03第三章空间力系

,工程力学系多媒体教学课件系列之二,理论力学,第三章空间力系,山东农业大学水利土木工程学院,第一篇静力学,第三章空间力系,第一节空间汇交力系的简化与平衡,第二节空间力偶系的简化与平衡,第五节重心,第四节空间任意力系的平衡,第三节空间任意力系的简化,第一篇静力学,第三章空间力系,第一节空间汇交力系的简化与平衡,第二节空间力偶系的简化与平衡,第五节重心,第四节空间任意力系的平衡,第三节空间任意力系的简化,一、力在空间直角坐标轴上的投影,一次投影法（直接投影法）,其中、称为力F的方向角，是力F的指向与坐标轴的正向的夹角，而cos、cos、cos称为方向余弦。,一、力在空间直角坐标轴上的投影,二次投影法（间接投影法）,其中是力F的指向与坐标轴z的正向的夹角，而为力F在xOy平面上的投影与坐标轴x的正向的夹角。,通常，我们将一个力分解为相互垂直的几个力。,力在坐标轴上的投影和力沿坐标轴的分力的关系,若X、Y、Z表示力F在各坐标轴上的投影，则,即在直角坐标系中，力沿坐标轴的分力的大小等于力相应坐标轴上的投影的绝对值。,二、空间汇交力系的简化,合力在x、y、z轴的投影为,空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。即,二、空间汇交力系的简化,方向余弦,合力矢FR的计算,大小,三、空间汇交力系的平衡,由于空间汇交力系最终简化结果一般为一合力，因此，空间汇交力系平衡的必要与充分条件为：该合力等于零，即,由FR的大小,可得平衡方程,三、空间汇交力系的平衡,空间汇交力系的平衡方程,注意：,1)当空间汇交力系平衡时，它与任何平面上的投影力系也平衡。,2)投影轴可任意选取，只要三轴不共面且任何两根不平行。,3)平衡方程的形式还可以有二力矩形式和三力矩形式。,OB=OC，45，FP=1kN，求三杆所受的力。,取铰链O及重物为研究对象,画受力图，建立坐标系，列平衡方程，得,例3-1,【解】,桅杆式起重机可简化为如图所示结构。AC为立柱，BC，CD和CE均为钢索，AB为起重杆。A端可简化为球,铰链约束。设B点滑轮上起吊重物的重量FP=20k，AD=AE=6m，其余尺寸如图。起重杆所在平面ABC与对称面ACG重合。不计立柱和起重杆的自重，求起重杆AB、立柱AC和钢索CD，CE所受的力。,例3-2,【解】,1.先取滑轮B为研究对象，画受力图。这是一平面汇交力系，列平衡方程,求得,2.再选取C点为研究对象，它的受力图如图所示。这是一空间汇交力系，作直角坐标系Axy，把力系中各力投影到Axy平面和Az轴上。先列出对Az轴的投影方程。,此力系在Axy平面上投影为一平面汇交力系，其中：,【解】,列平衡方程,所求结果如下：,【解】,第一篇静力学,第三章空间力系,第一节空间汇交力系的简化与平衡,第二节空间力偶系的简化与平衡,第五节重心,第四节空间任意力系的平衡,第三节空间任意力系的简化,一、力对轴之矩和力对点之矩,力对轴之矩是力使刚体绕固定轴转动效应的度量，代数量。,Mz(F)=MO(Fxy)=2SOab=Fxyd,1、力对固定轴之矩,2、空间力对点之矩力矩矢,空间力对点之矩是力使刚体绕固定点在空间内转动效应的度量，可以用矢量来表示，称为力矩矢。,力矩的方向垂直于OAB平面，不过空间问题中的距离d一般不易计算，这时要用下述的数学解析公式。,矩心,力臂,2、空间力对点之矩力矩矢,合力矩定理同样适用。,3、力对点之矩与力对过该点的轴之矩的关系,即有,力对点之矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴之矩。