直线回归与相关分析.ppt

平均数,标准差,方差分析,多重比较,集中点,离散程度,差异显著性,一个变量（产量）,施肥量,播种密度,品种,在实际研究中，事物之间的相互关系涉及两个或两个以上的变量，只要其中的一个变量变动了，另一个变量也会跟着发生变动，这种关系称为协变关系，具有协变关系的变量称为协变量。,确定的函数关系,PV=RT气体压强,S=r2圆的面积,协变量,S=ab长方形面积,身高与胸围、体重,施肥量与产量,溶液的浓度与OD值,人类的年龄与血压,温度与幼虫孵化,不完全确定的函数关系(相关关系),协变量,相关变量,一个变量的变化受另一个变量或几个变量的制约,因果关系,平行关系,两个以上变量之间共同受到另外因素的影响,动物的生长速度受遗传、营养等影响,子女的身高受父母身高的影响,人的身高和体重之间的关系,兄弟身高之间的关系,为了确定相关变量之间的关系，首先应该收集一些数据，这些数据应该是成对的，然后在直角坐标系上描述这些点，这一组点集称为散点图。,散点图(scatterdiagram),为了研究父亲与成年儿子身高之间的关系，卡尔.皮尔逊测量了1078对父子的身高。把1078对数字表示在坐标上，如图。用水平轴X上的数代表父亲身高，垂直轴Y上的数代表儿子的身高，1078个点所形成的图形是一个散点图。它的形状象一块橄榄状的云，中间的点密集，边沿的点稀少，其主要部分是一个椭圆。,散点图(scatterdiagram),两个变量间关系的性质（正向协同变化或负向协同变化）和程度（关系是否密切）,两个变量间关系的类型（直线型或曲线型）,是否有异常观测值的干扰,正向直线关系,负向直线关系,曲线关系,定性研究,回归(regerssion),相关(correlation),定量研究,直线型,非直线型,二元,多元,直线型,二元,直线相关与回归分析,第九章,第一节,第二节,第三节,回归与相关的概念,直线回归,直线相关,第九章,相关变量,因果关系,平行关系,回归分析（regressionanalysis）,相关分析（correlationanalysis）,一个变量的变化受另一个变量或几个变量的制约,两个以上变量之间共同受到另外因素的影响,在生物学中，研究两个变量间的关系，主要是为了探求两变量的内在联系，或从一个变量X（可以是随机变量，也可以是一般的变量），去推测另一个随机变量Y。,x,y,施肥量(可以严格地人为控制),产量,如果对x的每一个可能的值，都有随机变量y的一个分布相对应，则称随机变量y对变量x存在回归(regression)关系。,自变量(independentvariable),因变量(dependentvariable),因果关系,一个变量的变化受另一个变量或几个变量的制约,在大量测量各种身高人群的体重时会发现，虽然在同样身高下，体重并不完全一样。但在每一身高下，都有一个确定的体重分布与之相对应;,在大量测量各种体重人群的身高时会发现，虽然在同样体重下，身高并不完全一样。但在每一体重下，都有一个确定的身高分布与之相对应;,身高与体重之间存在相关关系。,X身高,Y体重,X体重,Y身高,相关关系,一、直线回归方程的建立,二、直线回归的数学模型和基本假定,三、直线回归的假设检验,四、直线回归的区间估计,简单回归(SimpleRegression),一、直线回归方程的建立,直线回归就是用来描述一个变量如何依赖于另一个变量,温度,天数,直线回归方程(linearregressionequation),截距(intercept)回归截距,斜率(slope)回归系数(regerssioncoefficient),自变量,与x值相对应的依变量y的点估计值,a0,b0,a0,a0,b0,a=0,b=0,变量1,变量2,收集数据,散点图,温度,天数,黏虫孵化历期平均温度与历期天数关系图,回归直线在平面坐标系中的位置取决于a,b的取值。,y,最小,最小二乘法(methodofleastsquare),最小,为最小值,基本性质,11.8-20.4,用x估计y，存在随机误差，必须根据回归的数学模型对随机误差进行估计，并对回归方程进行检验。,y,误差,二、数学模型和基本假定,y,y的总体平均数,因x引起y的变异,y的随机误差,总体回归截踞,总体回归系数,随机误差,直线回归的数学模型(modeloflinearregression),基本假定,x是没有误差的固定变量，或其误差可以忽略，而y是随机变量，且有随机误差。,x是的任一值对应着一个y总体，且作正态分布，其平均数+x，方差受偶然因素的影响，不因x的变化而改变。,随机误差是相互独立的，呈正态分布。,y,三、直线回归的假设检验,有意义,指导实践,？