关于采样率转换的书稿

第十二章 采样率转换12.1 概述在DSP的许多实际应用中，系统往往由多个工作于不同采样率的子系统构成。例如，在数字电话、电传打字、电报、传真、语音、视频等电信系统中，需要用与带宽相适应的不同速率处理各种信号，使待处理信号既符合采样定理又可以减少数据量。在声音光盘（CD）或数字音频磁带（DAT）播放器中，信号在进入D/A变换器之前，为了避免使用技术指标很高的后置模拟低通滤波器，需要提高采样率。种种客观需要使我们面临改变信号采样率的问题。将信号从某个采样率转换到另一个采样率，这样的过程称为采样率转换。在DSP中，采用多种采样率的系统被称为多速率数字信号处理系统。采样率转换中，使采样率提高者，称为内插(interpolation)或增采样（up-sampling）。使采样率降低者，称为抽取（decimation）或减采样(down-sampling)。采样率转换可以用两种方式实现。第一种是通过D/A转换器，把原有的数字信号转变为模拟信号，然后重新采样。第二种方法是完全在数字域实现采样率转换。第一种方法能实现任意比率的采样率转换。但它的主要缺点是，在转变为模拟信号时，D/A转换器会引入信号失真，而在重新采样时，A/D转换器会引入由量化效应造成的信号失真。此外，在许多实际应用中，不可能采用这种方式。例如，在CD播放器中，采样率为44.1KHz的数字音乐信号已存放在CD中。在将这数字信号恢复为模拟信号以进行播放时，为了得到高保真度，需要提高采样率。但曲终人散，人们不可能得到原声频信号，以更高的采样率对其重新采样，从而不得不在数字域实现采样率转换。第二种方法在数字域完成采样率转换的全部过程，避免了第一种方法的缺点。本章介绍在数字域中直接实现采样率转换的原理和方法。首先阐述增采样，然后介绍减采样。无论增采样或减采样，都需要使用FIR数字滤波器对原序列进行低通滤波。为此，本章详细地介绍多相滤波技术。最后，介绍基于采样率转换的一种被广泛应用的新技术 - 噪声整形技术。尽管可以直接在数字域实现采样率转换，但是，在研究采样率转换过程的频谱变化时，可以从采样定理出发，设想从原序列的频谱先还原出模拟信号的频谱，然后再按新采样率求出转换后的频谱。当然可以直接导出增采样或减采样后的信号频谱，但从采样定理出发来理解频谱变化是非常容易的。为了叙述方便，这里重新表述采样定理如下。假设模拟信号的频谱为，采样间隔为（即采样频率为），采样所得序列的频谱为，则按照采样定理，有l 从幅值来看， l 变成周期函数，周期为希望读者在学完本章后，n 熟悉增采样和减采样导致的频谱变化，理解低通数字滤波器的作用。n 掌握多相分解技术。n 掌握采样率变换器的基本设计方法：直接法和多相分解法。12.2 内插器的频谱与内插滤波器内插的作用是提高采样率，又称增采样，其倍数记为整数（代表up）。图12.2.1以为例说明内插过程。如图所示，增采样器的输入序列工作于低采样率（简称低率）。其中，为采样间隔。增采样器的作用是在的两个样点之间插入个零样点，使采样间隔变为。所得序列记为，它工作于高采样率（简称高率）。居于两个低率样点之间的个零值样点最终应取恰当值。最简单的办法是使样点之间的增量是常数，如图12.2.2所示。这种线性插值往往不能满足要求。所以增采样器一般要后接FIR内插滤波器，进行低率样点之间的插值。后面将要说明，插值过程是数字低通滤波过程。图12.2.1 增采样原理图 图12.2.2 过于粗糙的插值方法 其实，这里的内插滤波器与重建模拟信号所需的低通滤波器（见第2.11节）具有类似的功能。所不同者，前者是低通数字滤波器，在插值区间仅需要插入有限个样点，所完成的是数字信号之间的转换；而后者则是低通模拟滤波器，理论上需要在插值区间插入“无限”多个值，以完成数-模转换。