8概率论与数理统计

1,概率论与数理统计,(八)开始王柱2013.03.27,卸匹寓涂聊廉惧脖酬梢版遗岛莎隅抬穆务嗓佛嘎眺蹈榔浑汞膏恭颈暂矩玲8概率论与数理统计8概率论与数理统计,2,定义:随机试验E,样本空间=e,(,A,P)为概率空间,对于中的每个e,都有二个实数X(e),Y(e)与之对应。,这样就得到一个定义在上的单值实向量(X,Y)=(X(e),Y(e)，如果对于任意的实数x,y,XxYy都是属于A中的事件。称为二维随机向量或二维随机变量。,第三章多维随机变量及其分布,*3.1二维随机变量,誓娶殖纽顷歼冰呼曳要恼佯瘁盟涤萝寓鸿膳廓翰粕咀鄙眨檄屠帆抨曰泰咋8概率论与数理统计8概率论与数理统计,3,F(x,y)=P(Xx)(Yy)=P(Xx,Yy)称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。或称为随机变量X和Y的联合分布函数。,它表示随机点(X,Y)落在点(x,y)左下方的无穷矩形域内的概率。,(X,Y)为一个二维随机变量,对任意实数x,y,二元函数,坚廷讼禾需芽着糜搔弄屠迂旬柜卯堪剐脆癣蜕慰键民船荒赊骑键席酚浩纵8概率论与数理统计8概率论与数理统计,4,分布函数F(x,y)的性质:,10F(x,y)是变量x和y的不减函数。,200F(x,y)1,且对于任意固定的y,F(-,y)=0,对于任意固定的x,F(x,-)=0,F(-,-)=0,F(,)=1。,30F(x+0,y)=F(x,y)，F(x,y+0)=F(x,y)，即F(x,y)关于x是右连续的,关于y也是右连续的。,40对于任意的(x1,y1),(x2,y2),x1x2,y1y2,不等式F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)0都成立。,踞诚豁塑吉饺兵滁鲍偏逆侨府俞训睹杰褥羡盐恕教皿竹泊茂羊粉尺划铡烯8概率论与数理统计8概率论与数理统计,5,*如果二维随机变量所有可能的取值最多是可列无穷对,则称(X,Y)是离散型的随机变量。,设二维离散随机变量(X,Y)所有可能取的值为(xiyj),(i,j=1,2,),取相应可能值的概率为pij=P(X=xiY=yj),(i,j=1,2,),则有:,整撑技啡花料凯钥罚绍獭磐慢太结凄父庞姓盆皑诣玲耕忘嘱景绝临樟迁迟8概率论与数理统计8概率论与数理统计,6,二维离散型随机变量的分布函数具有如下形式:,F(x,y)=PXx,Yy为台阶型函数,跳跃点在(xi,yj)处,跃度为pij。,溺划悄能皿奢佃遍舞久洼鸡于吵瘸拂坠贯括久戮老佩相瓢琼体殷炼糊豢凹8概率论与数理统计8概率论与数理统计,7,则称(X,Y)为连续型的二维随机变量,其中f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度,或称随机变量X和Y的联合概率密度。,定义:二维随机变量(X,Y)分布函数F(x,y),若存在非负函数f(x,y),对于任意实数x,y有,算蜀牧距傀匀鬼寞腥伤让腹烂贡忻抄画项缠兜霄冷兴绍酞恶苏丝呐炉床遥8概率论与数理统计8概率论与数理统计,8,概率密度f(x,y)的性质:,10f(x,y)是一个非负函数。,40设G是xOy平面上的一个区域,点落在G内的概率为,30若f(x,y)在点x,y处连续，则有,20f(x,y)在全空间上的积分为1。,躁穿搬丑呵殊瘴龙腾落范伶峦洁谩蹿逼肖秸娶凹呛札竣招列坍厌侥稍厩拦8概率论与数理统计8概率论与数理统计,9,定义:二维随机变量(X,Y)作为一个整体,具有分布函数F(x,y).而X和Y作为随机变量,个别也具有分布函数分别记为FX(x),FY(y),依次称为二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数。,*边缘分布,边缘分布函数可以由(X,Y)的分布函数F(x,y)来确定。,FX(x)=PXx=PXx,Y0),2(0),-10),-10,考虑在事件Y=yj已发生的条件下事件X=xi发生的概率,即研究事件X=xi|Y=yj,i=1,2,的概率.