,二、空间力偶,在空间问题中，力偶矩需用一个矢量来表示，这个矢量称为力偶矩矢，用M表示，符合右手螺旋定则。力偶的大小、转向和力偶作用面称为力偶三要素。,力偶矩矢与矩心无关,三、空间力偶系的简化,任意个空间分布的力偶可以合成为一个合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。,合力偶矩矢的大小,方向余弦为,四、空间力偶系的简化,平衡方程为,空间力偶系平衡的必要与充分条件是合力矩偶矢为零，即,【说明】空间力偶系的平衡方程可以看作是力偶矩矢在轴上的投影的代数和，也可以理解为各力对轴之矩的代数和。空间汇交力系独立的平衡方程有三个，最多可求解三个未知量。在理论上存在纯粹的力偶系，但实际却很少见。有的问题若按力偶系不易求解时，也可以把力偶系看作空间任意力系来处理。,图示的三角柱刚体是正方体的一半。在其中三个侧面各自作用着一个力偶。已知力偶（F1，F1）的矩为M1；力偶（F2，F2）的矩为；力偶（F3，F3）的矩为M3，均等于20Nm。试求合力偶矩矢M。,例3-4,【解】,1.画出各力偶矩矢,【解】,2.合力偶矩矢M的投影,3.合力偶矩矢M的大小和方向,例3-5,【解】,图示支架由三根杆刚结而成，两圆盘直径均为d，分别固定于两水平杆杆端上，盘面与杆垂直。竖直杆AB长为l，在图示载荷下试确定轴承A，B的约束力。,研究整体，A、B两处约束力必构成一力偶与主动力偶系相平衡。由力偶矢三角形知，约束力偶矩MAB的大小为MFd，所以有,第一篇静力学,第三章空间力系,第一节空间汇交力系的简化与平衡,第二节空间力偶系的简化与平衡,第五节重心,第四节空间任意力系的平衡,第三节空间任意力系的简化,一、空间任意力系向一点的简化,主矢：,主矩：,主矢与简化中心的选择无关，主矩一般与简化中心的选择有关。,一、空间任意力系向一点的简化,空间任意力系向任一点简化的结果一般是一个力和一个力偶；该力作用于简化中心，其力矢等于力系的主矢,该力偶的力偶矩矢等于力系对于简化中心的主矩.,二、空间任意力系向一点的简化结果计算,主矢,二、空间任意力系向一点的简化结果计算,主矩,三、空间任意力系向一点的简化结果讨论,力系平衡,过简化中心,最后结果为一个合力偶。此时与简化中心无关。,三、空间任意力系向一点的简化结果讨论,最后结果为一合力。合力作用线距简化中心为,三、空间任意力系向一点的简化结果讨论,简化结果是力螺旋，并且力螺旋中心轴过简化中心。,三、空间任意力系向一点的简化结果讨论,最后结果为力螺旋，其中心轴距简化中心为,四、空间固定端约束,空间固定支座的约束力表示如图(c)、(d)所示，图中力的指向及力偶的转向都是假设的。,(d),图示长方体分别棱长为a、b、c，作用三个力F1、F2、F3，且F1=F2=F3=F，如何选择棱长，简化为一个力？若a=b=c，则向O点简化结果是什么？,建立图示坐标向O点简化。,即时，简化为一个力。,例3-6,【解】,若a=b=c，则向O点简化结果是力螺旋，如图所示。,沿图示长方体棱边作用的三力F1、F2、F3等效于过O点的一个力螺旋。已知F2=F3=150N，求F1，a及力螺旋中力偶矩大小。,向O简化，得,例3-7,【解】,第一篇静力学,第三章空间力系,第一节空间汇交力系的简化与平衡,第二节空间力偶系的简化与平衡,第五节重心,第四节空间任意力系的平衡,第三节空间任意力系的简化,一、空间任意力系的平衡条件和平衡方程,空间任意力系平衡的必要与充分条件是：该力系的主矢和对任意点的主矩都为零。,即,有,这称为空间任意力系基本形式的平衡方程。