几何概型易错题辨析几则

几何概型易错题辨析几则邵义平 （佛山市第三中学 广东 佛山 ）几何概型与古典概型有相同之处又有不同之处，学生初学时，往往不能识别几何概型的特点，容易犯一些似是而非的错误。我们需要认真辨析学生犯错的原因，从而促进学生理解几何概型的实质，准确解决几何概型问题。下面结合几则典型题目来作说明分析：一正确区分古典概型与几何概型例1:(1)在区间0，10上任意取一个整数，则不大于3的概率为： 。(2)在区间0，10上任意取一个实数，则不大于3的概率为： 。分析：在此题中，问题(1)因为总的基本事件是0，10内的全部整数，所以基本事件总数为有限个11，而不大于3的基本事件有4个，此问题属于古典概型，所以所求概率为。问题(2)中，因为总的基本事件是0，10内的全部实数，所以基本事件总数为无限个，此问题属于几何概型，事件对应的测度为区间的长度，总的基本事件对应区间0，10长度为10，而事件“不大于3”对应区间0，3长度为3，所以所求概率为。此例中的两个问题，每个基本事件都是等可能发生的，但是问题(1)中的总基本事件是有限个，属于古典概型；而问题(2)中的总基本事件是无限个，属于几何概型；可见古典概型与几何概型既有区别也有联系，在实际问题解决中，关键在于正确区分是古典概型还是几何概型。二准确分清几何概型中的测度例2：(1)等腰RtABC中，C=900，在直角边BC上任取一点M，求CAM300的概率。ACBMACBM (2)等腰RtABC中，C=900，在CAB内作射线交线段BC于点M，求CAM300的概率。分析：此例中的两个问题，很显然都是几何概型的问题，但是考察的测度不一样。问题(1)的测度应定为线段长度，当CAM=300时，符合条件的点M等可能的分布在线段CM上，故所求的概率等于。而问题(2)的测度应定为角度，过点A作射线与线段CB相交，这样的射线有无数条，均匀分布在CAB内，CAB=450，所以所求概率等于。本例中的两个问题都是几何概型的问题，但选取的测度不一样，在解决时考察的基本事件对象和计算的结果也不一样。可见在解决几何概型问题时，要认真审题，分清问题考察的测度，从而正确解决问题。三科学设计变量，数形结合解决问题例3：(1)某人午觉醒来，发现手表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率。(2)某人午觉醒来，发现手表停了，则表停的分钟数和实际分钟数差异不超过5分钟的概率为多少？分析：此例中，问题()里某人醒来在整点间即60分钟内是随机的，等待的时间不多于10分钟可以看作构成事件的区域，整点即60分钟可以看作所有结果构成的区域，因此本题考查的测度可看作是时间的长度，于是可以通过长度比公式计算其概率。设“等待的时间不多于10分钟”这一事件记作事件A，则；显然这是一个与长度有关的几何概型问题，问题比较简单，学生也易于理解。 y605O 5 60 x问题()里的特点在于学生易犯固定思维的错误，习惯性的用问题()中的时间长度之比来解决，得到错误的答案。学生错误的原因在于没有透彻地认识题中的变量，本题中包含了两个变量，一个是手表停的分钟数，可以在0，60内的任意时刻，另一个变量是实际分钟数，也可以在0，60内的任意时刻。所以本问题的解决应以轴和轴分别表示手表停的分钟数和实际分钟数，那么差异不超过5分钟的充要条件是，从而绘制直角坐标系，数形结合，用面积之比，得到结果。由于的所有可能结果是边长为60的正方形，差异不超过5分钟由图中阴影部分所表示，记“差异不超过5分钟”为事件因此,差异不超过5分钟的概率。本例中问题()的解决，科学的设计变量很关键，设计的前提是要提高学生自己对几何概型实质的把握，提高自己的审题能力。发现问题中隐含的变量因素，从而将一个包含两个变量的实际问题引进到直角坐标系，通过数形结合顺利解决问题。几何概型不是研究与几何有关的概率模型，但从上面的几个例子可以看出：几何概型虽然与几何没有直接的关系，但是实际生活中的某些问题我们可以通过几何图形去合理地描述，然后用几何知识解决这个问