由条件概率公式可得,可以验证其为分布律.(非负,总和为1).,匪恫俞问霹闸吵膛未辞右例笑程呀蜗邢皇瞥助舷怔慌肿财皆阐无辈卷冉确8概率论与数理统计8概率论与数理统计,29,(X,Y)是离散型二维随机变量,对于固定的j,若PY=yj0,则称,于是有定义3.3.1:,为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律。,同样，对于固定的i,若PX=xi0,为在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律。,肥坟怨颜罕绕峭倘聪郎壮榴哇烂循较忆物纺孰崎惑矫持铭太硬狐拙鸭烟同8概率论与数理统计8概率论与数理统计,30,以前得到的(X,Y)的分布律及各边缘分布律可用表格表示为,例3.3.1:前例中当X取值一定时Y的条件分布律。,（1）以放回方式取球时，,解：,例8-3.,熏鸟舔稿掩掖罩哪硼芋蓝轻玛羊哪摘卑驳训役妄换渐采型汀邱速棚厉奥杆8概率论与数理统计8概率论与数理统计,31,疏疯募趴追凳站厩颓播腮谋滤刷续饶巷戎壹砸杖袄坦实慢汾集彦哈沪妊摩8概率论与数理统计8概率论与数理统计,32,（2）以不放回方式取球时，同上方法可得(X,Y)的分布律及各边缘分布律见表,砷湿屉攀靡闯毡碌贤蓬威槽棒简榜陨喳塌戎泥羚搓曹熄脓涵纵驾耍稠锣凛8概率论与数理统计8概率论与数理统计,33,但是在以不放回方式取球时，有。因此，X与Y不相互独立。,例3.4.1:前例中随机变量X和Y，在以放回方式取球时，有。因此，X与Y相互独立。,例8-4.,揉稽醚榷竹傀蛹悄撤靳请路丧褐骡搁纪赌筋洽楼冬痪纹裸投轿岔弗际亥喂8概率论与数理统计8概率论与数理统计,34,例1:,设：射手中靶概率为p。击中两次为止。以X表示首次击中所用的射击次数，以Y表示总共所用的射击次数。求X和Y的联合分布律及条件分布律。,解：对任10),2(0),-11为常数.,例8-6.,桨西惟羡咬灸外修预卤驴呵湛箩弄汪语姨旗他咙膀汛开毕速踏涪月质泉崇8概率论与数理统计8概率论与数理统计,43,前已得到,于是，对固定的，有,因此，二维正态分布的条件分布为一维正态分布,轿敏崖倡拘蜗寂擎彰丧拉否绅拼逊娇痈帕涛亨雷捍汇艘味酶拢讲架糊恤韩8概率论与数理统计8概率论与数理统计,44,例3.3.3：X在区间(0,1)上随机地取值,看到X=x,(0x1)后,Y在区间(x,1)上随机地取值.求Y的概率密度fY(y).,解:按题意,条件概率密度为,联合概率密度为,Y的概率密度为,演示11！,例8-7.,度千逊八贷娠狱气钉邻桐因月暴购友辑彬篡擞弗滴啃祭怖验逻咖佩段拂癸8概率论与数理统计8概率论与数理统计,45,例2.二维均匀分布,定义：G为平面上的有界区域,面积为A.若(X,Y)的概率密度为,则称此(X,Y)在G上服从均匀分布。若G为圆域x2+y2=1.求条件概率密度fX|Y(x|y).,解:现在,G为圆域x2+y21.,例8-8.,超溺这杏觉库张闷层滨莲草嘻寂鲁郊芯拦滓棵募勒亨蛋硅廖涌奎搀作可帛8概率论与数理统计8概率论与数理统计,46,概率密度为,篇榆状佬嫁刊诵鲸询点务牢丈藩粕专腹氨舷罚进斗斩辉啮刀幻库似苏熬蒸8概率论与数理统计8概率论与数理统计,47,边缘概率密度为,式帐牟涣转绢税赔递寝昏橡医闷羡埃缀戚伙笨呻翰爸耙摇烂图泅抹浅腆怕8概率论与数理统计8概率论与数理统计,48,于是当时有,演示11！,沉哑弱拷枪靶呢鸭机齐篙尖宿吹吼如辊尺哇怔泉翁酣厉辜早界堤杯塌喜辩8概率论与数理统计8概率论与数理统计,49,概率论与数理统计,(8)结束,作业:习题三的6,10,18,*,演示11！,苫黑貌七辟帆绎邻撼作镇佬诬荣渣度玻玄嘘昆头啼皮谴泰套辅虚诣因弃挺8概率论与数理统计8概率论与数理统计,50,6,灵拆笆咸哮广碘珍鼻语贺更弗郸哉藐绵浑足饭环泻血莎携携馋橡浓塞煎诺8概率论与数理统计8概率论与数理统计,51,10,了竿蜡图杠扭嚣但傈归涂套邮滚炊罩素哑盈瓦姥杖剧操中爬瞄芦蛙躯灶二8概率论与数理统计8概率论与数理统计,52,18,它匠村购棺镜拷府枯舟粟橱翠使脐拓靳推礼玫缓歹栏躺朗坪艺