,是否真正存在线性关系回归关系是否显著,(x,y),实际值与估计值之差，剩余或残差。,估计值与均值之差，它与回归系数的大小有关。,检验线性回归系数的显著性，采用t检验法进行。,假设,H0:=0HA:0,检验样本回归系数b是否来自=0的双变量总体，以推断线性回归的显著性。,依变量y的平方和，总平方和，SSy,SS总,回归平方和U,离回归平方和Q,y的离均差，反映了y的总变异程度，称为y的总平方和。,说明未考虑x与y的回归关系时y的变异。,反映了由于y与x间存在直线关系所引起的y的变异程度，因x的变异引起y变异的平方和，称为回归平方和。,它反映在y的总变异中由于x与y的直线关系，而使y变异减小的部分，在总平方和中可以用x解释的部分。,U值大，说明回归效果好。,回归平方和(regressionsumofsquares)U,误差因素引起的平方和，反映了除去x与y的直线回归关系以外的其余因素使y引起变化的大小。,反映x对y的线性影响之外的一切因素对y的变异的作用，也就是在总平方和中无法用x解释的部分。,离回归平方和误差平方和，剩余平方和(residualsumofsquares)Q,在散点图上，各实测点离回归直线越近，Q值越小，说明直线回归的估计误差越小。,依变量y的平方和，总平方和，SSy,SS总,回归平方和U,离回归平方和Q,直线回归分析中，回归自由度等于自变量的个数，只涉及到1个自变量,df回归1,df总n-1,df离回归n-2,Q/n-2,离回归标准差回归估计标准误剩余标准差,离回归方差,：它是y的本底水平，即x对y没有任何作用时，y的数量表现。,x：它描述了因变量y的取值改变中，由y与自变量x的线性关系所引起的部分，即可以由x直接估计的部分。,误差：它描述了因变量y的取值改变由x以外的可能与y有关的随机和非随机因素共同引起的部分，即不能由x直接估计的部分。,两个变量是否存在线性关系，可采用F检验法进行。,若x与y间不存在直线关系，则总体回归系数=0;,若x与y间存在直线关系，则总体回归系数0,假设,H0:两变量间无线性关系HA:两变量间有线性关系,在无效假设存在下，回归方差与离回归方差的比值服从F分布。,df1=1df2=n-2,H0:黏虫孵化历期平均温度x与历期天数y之间不存在线性关系HA:两变量间有线性关系,df=n-2,回归系数的标准误,否定H0:=0，接受HA:0，认为黏虫孵化历期平均温度与历期天数间有真实直线回归关系。,同一概率值,F（一尾）值（df1=1,df2=n-2）,t值（两尾）（df=n-2）,四、直线回归的区间估计,点估计,四、直线回归的区间估计,df=2,总体回归截距的置信区间,总体回归系数的置信区间,95%的样本回归截距落在该区间内,95%的样本回归系数落在该区间内,不包含随机误差,y总体的平均数,单个y值所在的区间,x,点估计,df=n-2,y总体的平均数,单个y值所在的区间,x,y总体的平均数,黏虫孵化历期平均温度为15时，历期天数为多少天（取95置信概率）？,df=n-2,y总体的平均数,x,单个y值所在的区间,单个y值所在的区间,某年的历期平均温度为15时，该年的历期天数为多少天（取95置信概率）？,正比,反比,作回归分析时要有实际意义。,直线回归注意问题,不能把毫无关联的两种现象勉强作回归分析，即便有回归关系也不一定是因果关系，还必须对两种现象的内在联系有所认识，即能从专业理论上作出合理解释或有所依据。,进行直线回归分析之前，绘制散点图。,直线回归注意问题,当观察点的分布有直线趋势时，才适宜作直线回归分析。,散点图还能提示资料有无异常值，即对应于残差绝对值特别大的观测数据。异常点的存在往往对回归方程中的a和b的估计产生较大的影响。因此，需要复查此异常点的值。,直线回归的适应范围一般以自变量的取值为限。,直线回归注意问题,在自变量范围内求出的估计值，一般称为内插(interpolation);超过自变量取值范围所计算出的估计值，称为外延(extrapolation)。,若无充分理由证明超过自变量取值范围还是直线，应该避免外延。,描述两变量间的依存关系。,直线回归的应用,利用回归关系进行预测(forecast)。,直线回归的应用,将自变量作为预报回子，代入方程对预报量进行估计，其波动范围可按个体y值容许区间方法计算。,回归方程进行统计控制(statisticalcontrol).,直线回归的应用,NO2浓度,一、相关系数和决定系数,二、相关系数的假设检验,三、相关系数的区间估计,一、相关系数和决定系数,x,y,线性关系,了解x和y相关以及相关的性质,相关系数,相关类型,正相关,正相关,负相关,零相关,直线相关的两个变量的相关程度和性质,乘积和,互变量,（1)单位问题,（2)x与y本身的变异不影响x与y之间的相关性,？