复变函数期末复习提纲

1,复变函数,一、判断题（共18分，每小题3分）二、填空题（共18分，每小题3分）三、选择题（共24分，每小题3分）四、计算题（共30分，每小题5分）五、综合题（10分）,2,第一章复数与复变函数,复数,复变函数,极限,连续性,代数运算,乘幂与方根,复数表示法,几何表示法,向量表示法,三角及指数表示法,复球面,复平面扩充,曲线与区域,判别定理,极限的计算,3,1.复数的代数运算,1)两复数的和,2)两复数的积,3)两复数的商,4)共轭复数,2.复数的几何表示,（1）几何表示法,（2）向量表示法,4,复数的辐角,复数的模(或绝对值),注意：零的模为零，辐角不确定,5,辐角的主值,6,（3）三角表示法,7,3.复数的乘幂与方根,1)乘积与商,两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.,则有,8,几何意义,复数相乘就是把模相乘,辐角相加.,2)幂与根,(a)n次幂:,9,(b)棣莫佛公式,10,4.复球面与扩充复平面,(1)复球面,球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应,这样的球面称为复球面.,我们规定:复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应,记作.因而球面上的北极N就是复数无穷大的几何表示.,包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或简称复平面.,(2)扩充复平面的定义,11,5.曲线与区域,（1）邻域,（2）内点,如果G内每一点都是它的内点,那末G称为开集.,(4)区域,如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域.,(a)D是一个开集；,(b)D是连通的,即D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.,(3)开集,12,(5)边界点、边界,(7)有界区域和无界区域,(8)简单曲线,任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成三个互不相交的点集.,简单闭曲线的性质,(9)光滑曲线,(10)单连通域与多连通域,13,例3：描述下面式子分别表示的是什么？,14,6.复变函数的概念,(1)复变函数的定义,(2)映射的定义,7.复变函数的极限,函数极限的定义,注意:,15,极限计算的定理,16,第二章解析函数,复变函数,导数,微分,解析函数,初等解析函数,指数函数,三角函数,对数函数,幂函数,性质,解析函数的判定方法,可导与微分的关系,可导与解析的判定定理,双曲函数,17,1）导数的定义,1.复变函数的导数与微分,18,2)可导与连续,函数f(z)在z0处可导则在z0处一定连续,但函数f(z)在z0处连续不一定在z0处可导.,3)求导公式与法则,19,4)复变函数的微分,20,可导与微分的关系,21,1)定义,2.解析函数,22,2)可导与解析的判定,23,24,4)解析函数的判定方法,25,例1设为解析函数，求的值.,解设,故,由于解析，所以,即,故,26,3.初等解析函数,1)指数函数,27,2)三角函数,28,(4)正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数,29,3）对数函数,因此,30,31,4)幂函数,32,例5求出的值.,解,33,第三章复变函数的积分,有向曲线,复积分,积分存在的条件及计算,积分的性质,柯西积分定理,原函数的定义,复合闭路定理,柯西积分公式,高阶导数公式,调和函数和共轭调和函数,34,1.有向曲线,2.积分的定义,3.积分存在的条件及计算,（1）化成线积分,（2）用参数方程将积分化成定积分,35,解：,所以,另解:,36,4.积分的性质,37,38,6.原函数的定义,(牛顿-莱布尼兹公式),39,7.闭路变形原理,一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.,那末,40,41,8.柯西积分公式,9.高阶导数公式,42,10.调和函数和共轭调和函数,任何在D内解析的函数,它的实部和虚部都是D内的调和函数.,43,定理区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.,共轭调和函数,44,45,因此由柯西积分公式得,46,47,注意：此也可用留数定理求解！,48,解法一不定积分法.利用柯西黎曼方程,又由：,49,积分得,因为已知实变部中不包含常数，故C是纯虚数，故该解析函数可写为,50,解法二全微分法,51,解：利用柯西黎曼方程,52,53,复数项级数,函数项级数,充要条件,必要条件,幂级数,收敛半径R,复变函数,绝对收敛,运算与性质,收敛条件,条件收敛,复数列,收敛半径的计算,泰勒级数,洛朗级数,第四章级数,54,1)复级数的收敛与发散,充要条件,必要条件,55,非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.,2)复级数的绝对收敛与条件收敛,如果收敛,那末称级数为绝对收敛.,绝对收敛条件收敛,56,4.幂级数,57,2)收敛圆与收敛半径,58,方法1:比值法,方法2:根值法,4)收敛半径的求法,那末收敛半径,那末收敛半径,59,(3),在收敛圆内可以逐项积分,即,或,60,5.泰勒级数,其中,61,2)常见函数的泰勒展开式,62,63,6.洛朗级数,定理,1),某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的,这就是f(z)的洛朗级数.,64,2)将函数展为洛朗级数的方法,(1)直接展开法,65,答：原级数收敛，且绝对收敛,66,例2求下列幂级数的收敛半径,解,67,例3展开函数成的幂级数到项.,解,由此得,所以,解析函数展为幂级数的方法,利用定义来求.,68,例4,解,由：,69,例5,解,有,70,71,第五章留数,留数,计算方法,可去奇点,孤立奇点,极点,本性奇点,函数的零点与极点的关系,对数留数,留数定理,留数在定积分上的应用,辐角原理,路西原理,72,1.孤立奇点的概念与分类,2）孤立奇点的分类,内的洛朗级数的情况分为三类:,i)可去奇点;ii)极点;iii)本性奇点.,73,极点的判定方法,在点的某去心邻域内,其中在的邻域内解析,且,(b)由定义的等价形式判别,74,iii)本性奇点,75,3)函数的零点与极点的关系,76,2.留数,77,如果为的一级极点,那末,a),2)留数的计算方法,78,79,80,3.留数在定积分计算上的应用,1）三角函数有理式的积分,正方向绕行一周.,81,2）无穷积分,82,3）混合型无穷积分,83,特别地,84,解,85,例7计算积分,解,极点为,其中,由留数定理，有,86,87,例8计算积分,解,在上半平面内有一级极点,88,放映结束，按Esc退出.,89,第六章共性映射,共形映射,分式线性映射,一一对应性,保角性,保圆性,几个初等函数构成的映射,分式线性映射的确定,对确定区域的映射,保对称性,90,