图12.2.3示出模拟信号的频谱模值，其幅度设为1。以此为基础，图12.2.4说明增采样前后的频谱变化。与频谱对应的 图12.2.3 模拟信号的频谱时域序列示于各子图的左边。首先，以对模拟信号进行采样。根据采样定理，采样所得序列的频谱应如子图A 所示。以因子进行增采样时，可以分两步走。第一步，设想在的每两个样点之间添加个零值样点，得序列，其频谱示于子图B。每两个样点之间的时间间隔是，即。容易证明和的频谱完全相同，程序M验证了这一点【解说12.2.1】。第二步，在各个零值点插值。这两步合起来就相当于序列先被转换成模拟信号，得频谱模值，然后以新采样率对其进行采样，得到高率序列，其频谱模值示于子图C。读者运行程序M，即可得到验证【解说12.2.2】。比较子图B和C，可见为了在序列的零值样点处进行插值，得到序列，需要滤去子图B中用圆圈标出的镜像频谱块。为此，要使用低通滤波器对序列进行滤波。该滤波器的模频特性示于子图D。 图12.2.4 增采样前后的信号频谱及插值滤波器的作用以上论述表明，增采样可以理解为插值过程，也可以理解为滤波过程。从时域看，增采样是在低率序列的样点之间进行插值；从频域看，则是用低通滤波器滤掉镜像频谱块。所以这个滤波器称为内插滤波器（interpolation filter），又称抗镜像滤波器（anti-image filter）。这样，增采样问题就变成怎样设计内插滤波器的问题了。由子图A、D可见，滤波器的截止频率应为。这里，是原来的采样率。从子图D又可以看出，新采样率相应的数字频率为，故滤波器的数字截止频率为 （12.3.1）在实践中，讲座10所介绍的级联积分器 梳状滤波器(cascade integrator comb filters，CICF) 非常适合于在进行插值操作（提高采样率）之后，用作去像频滤波器。内插滤波器的实现方法有二，即直接法和多相分解法。下面在介绍直接法之后，将重点阐述多相分解法。12.3 内插滤波器实现方法之一 - 直接法为了便于阅读，今将图12.2.1重新绘出。 图12.3.1 倍增采样系统的序列波形图12.3.1C中，实心样点表示来自输入序列的低率样点，空心样点表示零值内插操作产生的样点。零值内插器在相邻两个低率样点等间隔地插入个零值样点（子图B）。插值滤波器根据插值区间前、后各个低率样点（节点）求出各个插值样点值。节点总数2的值越大，插值精度就越高。图12.3.1中，和分别作为低率和高率序列的序号。显然可见， （12.3.2）在序列中，与之间的隔样点为零，即 （12.3.3）合并以上两式，得 （12.3.4）序号总可以写成，其中，的取值仅限于。换句话说，和分别是除以所得的商和余数。由于，故若以秒来计量时间，则所相应的绝对时间为 的最大可取值为。因此，为了满足实时处理要求，两个低率样点之间的个插值必须在内完成。由图12.2.4可以看出，插值滤波器是一个低通滤波器，其截止频率为 （12.3.5）若用数字频率来表示，则截止频率为 （12.3.6）子图C示出理想低通数字滤波器的幅频特性。图中，选倍增率。滤波器的理想冲激响应为即 （12.3.7） 这是一个用函数表出的无限长的非因果对称序列：对称点在， 若选，则在对称点的两侧，每经过个样点，函数有一个过零点： (12.3.8)对进行对称截取，使之在两侧各有个过零点，得序列： （12.3.9） 的长度为 （12.3.10）图12.3.2示出时的序列。 图12.3.2 从理想冲激响应序列截取所得的对称序列 对 式（12.3.4） 与式（12.3.9）进行卷积，得 （12.3.11） 这样就得到图12.2.1的插值输出。从式（12.3.11）来看，图12.2.1所示的FIR 插值滤波器运行于高率上，其滤波操作是线性、时不变的。