,r,两个变量的变异程度,两个变量的度量单位,两个变量的个数,r可以用来比较不同双变量的相关程度和性质。,样本,总体,两个变量在相关系数计算中的地位是平等的，没有自变量和依变量之分,区别,联系,决定系数coefficientofdetermination,变量x引起y变异的回归平方和占y总变异平方和的比率,当SSy固定时，回归平方和U的大小取决于r2。,回归平方和U是由于引入了相关变量而使总平方和SSy减少的部分。,说明引入相关的效果好,x与y完全相关。,完全正相关,完全负相关,散点图上所有点必在一条直线上。,回归一点作用也没有，即用x的线性函数完全不能预测y值的变化。,x与y之间不存在直线相关关系，这时散点图分布紊乱，没有直线的趋势，但可能存在非线性关系。,x的线性函数对预测y值的变化有一定作用，但不能准确预测，说明y还受其他因素（包括随机误差）的影响。,相关系数(r)和决定系数(r2)的区别,（2）r可正可负，r2取正，r2一般只用于表示相关程度而不表示相关性质。,温度,天数,黏虫孵化历期平均温度与历期天数成负相关。,x和y的变异有93.74可用二者之间的线性关系来解释。,=0,x,y,(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(xn,yn),P?,二、相关系数的假设检验,r是线性关系强弱的指标,H0:=0HA:0,检验样本回归系数b是否来自=0的双变量总体，以推断线性回归的显著性。,对于相关系数r作显著性检验的无效假设为=0，即测定r来自=0总体的概率，也就是判断r所代表的总体是否存在直线相关。,总体相关系数=0,相关系数r的标准误,（）假设,（2）水平,（3）检验,（4）推断,H0:=0；HA:0,选取显著水平,在显著水平上，否定H0，接受HA；推断r显著。,在显著水平上，接受H0，否定HA；推断r不显著。,r经显著性检验的结果呈不显著时，便推断两变数间不存在相关关系，这时不能用r代表其相关密切程度。,（）假设,（2）水平,（3）检验,（4）推断,H0:=0；HA:0,选取显著水平0.01,否定H0，接受HA；推断r极显著，黏虫孵化历期温度与历期天数之间存在着极显著的直线相关关系。,必然结果,r与t符号相同。,相关系数的假设检验可不计算t值，直接从附表12查出df=n-2时r的临界值。,椰子树的产量数X(个),椰子树的高度Y(尺),X(个)120121123126128Y(尺)2123222524,椰子树的产果树与树高之间无直线相关关系。,当样本太小时，即使r值达到0.7996，样本也可能来自总体相关系数=0的总体。,不能直观地由r值判断两变数间的相关密切程度。,试验或抽样时，所取的样本容量n大一些，由此计算出来的r值才能参考价值。,1,2,三、相关系数的区间估计,r值经假设检验达到显著水平，需要由r估计总体相关系数所在的区间。,y,(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(xn,yn),X,0,两变量无直线相关关系,0,两变量有直线相关关系,正态分布,黏虫孵化历期温度与历期天数的总体相关系数的95的置信区间为（-0.9944，-0.8294）。,相关与回归的联系,回归方程的显著性,回归系数的显著性,相关系数的显著性,一致,x,y,三者同时显著或不显著。,r与b的符号一致，由两变量离均差乘积之和的符号决定。,相关与回归的联系,r：+,两变量间的相互关系是同向变化的。,b：+,x增（减）一个单位，y平均值增（减）b个单位。,相关与回归的联系,用回归解释相关。,相关与回归的联系,y关于x的直线回归系数,x关于y的直线回归系数,x,y,回归,相关,x是可以精确测量和严格控制的变量。,y服从正态分布。,x服从正态分布。,y服从正态分布。,I型回归,II型回归,相关与回归的区别,资料要求,x,y,两变量间依存变化的数量关系,两变量间相关关系,回归,相关,相关与回归的区别,应用,x,y,回归系数与相关系数的正负号都由两变量离均差积之和的符号决定，所以同一资料的b与其r的符号相同。,回归系数有单位，形式为（应变量单位/自变量单位），相关系数没有单位。,相关系数的范围在-1+1之间，而回归系数没有这种限制。,有些资料用相关表示较适宜，比如兄弟与姐妹间的身长关系、人的身长与前臂长之间的关系等资料。,有些资料用相关和回归都适宜，此时须视研究需要而定。,就一般计算程序来说，是先求出相关系数r并对其进行假设检验，如果r显著并有进行回归分析之必要，再建立回归方程。,注意问题,作