交比(射影几何)

交比,一、点列中四点的交比,1.定义,交比最根本的射影不变量,定义.设P1,P2,P3,P4为点列l(P)中四点,且P1P2,其齐次坐标依次为a,b,a+1b,a+2b,则记(P1P2,P3P4)表示这四点构成的一个交比,其定义为,(1),称P1,P2为基点偶,P3,P4为分点偶.,定理1.设点列l(P)中四点Pi的齐次坐标为a+ib(i=1,2,3,4)，则有,(2),证明.以P1,P2,为基点,参数表示P3,P4.设,a+1b=a,a+2b=b.,从中解出a,b,得,于是,P1,P2,P3,P4的坐标可表示为,即,由交比的定义,有,注定理可以作为交比的一般定义.,交比,2.性质,(1)交比组合性质,定理2设(P1P2,P3P4)=r.当改变这四点在交比符号中的次序时,交比值变化规律如下：,推论由定理2,相异的共线四点构成的24个交比只有6个不同的值：,不必背诵，但是要熟练掌握变化规律！,交比,(2)交比的初等几何意义,如果限于通常平面,则(2)式右边四个因式都是两点之间的有向距离,即,(4),注：如果P4=P,而P1,P2,P3为通常点,则可合理地规定：,于是有,(P1P2,P3P)=(P1P2P3)为前三个通常点的简单比.,交比,3.特殊情况,定理3共线四点的交比值出现0,1,三者之一这四点中有某二点相同.,证明根据定理1，令P1=P2或P2=P3或P3=P4或P4=P1直接验证.此时,上述6个不同的交比值又只有3组：0,1,.,4.调和比,定义若(P1P2,P3P4)=1,则称,推论1若(P1P2,P3P4)=1,则此四点互异.,推论2相异四点P1,P2,P3,P4可按某次序构成调和比这四点的6个交比值只有3个：,点组P1,P2,P3,P4为调和点组,点偶P1,P2,与P3,P4(相互)调和分离,点偶P1,P2,与P3,P4(相互)调和共轭,点P4为P1,P2,P3的第四调和点,交比,调和比是最重要的交比！,对于(P1P2,P3P4)=1,利用初等几何意义,有,此时,若P4=P,而P1,P2,P3为通常点,则,这表示P3为P1P2的中点.,推论3设P1,P2,P为共线的通常点，P为此直线上的无穷远点，则P为P1P2的中点,交比,例1设1,2,3,4,5,6是6个不同的共线点.证明：若(12,34)=(14,32),则(13,24)=1.,由题设,已知四点相异,交比,5.交比的计算,(1)由坐标求交比,例2已知P1(3,1,1),P2(7,5,1),Q1(6,4,1),Q2(9,7,1).求(P1P2,Q1Q2).,解第一步.验证四点共线.,第二步.以P1,P2为基点,参数表示Q1,Q2.令,i=1,2.,对于i=1,有,对于i=2,同理求得.于是，,交比,例3已知P1,P2分别是x轴、y轴上的无穷远点，P3是斜率为1的方向上的无穷远点，且(P1P2,P3P4)=r，求P4的坐标。,解：由题设知P1,P2,P3的坐标分别为(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)。设,则显然,由,可得,从而P4的坐标为(r,1,0).,注若要求P1,或P2的坐标,则需先据交比性质交换点的位置,使得交换后第1,2位置为已知点,再计算.,交比,(2)由交比求坐标,定理4设Pil(P)(i=1,2,3,4)，并已知,还已知其中三点的坐标，则第四点的坐标可唯一确定。,推论4设,为点列l(P)中取定的相异三点,Pl(P).则,为点列l(P)与,之间的一个双射.其中,交比,二、线束中四直线的交比,1.线束的参数表示,设a,b为线束S(p)中取定的相异二直线.则对于任意的pS(p),其坐标可表示为,称a,b为基线,为参数.,注1,这里a,b,p均表示直线的齐次坐标。容易看出=0a;=1a+b;=b,注2,线束的参数表示与点列的参数表示有完全相同的代数结构，因此可由点列的交比对偶地得到线束的交比.,交比,定义3设p1,p2,p3,p4为线束S(p)中四直线，且p1p2，其齐次坐标依次为a,b,a+1b,a+2b，则记(p1p2,p3p4)表示这四直线构成的一个交比，定义为,(5),称p1,p2为基线偶，p3,p4为分线偶。,定理5设线束S(p)中四直线pi的齐次坐标为a+ib(i=1,2,3,4).则,(6),2.定义,注,上述定义、定理与点列的交比有相同的代数结构.因此有相同的组合性质,并可类似定义调和直线组.,交比,3.交比为射影不变量,定理6设线束S(p)中四直线pi被直线s截于四点Pi(i=1,2,3,4)，则,证明设直线p1,p2,p3,p4的齐次坐标分别为a,b,a+1b,a+2b,直线s的齐次坐标为c.可以求出点Pi的坐标分别为,而,于是,交比,注定理6也可看做：设Pi为点列l(P)中四点,Pi与不在l上的定点S连线依次为pi(i=1,2,3,4)，则,由定理6,得下述重要结论,定理7交比为射影不变量.,注,由定理7,关于点的交比和关于直线的交比的讨论可以通过对偶的方式相互移植、相互转化.,交比,4.直线交比的初等几何意义,(1)斜率表示,如图,在以S(x0,y0)为束心的线束中，取定基线xx0=0,yy0=0，则直线的斜率k可以作为参数来表示线束S(p)。由定理5可得,定理8对于通常线束中以ki为斜率的四直线pi(i=1,2,3,4)，有,注,容易看出，斜率参数,交比,交比,证明：设p1,p2,p3,p4是通常线束S(p)中的四条直线，它们的斜率依次是k1,k2,k3,k4。设S的直角坐标为(x0,y0)，则这四条直线的直角坐标方程为ki(x-x0)-y+y0=0，对应的齐次方程为kix1-x2+(y0-kix0)x3=0，齐次坐标为piki,-1,y0-kix0。考虑两条固定的直线a:y=y0和b:x=x0，则a,b的齐次坐标分别是0,-1,y0和1,0,-x0。于是pi的齐次坐标为a+kib，于是有,设直线pi与x轴正向的夹角为i(i=1,2,3,4).将ki=tani代入上式,利用三角恒等式化简可得,定理9对于通常线束中以ki为斜率的四直线pi(i=1,2,3,4),有,其中(pipj)表示由pi到pj的夹角.,(2)三角函数表示,推论5设pi(i=1,2,3,4)为通常线束中四直线.则p3,p4为p1,p2夹角的内外平分线(p1p2,p3p4)=1,且p3p4.,证明略.本推论建立了垂直、角平分线与调和比间的关系.,交比,交比,设线束中的四直线li与x轴正向的夹角为,所以有,5.直线交比的计算,(1).由已知条件求交比,方法一.与点的交比计算完全对偶。,方法二.以一条特殊直线截已知线束，转化为点的交比计算。技巧：取合适直线，使截点坐标简单，易于计算。,(2).由已知交比和其中三直线坐标，求第四条直线。,交比,例4过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE,DF，连结EF,CD交AB于G,H。求证：GO=OH。,证明因为A,F,C,B为圆上四定点,据教材P.67例2.3，有,以直线AB截这两个线束，得,由交比的初等几何表示(2.4)式，有,所以,同理可证，GO=OH.,交比,例5证明：两直线a1x2+2h1xy+b1y2=0调和分离两直线a2x2+2h2xy+b2y2=0a1b2