但就图12.2.1整个系统来说，系统是线性、时变的【解说】。上述直接算法的效率非常低，因为序列中，每两个低率样点之间有个零值样点，而按式（12.3.11）又不得不对大量零值样点进行无谓的乘法运算。为了克服这个缺点，需要采用下节所讲的多相分解法进行滤波。12.4 内插滤波器实现方法之二 -多相分解法 从卷积概念和插值概念都可以导出多相分解法。本节将介绍第一种方法。12.4.1 从卷积算法导出多相分解法下面用图12.4.1 说明通过卷积实现插值的过程。 图12.4.1 通过低通滤波进行插值 假设，求出了图12.3.2 所示的序列。为了简单起见，将该序列画成图12.4.1A 的样子。图中，每个格子代表一个样点。符号“”标出序列的对称点。在该处，。带斜线的格子表示的过零点，即。以“：”标出的格子表示具有非零值的样点。将序列右移一步，仍记为，得子图B。子图C、D分别表示低率序列和高率序列，带底纹的格子是有定义的样点，称为节点。已设，故子图D中，每两个低率样点之间有3个待插值的点。第2章已经指出，卷积过程中，被卷积序列之一（）保持不动，而另一个序列（）在被反转之后，作前向或后向移动。每次移动时，两序列对应点相乘并相加（做点积运算）。这样就得到卷积序列的一个样点。子图A表示序列的对称点已移到（即）处。这里，为了简单起见，只对序列标出相对于对称点的下标。而且，由于是对称序列，故负值下标都改成正值（例如，将记为）。对子图A与D所示的两个序列求点积，得卷积序列的一个点： （12.4.1）由于，而、和均为0，故 即在节点处，插值点就是节点本身，不受其它节点的影响。 子图B表示序列右移一步。对子图B与D所示的两个序列求点积，得 （12.4.2）同理可得 （12.4.3） （12.3.4） 由于，故综合以上各式得 （12.4.5）由此可见，可以用4个子滤波器通过实现插值，得到。这种算法称为多相分解法。式中，和分别是子滤波器、和的输出。矩阵的4个行向量是相应子滤波器的冲激响应序列。每个子滤波器负责算出一个插值点。由于，故在插值区间内，第 0 个插值点就是原有的节点，其值与其它节点无关，即。式（12.4.5）表明，输入序列是低率序列，输出插值序列则是高率序列。在多相分解法中，全部插值运算都在低率下完成。而且可以采用并联运行的硬件同时计算各个插值，从而大大地提高效率。图12.4.2 表示多相滤波器的工作情况。 图12.4.2 用多相滤波器实现插值 上面以和为例，说明多相分解法的原理，导出式（12.4.5）。式中的矩阵的列数为，行数为（即子滤波器数目），每一行是相应子滤波器的冲激响应序列（长度为）。从式（12.4.5）可以看出矩阵元素下标的变化有图12.4.3所示的规律。图中，符号代表矩阵元素。如果给出和，即可根据这个规律求出各个子滤波器的冲激响应【解说12.4.1】。 图12.4.3 式（12.4.5）的矩阵元素下标的变化对于增采样系统，必须注意两点：首先，第12.3节已经指出，增采样滤波器本身运行于高率，如式（12.3.11）所示，滤波操作是线性时不变的。但是，若采用分相技术，用个子滤波器实现插值，则系统输入、输出端运行于不同的采样率，从式（12.4.5）可见，整个系统的滤波操作虽是线性的，但却是时变的，即：子滤波器冲激响应向量的元素既与样点序号有关，又特别与子滤波器序号（即插值点序号）有关。一般来说，输入序列与系统冲激响应序列卷积，求得第点的滤波值，如果冲激响应仅仅是样点序号的函数，而与无关，则系统是时不变的，否则是时变的【解说】。其次，从式（12.4.5）可见，整个系统的滤波操作是非因果的，因为在某个低率样点后面插入高率样点时，除了使用先前的低率样点、 和外，还需要使用“将来的”低率样点、和。