,一、空间任意力系的平衡条件和平衡方程,二、空间平行力系的平衡方程,空间任意力系除基本形式的平衡方程外，还可以有四力矩形式、五力矩形式和六力矩形式三组平衡方程。但是独立的平衡方程却只有六个，最多可以求解六个未知量。,空间平行力系有三个独立的平衡方程,空间平行力系的平衡条件为主矢FR和主矩MO同时为零。,悬臂刚架ABC上作用有分布荷载q=1kN/m，FP=3kN，FQ=4kN及力偶矩m=2kNm，刚架各部分尺寸如图示。求固定端A处的约束反力及力偶矩。,例3-8,【解】,【解】作受力图，建坐标系,求解得:,如图所示三轮小车，自重F1=8kN，作用于E点，载荷F1=10kN，作用于C点。求小车静止时地面对车轮的约束力。,例3-9,【解】,以小车为研究对象，主动力和约束反力组成空间平行力系，受力分析如图。,列平衡方程,解方程得,例3-9,【解】,例3-10,已知：F、FP及各尺寸，求各杆内力。,水平传动轴上装有两个胶带轮C和D，半径分别是r1=0.4m，r2=0.2m.套在C轮上的胶带是铅垂的，两,例3-11,两边拉力F1=3400N，F2=2000N，套在D轮上的胶带与铅垂线成夹角q=30o，其拉力F3=2F4。求在传动轴匀速转动时，拉力F3和F4以及两个径向轴承处约束力的大小。,【解】,以整个系统为研究对象，建立如图坐标系Oxyz，画出系统的受力图。为了看清胶带轮C和D的受力情况，作出右视图。,力FAx和FBx平行于轴x，力F2和F1通过轴x。它们对轴x的矩均等于零。,【解】,力FAz和FBz对轴x的矩分别为0.25FAz和1.25FBz。,力F3和F4可分解为沿轴x和沿轴z的两个分量，其中沿轴x的分量对轴x的矩为零，所以力F3和F4对轴x的矩为0.75（F3+F4）cos30o。,系统受空间力系的作用，可写出五个平衡方程。,由F3=2F4，可利用以上方程可以解出所有未知量。,已知：,求：F1、F2及A、B处约束力。,取曲轴研究对象，,例3-12,【解】,【解】,列平衡方程,【解】,列平衡方程,【解】,列平衡方程,【解】,解得,第一篇静力学,第三章空间力系,第一节空间汇交力系的简化与平衡,第二节空间力偶系的简化与平衡,第五节重心,第四节空间任意力系的平衡,第三节空间任意力系的简化,一、重心的概念,重力就是地球对物体的吸引力。若将物体想像成由无数微小部分组合而成，这些微小的部分可视为质量微元，则每,个微元都受重力作用，这些重力对物体而言近似地组成了空间平行力系。该力系的合力即为物体的重力，合力的作用点即为物体的重心。无论物体怎样放置，重心总是通过一个确定点。,二、重心的应用,重心问题是日常生活和工程实际中经常遇到的问题，例如：骑自行车时需要不断地调整重心的位置，才不致翻倒；体操运动员和杂技演员在表演时，需要保持重心的平稳，才能做出高难度动作；对塔式起重机来说，重心位置也很重要，需要选择合适的配重，才能在满载和空载时不致翻倒，起重机起吊重物时，吊钩必须与物体重心在一垂线上，才能保持安全、平稳。总之，掌握重心的有关知识，在工程实践中是很有用处的。,二、重心的应用,蛤蟆夯是建筑工地上用来夯实地面的一种小型施工机械，它在旋转的飞轮上设置偏心块，转到最高位置时带动,夯体跳起，然后向前落下，这样不断的跳起再落下，从而将地面夯实。从力学分析，偏心块转到最高位时的惯性力大于夯体及飞轮重量就可带动夯体起跳，而且象蛤蟆一样向前跳动。,二、重心的应用,三、重心坐标计算公式,如果把物体的重力看成为空间平行力系，物体的重力就是力系的合力，其重心就是重力的作用点，重心位置可用合力矩定理来计算。,三、重心坐标计算公式,若以FWi=gdm,FW=mg代入上式可得质心公式,三、重心坐标计