不等关系与不等式以及基本不等式

第1讲不等关系与不等式【2013年高考会这样考】结合命题真假判断、充要条件、大小比较等知识考查不等式性质的基本应用【复习指导】不等式的性质是解(证)不等式的基础，关键是正确理解和运用，要弄清条件和结论，近几年高考中多以小题出现，题目难度不大，复习时，应抓好基本概念，少做偏难题基础梳理1不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号、连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式2比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有ab0ab；ab0ab；ab0ab.另外，若b0，则有1ab；1ab；1ab.3不等式的性质(1)对称性：abba；(2)传递性：ab，bcac；(3)可加性：abacbc，ab，cdacbd；(4)可乘性：ab，c0acbc；ab0，cd0acbd；(5)可乘方：ab0anbn(nN，n2)；(6)可开方：ab0(nN，n2)一个技巧作差法变形的技巧：作差法中变形是关键，常进行因式分解或配方 一种方法待定系数法：求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的范围两条常用性质(1)倒数性质：ab，ab0；a0b；ab0,0cd；0axb或axb0.(2)若ab0，m0，则真分数的性质：；(bm0)；假分数的性质：；(bm0)双基自测1(人教A版教材习题改编)给出下列命题：abac2bc2；a|b|a2b2；aba3b3；|a|ba2b2.其中正确的命题是()A BC D2限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是()Av40 km/h Bv40 km/h Cv40 km/h Dv40 km/h3(2012银川质检)已知a，b，cR，则“ab”是“ac2bc2”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4已知ab，cd，且c，d不为0，那么下列不等式成立的是()Aadbc BacbdCacbd Dacbd5.与1的大小关系为_考向一比较大小【例1】已知a，b，c是实数，试比较a2b2c2与abbcca的大小【训练1】 已知a，bR且ab，则下列不等式中一定成立的是()A.1 Ba2b2Clg(ab)0 D.ab考向二不等式的性质【例2】(2012包头模拟)若a0ba，cd0，则下列命题：(1)adbc；(2)0；(3)acbd；(4)a(dc)b(dc)中能成立的个数是()A1 B2 C3 D4【训练2】 已知三个不等式：ab0；bcad；.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3考向三不等式性质的应用【例3】已知函数f(x)ax2bx，且1f(1)2,2f(1)4.求f(2)的取值范围【训练3】 若，满足试求3的取值范围考向四利用不等式的性质证明简单不等式【例4】设abc，求证：0.【训练4】 若ab0，cd0，e0，求证：.难点突破15数式大小比较问题数式大小的比较是高考中最常见的一种命题方式，涉及的知识点和问题求解的方法不仅局限于不等式知识，而且更多的关联到函数、数列、三角函数、向量、解析几何、导数等知识，内容丰富多彩命题的方式主要是选择题、填空题，考查不等式性质、函数性质的应用一、作差法【示例】 (2011陕西)设0ab，则下列不等式中正确的是()Aab BabCab D.ab二、作商法【示例】 若0x1，a0且a1，则|loga(1x)|与|loga(1x)|的大小关系是()A|loga(1x)|loga(1x) B|loga(1x)|loga(1x)|C不确定，由a的值决定 D不确定，由x的值决定三、中间量法【示例】 若a20.6，blog3，clog2sin，则() Aabc BbacCcab Dbca第4讲基本不等式【2013年高考会这样考】1考查应用基本不等式求最值、证明不等式的问题2考查应用基本不等式解决实际问题【复习指导】1突出对基本不等式取等号的条件及运算能力的强化训练2训练过程中注意对等价转化、分类讨论及逻辑推理能力的培养基础梳理1基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)；(2)2(a，b同号)；(3)ab2(a，bR)；(4)2(a，bR)3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2.(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值是.(简记：和定积最大) 一个技巧运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2b22ab逆用就是ab；(a，b0)逆用就是ab2(a，b0)等还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等 两个变形(1)2ab(a，bR，当且仅当ab时取等号)；(2) (a0，b0，当且仅当ab时取等号)这两个不等式链用处很大，注意掌握它们 三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致双基自测1(人教A版教材习题改编)函数yx(x0)的值域为()A(，22，) B(0，)C2，) D(2，)2下列不等式：a212a；2；x21，其中正确的个数是()A0 B1 C2 D33若a0，b0，且a2b20，则ab的最大值为()A. B1 C2 D44(2011重庆)若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值，则a()A1 B1 C3 D45已知t0，则函数y的最小值为_考向一利用基本不等式求最值【例1】(1)已知x0，y0，且2xy1，则的最小值为_；(2)当x0时，则f(x)的最大值为_【训练1】 (1)已知x1，则f(x)x的最小值为_(2)已知0x，则y2x5x2的最大值为_(3)若x，y(0，)且2x8yxy0，则xy的最小值为_考向二利用基本不等式证明不等式【例2】已知a0，b0，c0，求证：abc.【训练2】 已知a0，b0，c0，且abc1.求证：9.考向三利用基本不等式解决恒成立问题【例3】(2010山东)若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围是_【训练3】 (2011宿州模拟)已知x0，y0，xyx2y，若xym2恒成立，则实数m的最大值是_考向三利用基本不等式解实际问题【例3】某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用当侧面的长度为多少时，总造价最低？【训练3】 (2011广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元从今年起，工厂投入100万元科技成本并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n).若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元(1)求出f(n)的表达式；(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？阅卷报告8忽视基本不等式成立的条件致误【问题诊断】 利用基本不等式求最值是高考的重点，其中使用的条件是“一正、二定、三相等