12.2 节已经指出，利用低通滤波器在频域中滤去镜像频谱块，就相当于在时域中实现插值（见图12.2.4）。式（12.4.5）是据此导出的。从时域插值概念也能导出同样的结果【解说12.4.2】。.这说明插值过程（在时域）相当于滤波过程（在频域）。12.4.2 多相分解滤波器演示程序M.M对多相分解法进行验证。部分运行结果示于图12.4.4。程序首先生成一个高率序列：在原低率序列每两个样点之间插入3个零值样点（子图A）。其次，按式（12.3.9）求出序列，并计算各个子滤波器的冲激响应序列，按式（12.4.8）求插值，得到子图B所示的插值序列。但插值结果很不理想，包络线不平滑，有明显的高频分量。程序进一步作了改进：对序列加Hamming窗，得到冲激响应序列。这时，式（12.4.8）中的矩阵行向量元素应置换成样点，并按此式进行插值，得到序 图12.4.4 用多相分解法实现增采样列（子图C）。由程序M.M的运行结果可以得出结论，简单地对理想低通滤波器的冲激响应序列进行截取，以此作为插值滤波器的冲激响应，不能得到良好的插值效果。在实际应用中，应该采用适当的窗函数（例如，Hamming窗）对加窗。程序M.M 还比较了简单截取与使用Hamming窗所得滤波器的模频特性。结果示于图12.4.5。显然，加窗后，模频特性得到很大改善。这是插值序列变得十分平滑的根本原因。 图12.4.5 低通滤波器的模频特性12.5 内插滤波器的结构 12.5.1 系统函数在阐述内插滤波器的结构之前，先说明多相滤波器的系统函数。为简单起见，取（即每两个低率样点之间插入3个样点，使采样率增为4倍）和（在插值区间两侧各使用2个低率样点）。在以下讨论中，假定对理想低通滤波器的冲激响应序列加窗。相应地，本节采用字符“”以代替上节所用的字符“”，表示冲激响应序列。由于取，所以在多相分解的情况下，有4个子滤波器。又由于选，故每个子滤波器的冲激响应序列长度为 。各子滤波器的冲激响应用向量表示，下标表示子滤波器序号，。冲激响应样点用表示，其中，下标代表所属子滤波器的序号，代表该样点在向量中的序号。系数组可按上节所讲方法求出。于是，各子滤波器的冲激响应向量可以表述如下： （12.5.1）这样，在场合，可以用图12.5.1所示的4个子滤波器分别求出插值样点和。其中，是原来的低率样点，而和是和之间的3个高率插值样点。图中，是低率延迟算子，延迟时间是低率采样间隔。由于4个子滤波器是并联的，故整个滤波器的系统函数为 （12.5.2）考虑到高率延迟算子=（因为现在，故相应的延迟时间等于），得 （12.5.3）这是16抽头FIR滤波器的标准系统函数。式（12.5.2）被称为式（12.5.3）的多相分解（polyphase decomposition）。12.5.2 结构由式（12.5.2.）可以得到和时的增采样多相结构如图12.5.1所示。 图12.5.1 增采样的多相结构图12.5.1右端的相加器相当于一个切换器，由于=，所以在输入序列的每个样点间隔内，该切换器进行4次切换，依次取出4个子滤波器的输出。图12.5.2 子滤波器采用独立延迟线 图12.5.3 具有最少存储器的增采样分相结构 增采样分相结构 多相结构的形式多种多样。图12.5.1的各个子滤波器采用公共延迟线。图12.5.2 所示的子滤波器则采用独立的延迟线。将这种结构加以改变，得图12.5.3。它是一种具有最少存储器的结构。输入一个新的样点后，三个切换器同步地反时针旋转，切换4组滤波器系数，分别计算4个样点。12.5.3 多相分解法的优点基于多相分解，整个滤波器被分解为个并联的多相子滤波器，这样就能在软、硬件实现中，采用并行算法。其次，多相分解法的运算效率比直接法高得多。