是相对来说较高的，但是这对培养学生的逻辑思维和空间想象能力有很大的帮助。能够利用图形解题，是学生在扎实基础知识后的提高解题能力的一条很好的途径。但首先是要扎实基础知识，若不知道“直线与圆的位置关系”，我们怎么可能在坐标系上，找到圆与直线的最佳位置关系；若不知道两点之间的距离表达公式，我们怎么可能想到一个带有根号的代数表达式可以用几何的方法表达出来。所以，只有在基础知识扎实的情况下，才可能拓宽自己的解题方法和解题思路。BkeGuInk4.4 要有意识的做题很多学生在解题的时候都表现出盲目性，因为现在我们做的题目的量相对来说是较大的，很多学生在第一次遇到一道以前从未见过的题目时，会认真的思考，然后顺利的解出。但当第二次再遇到这道同样的题目时，一般的同学就会重复以前的方法，再写一遍，很少有学生能够再思考，希望找到更简单巧妙的方法的。这说明一个什么问题呢？PgdO0sRl若想提高能力，就应该有意识的进行解题。有意识的去寻找一些简单的途径、巧妙的方法。意识决定行动，当我们在解题时有意识这样去思考，那么在一段时间的训练后，会发现我们的解题能力会有质的提高。3cdXwckm4.5 给教师的几点意见教师作为学生的领路者，不仅要教给学生基本知识、基本技能以及基本的数学思想方法，还要帮助他们进行巩固和熟练掌握，进行全面、系统的复习，查漏补缺和综合运用。但是在调查中我们发现很多学生希望老师在讲解习题的时候，不仅要用按部就班的方法进行推理演算，还要给出一些适当的灵活巧妙的解法。所以希望老师在教学过程中，通过揭示解题规律，总结解题方法，能够有意识地指导学生运用数学知识分析问题、解决问题。并在对数学知识的综合运用中，进一步提高利用图形解题的能力、数形结合的能力、逻辑推理能力、空间想象能力、和探索创新能力。h8c52WOn参考文献1美G波利亚. 怎样解题M.科学出版社 19822美乔治波利