关于数项级数敛散性的判定

关于数项级数敛散性的判定1、问题的提出数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的.2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理2.1数项级数收敛的定义数项级数收敛数项级数的部分和数列收敛于.这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少.2.2数项级数的性质（1）若级数与都收敛，则对任意常数c,d, 级数亦收敛，且;相反的，若级数收敛，则不能够推出级数与都收敛.注：特殊的，对于级数与，当两个级数都收敛时，必收敛；当其中一个收敛，另一个发散时，一定发散；当两个都发散时，可能收敛也可能发散.例1 判定级数与级数的敛散性.解：因为级数与级数收敛，故级数收敛.因为级数发散，级数收敛，故级数发散.（2）改变、增加或去掉级数的有限个项不会改变原级数的敛散性.（3）在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的敛散性，也不改变它的和.即收敛的级数在不改变各项顺序的情况下，对它的各项任意加括号后，得到的新级数还是收敛的；加括号后得到的新级数发散，那么原级数也是发散的.例2 判定级数的敛散性.解：先考察级数，因为，而级数发散，由于加括号后得到得新级数发散，则原级数发散.（4）级数收敛的必要条件 若级数收敛，则.若，则级数发散.2.3判定定理2.3.1级数收敛的柯西准则 级数收敛,使得当m以及,都有.例1 用柯西准则判别级数的敛散性.证明：由于 因此，对于任意的.取使得当及任意的,由上式就有成立，故由柯西准则可推出原级数收敛.2.3.2正项级数判别法（1）正项收敛它的部分和数列有界.（2）比较判别法 如果和是正项级数，若存在某整数，对一切都有(i)若级数收敛，则级数也收敛；（ii）若级数发散，则级数也发散.等比级数和P-级数的敛散性 等比级数，当时，级数收敛；当时，级数发散.P-级数，当时，发散；当时，收敛.例2 判别级数的敛散性.解：因为，而且P-级数收敛，由比较判别法知该级数收敛.（3）比较判别法的极限形式 如果和是正项级数，如果，则（i）当时， 和同时收敛或发散；（ii）当时，收敛时， 也收敛；（iii）当时，发散时，也发散.例3 判别级数的敛散性.解：因为,而正项级数发散，由比较原则的极限形式知原级数发散.(4)比式判别法 如果为正项级数,且，（i）若，则收敛；（ii）若，发散.例4判别级数的敛散性.解：因为，所以由比式判别法知原级数发散. (5)比式判别法的极限形式 如果为正项级数，且，则（i）若，则收敛；（ii）若或时，发散. 例5 判别级数的敛散性.解：因为，所以由比式判别法的极限形式知原级数发散.（6）根式判别法 如果为正项级数，（i）如果，则收敛；（ii）若，则级数发散. (7)根式判别法的极限形式 如果为正项级数，还有，（i）当时，则收敛；（ii）当时，则发散.例6 判别级数的敛散性.解：因为，所以由比式判别法极限形式知原级数收敛.(8)积分判别法 若为上的非负减函数，那么正项级数与反常积分同时收敛或同时发散.例7 判别级数的敛散性.解：设，则在上为非负单调递减函数，而故由积分判别法知原级数收敛.(9)Raabe判别法 设，.(i)若存在及正整数,使得当时有，则级数收敛；(ii）若存在正整数,使得当时有，则级数发散.(10) Raabe判别法的极限形式 设是正项级数，且有，（i）若,则级数收敛；（ii）若,则级数发散.例8 判别级数的敛散性.解：容易验证，因为这个级数用比式判别法和根式判别法都失效，这时可以用Raabe判别法.此时，.由Raabe判别法知原级数收敛.正项级数的判别方法有很多种，下面总结一下这几种方法的选择顺序:若易于求的，考察的值：，则依据级数收敛的必要条件，知级数发散；若，不能直接判断级数是收敛还是发散，此时用比式判别法或根式判别法，当时，级数收敛；若或时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散，此时用比较判别法，找出一个已知敛散性的级数与之比较，然后根据比较判别法或其极限形式判定级数的敛散性，当然，对于一些具体问题，我们应该根据其特点分析，找到更简便的判别方法.2.3.3一般项级数的判别方法（1）交错级数判别法 Leibniz判别法 若交错级数（），满足下述两个条件：（i）数列单调递减；（ii）,则级数收敛.