因为作用于各个子滤波器的信号是低率样点，而用直接法按照式（12.3.13）计算插值，所用的信号则是高率样点。容易证明，多相分解法的计算量仅为直接法的分之一。12.6 抽取器的频谱与抽取滤波12.6.1 抽取器的频谱与抽取滤波本节讨论按整数因子对信号进行减采样。减采样是增采样的逆过程。假定模拟信号的频谱局限于频率区间内（图12.6.1），其幅度为。若采样率为，则所得序列的频谱是的周期延拓， 图12.6.1 模拟信号的频谱周期为，而幅度为（图12.6.2A）。这里，。如果另以采样率对进行采样，则序列的频谱的重复周期为（子图B），频谱幅度变为。是从每隔个样点抽取一个而得到的。由于采样率降为，故折叠频率变为。所以，如果模拟信号的最高频率仍为，则有可能发生频谱混叠。子图B示出频谱混叠情况。因此，在直接对序列进行减采样时，为了避免混叠，必须采用低通数字滤波器，将的频谱截止频率减小到，然后，才可以按因子进行减采样而不致混叠。为此，这个滤波器又称为抗混叠滤波器（anti-aliasing filters）。子图C、D分别示出抗混叠滤波器的频率响应和无混叠的减采样器的频谱。假定模拟信号频谱幅值为1，如图12.6.1所示，那么，从子图C、D，可以看出减采样前后的频谱幅度分别是和。子图C添加了数字频率标尺。由图可以看出，理想低通滤波器的截止频率应小于 （12.6.1）图中，。图12.6.2 减采样前后的信号频谱及预滤波器的作用 为了使减采样后的信号频谱不致混叠，一般减采样器应先进行低通滤波，削除可能混叠的那部分频谱，然后实施减采样操作。如图12.6.3 所示。 图12.6.3 减采样器原理图图12.6.3中，输入序列经过一个由冲激响应和频率响应描述的低通滤波器。理想情况下，满足 因此，该滤波器削除了在区间的谱。这意味着在对信号的进一步处理中，仅仅对在范围的频率成分感兴趣。 滤波器的输出按下式 （12.6.3） 算出。然后，用因子对减采样，生成，于是， （12.6.4）虽然，由式（12.6.3）描述的滤波操作是线性时不变的，但是，与滤波结合的减采样操作产生了一个时变系统。这一点可以很容易得到证明。假定产生。我们注意到，除非是的整倍数，并不意味着产生。因此，在上的全部线性操作（先做预滤波，繼之以减采样）不是线性时不变的。 程序M.演示减采样对信号频谱的影响。图12.6.4示出减采样导致的时域序列和模频特性的变化。图中，先后考虑建采样因子。对于此图，我们应该注意：（1） 减采样之前，。根据采样定理，模频特性的幅值随着值的增大而下降（时，；时，）。（2）时的序列长度比时减小了一半。（3） 图中的模频特性是以相对数字频率为横坐标画出的。读者也可以按照采样定理，以频率为横坐标画出。考虑到，即得图中的各个频谱图。（4）对于图12.6.4的情况，时，未发生频谱混叠情况。若，就需要对原来的频谱进行预滤波。 图12.6.4 减采样对序列频谱的影响12.6.2 结构图12.6.5示出构成减采样器的两种方案。如果低通滤波器限制了信号的频带，使之在减采样中不产生混叠，则图中的两个方案是等效的。方案1中，低通滤波器先按高率进行计算，然后对中间序列减采样，从算出的个样点取其一作为输出，故多半计算量是无谓的。方案2的效率比较高，因为它从中，每隔点取出一点作为低通滤波器的输入，进行滤波。即低通滤波器工作于低率。故滤波器的计算量比较少。 图12.6.5 减采样器原理图 图12.6.6 减采样的两种直接算法结构 图12.6.7 减采样的直接算法 （方案2）流程图图12.6.6给出减采样直接算法的两种结构。子图A 属于方案1。子图B属于方案2：子图A先对样点进行滤波运算，然后每隔点取出一点作为输出，再做滤波运算。子图B中，对延迟线各个抽头的信号，每隔点，便抽出一点与相应滤波系数相乘。子图B的程序流程示于图12.6.7 应该注意，图12.6.6 A中的乘法运算与减采样可以调换，变成子图B 的样子。但是，整个减采样系统是时变系统，滤波器中的延迟线的延迟时间不容改变。子图A中，延迟线工作于高率。设输入序列的采样率为，即延迟单元的延迟时间为。若对先进行减采样操作，然后进入延迟线，如图12.6.8 所示，则延迟线工作于低率，即延迟单元的延迟时间变为。所以，图12.6.8 的换位是错误的。 图12.6.8 错误的换位第4.2.2 节阐述了信号流图的转置，据此，可以将增采样结构改变为减采样结构（或者相反）【解说12.6.1】。这里，需要重申：对操作换位，要注意l 减采样或增采样操作可以与滤波中的乘法运算换位。l 减采样或增采样操作不能与延迟操作换位。与增采样系统一样，减采样系统也需要使用低通FIR滤波器。一旦滤波器的冲激响应序列被确定，就可以采用分相结构实现。但需要注意，在两种系统中，分相结构切换器的连接不同。例如，将图12.5.2的增采样分相结构加以转置，便得到适用于减采样的分相结构，如图12.6.9所示。比较这两种结构可知，前者的切换器在输出端，后者则在输入端。 图12.6.9 减采样所用的一种分相结构 12.7 按有理数因子的采样率转换12.7.1 用线性时不变滤波器实现采样率转换在上述两种采样率变换中，变换因子（或）是整数的。在更一般的采样率变换中，变换因子是任意有理数。例如，数字音频磁带（Digital Audio Tape）的数字音频使用48 kHz 采样率，CD的数字音频则使用44.1kHz 采样率，故转换因子为 44.1 / 32 = 147 / 160。设数字设备输入端的采样率为，输出端的采样率为，则二者的关系为： （12.7.1）按有理因子转换采样率时，必须先实现内插，然后完成抽取，这样才能最大限度保留输入序列的信息。为此，利用图12.7.1A所示的级联结构，先按因子做增采样，后按因子做减采样。相应低通滤波器的冲激响应分别为和。 图12.7.1 按有理因子的采样率转换方法由图12.7.1可见，两个低通滤波器按相同采样率操作，相应的数字频率为因此，可以将二者结合成子图B所示的单个低通滤波器。请注意，这个滤波器是一个线性时不变FIR 滤波器，可以按第9章所讲的方法进行设计。滤波器的冲激响应为，它是单变量的函数；频率响应应该包括有关内插和抽取两者的滤波运算。所以，组合滤波器应具有如下的理想低通频响特性： （12.7.2） 式中，和是分别由式（12.3.1）和式(12.6.1)确定的抗镜像滤波器和抗混叠滤波器的截止频率。滤波器的截止频率应取二者中的最小者。图12.7.1 只给出按有理因子进行采样率转换的基本方法。实际上，读者可以综合以上各节所介绍的方法设计采样率转换器。例如，图12.7.2给出一种实现方案。它使用分相滤波器对系统的低率输入进行增采样操作，在每两个低率样点之间插入个高率样点，而每得到个高率样点，即输出一个样点。图12.2.4 和图12.6.2已分别说明了增采样和减采样时的频谱变化。请读者据以说明采样率转换器的频谱。 图12.7.2 采样率转换器的一个实现方案12.8 采样率转换系统的多级实现上述采样率变换都是用一级增采样器或减采样器实现所需的变换因子或。但采样率变化很大时，为了提高变换效率，需要采用两级或多级来进行变换。事实上，大多数多采样率系统使用多级方案，因为这种方案可以通过采样率递增或递减，使每一级的抗混叠滤波器或抗镜像滤波器的技术要求可以大大地降低。图12.8.1示出多级增采样器和减采样器。图中，每一级都有低通滤波器。在这些滤波器设计中，关键问题是怎样确定滤波器的过渡带。 图12.8.1 多级采样率变换 12.8.1 多级增采样系统 在设计多级增采样系统时，应