注：用Leibniz判别法判定时，可以用以下几种方法：比值法：考察是否有；差值法：考察是否有；导数法：即建立一个连续可导的函数，使，考察是否有.例9 判定级数的敛散性.解：因为此级数为交错级数 ，设，易证，下面判定，下面我们用导数的知识判定数列单调递减.设，则，又设，则,单调递减， ，单调递减， ，由Leibniz判别法，知原级数发散.（2）绝对收敛 若级数各项绝对值组成的级数收敛，则原级数绝对收敛. 性质：绝对收敛的级数一定收敛.此定理的逆命题不成立，即：若收敛，不能判定也收敛.（3）Abel判别法 若为单调有界数列，且级数收敛，则级数收敛.例10 判定级数的收敛性.解：根据Leibniz判别法知级数收敛.因为递增有界，故由Abel判别法知级数收敛，又因递减有界，再由Abel判别法知原级数收敛.(4)Dirichlet判别法 若数列单调递减，且，又级数的部分和数列有界，则级数收敛.例11 判定级数的敛散性.解：由于当时，有，即的部分和数列有界，而数列 单调递减，且，故由Dirichlet判别法知，原级数收敛.对于交错级数敛散性判定问题，应先判定其是否绝对收敛，即若收敛，则收敛;若不是绝对收敛，则根据Leibniz判别法，Abel判别法，Dirichlet判别法判定其是否条件收敛. 3、巧妙判别数项级数敛散性以上介绍了一些判别数项级数敛散性的基本方法，但是在实际的应用中往往需要多种方法结合，且有时还有一定的技巧性，下面结合一些实例列举一些常用的判别方法和技巧.3.1等价无穷小替换的方法判断级数敛散性应用定理：设和是两个正项级数，且当时，和为等价的无穷小量，则和的敛散性保持一致.证明：由于当时，和为等价的无穷小量，即，由比较判别法的极限形式可知级数和级数同时收敛或同时发散.例1 判定级数的敛散性.解：设，则，而级数收敛，所以原级数绝对收敛.3.2运用常用不等式判断级数的敛散性常用的不等式有：， ， 例2 判定级数的敛散性.解：此题我们可以利用不等式，有因为级数收敛，故原级数收敛.3.3运用平均不等式判断级数敛散性应用定理：若级数和级数都收敛，则级数绝对收敛.证明：已知级数和级数都收敛，根据级数收敛的性质，则级数收敛，由于有不等式，再根据比较判别法，知级数收敛，所以级数绝对收敛.例3 设常数，级数收敛，判断级数的敛散性.解：因为级数收敛，并且级数也收敛，所以级数收敛，又因为，由比较判别法可知，级数 收敛，故原级数绝对收敛.3.4拉格朗日微分中值定理判断级数敛散性应用定理：设在内可导，且其导函数有界，则级数绝对收敛.证明：因为在内可导，且其导函数有界，所以存在，对于一切，都有,于是由拉格朗日中值定理得，由于级数收敛，所以级数绝对收敛.例4 判定级数的敛散性.解：设函数，则，知有界，令，由于满足上述定理条件，故级数收敛.3.5对数判别法判断级数敛散性应用定理：若级数为正项级数，若有，使得当时，则级数收敛，若有时，则级数发散.证明：如果时，不等式成立，则有.由于级数收敛，所以由比较判别法知级数收敛.同理可证，当不等式成立时，则级数发散.例5 判定级数的敛散性.解：由于，由洛必达法则可知：所以，对，存在，使得当时，因而根据以上定理原级数发散.3.6 泰勒展开式判断级数的敛散性例6 判别级数的敛散性.解：因为.由于级数发散，所以原级数发散.3.7拆项法判断级数的敛散性将级数的一般项运用等价变形、三角基本公式、有理化等方法拆成几项之差也是判别级数收敛的一种常用方法.例7 判别级数的敛散性.解：因为，而且，由于级数收敛，根据比较判别法知级数收敛；而且，当时，该级数收敛；当时，该级数发散.由此可知，当时，原级数收敛；当时，原级数发散.3.8 Gauss判别法判断级数的敛散性若，且，则级数当时收敛；当时发散；而当时，对收敛，对发散.例8 判别级数的敛散性.解：对于这个级数来说，所以它在时收敛，在时发散.3.9运用函数判定数项级数的敛散性以前讨论的方法判定级数敛散性都与数列极限紧密联系，这种方法利用函数来研究数项级数.给出了利用函数的导数和极限判别数项级数敛散性的的方法.应用定理1 若级数收敛，则证明：已知级数收敛，有级数收敛的必要条件得，因而. 例9 判别级数的敛散性.解：由于，又由于 不存在，所以不存在，由定理1的逆否命题可知，级数不收敛.应用定理2 如果存在，绝对收敛，则.应用定理3 如果函数在存在二阶导数，且