有限元教程 弹性力学基础知识3——虚功原理与弹性力学两类平面问题

,李建宇天津科技大学,有限元分析,FiniteElementAnalysis,内容弹性力学基础知识3：补充内容1.虚功原理2.弹性力学的两类平面问题要求理解：虚功原理的物理含义弹性体虚功原理的含义弹性力学虚位移原理、最小势能原理掌握：弹性力学两类平面问题的物理背景及其边值问题提法课后作业阅读弹性力学能量原理相关文献,有限元分析弹性力学补充内容,弹性力学边值问题,求解弹性力学问题的目的：,求出物体内部各点的应力、应变和位移，即应力场、应变场和位移场。,弹性力学问题的提法：,给定作用在物体全部边界或内部的外界作用（包括温度影响、外力等），求解物体内由此产生的应力场和位移场。具体要求：,（1）在物体内部各点：应力分量、应变分量和位移分量满足：,（2）在物体边界：应力分量、应变分量和位移分量满足：,平衡方程（3个）几何方程（6个）物理方程（6个）,位移边界条件力的边界条件,每一个具体问题反映在各自的边界条件上,上节回顾,弹性力学边值问题,弹性力学边值问题提法：,求u，满足：,基本方程：,边界条件：,已经证明：该问题有解，而且解唯一。,精确解很难求得！,上节回顾,近似解呢？如何求？,能量原理的解法！,求：主动力FA与FB之间的关系。,一、虚位移原理回顾,已知：如图所示椭圆规机构中,连杆AB长为l,滑块,与杆重均不计,忽略各处摩擦,机构在图示位置平衡.,理论力学中的虚位移原理回顾,即,一、虚位移原理回顾,理论力学中的虚位移原理回顾,虚位移,在某瞬时,质点系在约束允许的条件下,可能实现的任何无限小的位移称为虚位移.只与约束条件有关.,虚功,理想约束,如果在质点系的任何虚位移中,所有约束力所作虚功的和等于零，称这种约束为理想约束.,力在虚位移中作的功称虚功.,光滑固定面约束、光滑铰链、无重刚杆，不可伸长的柔索、固定端、轮子只滚不滑等约束为理想约束.,即,设质点系处于平衡,有,或记为,此方程称虚功方程,其表达的原理称虚位移原理或虚功原理.,对于具有理想约束的质点系,其平衡的充分必要条件是:作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零.,解析式为,二、弹性体的虚功原理,以微元体为对象建立弹性体的虚功方程,二、弹性体的虚功原理,考察该微元体，计算作用于它的应力与体积力所做的虚功。,首先计算前后两个面上应力所做的虚功：,二、弹性体的虚功原理,X方向体力做功：,同理，计算左右、上下两对面上应力及y和z方向体力所做虚功,二、弹性体的虚功原理,左右两面应力虚功,y方向体力做功：,上下两面应力虚功,z方向体力做功：,二、弹性体的虚功原理,将前后、左右、上下三对面上应力及x、y、z方向体力所做虚功求和，得,进一步整理，合并同类项，利用微元体平衡方程，得,二、弹性体的虚功原理,微元体应力和体力所做虚功为：,合并同类项，得,令,代入上式，得,二、弹性体的虚功原理,上式表示每一个微小六面体单元在物体有微小虚位移时所作的虚功。如果将物体分割为许多微小六面体体单元，则每一个微小单元都要作如上虚功。,进一步设想，将分割后的那些微小六面体重新合拢，回复原来的状态，则原来作为微小六面体的面力的那些应力所做虚功就会相互抵消，而就整个物体求和后以后，就只剩下体力和面力所做的虚功了。即，将上式虚功在体积内加起来应与整体的体力和面力在对应虚位移上所完成的总虚功相等，由此得到：,二、弹性体的虚功原理,上式即为弹性体的虚功方程。表达为语言：,对任意微小虚位移，外力所做总虚功等于变形体所接受的总虚变形功。,外力虚功等于内力虚功。,或,虚位移应该满足怎样的条件？即所谓的约束条件。,几何方程，又称变形协调条件：,位移边界条件：,二、弹性体的虚功原理,上式的推导中，用到了平衡条件，包含体内力的平衡和边界上力的平衡。因此，弹性体的虚功原理与弹性体的平衡方程和力的边界条件是等价的。,弹性力学边值问题提法,用虚功方程代替。,虚位移满足条件,与虚功原理无关,许可位移场,二、弹性体的虚功原理,利用虚位移原理，可以导出弹性力学中的另一个重要能量原理：最小势能原理：,定义弹性体的总体势能：,则，所有的允许位移场：u、v、w，即满足几何方程与位移边界条件的位移场，弹性体真实发生的位移场u*、v*、w*使得系统的总体势能取得极小值，即：,三、弹性力学的两类平面问题,在实际问题中，经常遇到一些比较典型的情况，可有针对性地进行处理，如厚度较薄的问题、厚度较厚的等截面问题等，这些问题无需按一般的三维弹性力学提法分析，而可以进行适当简化处理为二维问题。,1.平面应力问题,几何特征：厚度为t的很薄的均匀木板,外力特征：面力只作用于板的边缘上，方向平行于板面且不沿厚度变化体力平行于板面且不沿厚度变化,三、弹性力学的两类平面问题,1.平面应力问题,应力特征：由于薄板两表面上没有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各点均有：,进一步，由于平板很薄，外力又不沿厚度变化，可认为在整个薄板内各点均有,则，弹性力学的6个应力分量，只剩：,故得名平面应力问题,平面应力问题,应力张量可以简化为：,平面应力问题,物理方程中后两式可见，这时的剪应变：由物理方程中的第三式可见：一般，并不一定等于零，但可由及求得，在分析问题时不必考虑。于是只需要考虑三个应变分量即可，于是应变张量简化为：,平面应力问题,物理方程简化为：转化成应力分量用应变分量表示的形式：,平面应力问题,用矩阵方程表示：它仍然可以简写为：弹性矩阵D则简化为：,平面应力问题,只有三个应变分量需要考虑，所以几何方程简化为：,三、弹性力学的两类平面问题,2.平面应变问题,几何特征：无限长等截面拄形体,外力特征：面力和体力均平行于横截面且不沿长度变化的,应变特征：,应变仅是x，y的函数；由于对称性，w0,平面应变问题,既然w=0，而且u及v又只是x和y的函数，由几何方程可见。于是只剩下三个应变分量，几何方程仍然简化为方程,平面应变问题,因为由物理方程中后两式可见又由物理方程中的第三式可见：在平面应变问题中，虽然，但一般并不等于零，不过它可以由及求得，在分析问题时不必考虑，于是也就只有三个应力分量需要考虑。,平面应变问题,物理方程简化为：,平面应变问题,将物理方程式用矩阵方程表示：它仍然可以简写为：弹性矩阵D则为：,平面应变问题,工程中有许多问题很接近于平面应变问题，如受内压力的圆管、滚柱轴承中的滚柱等等，但它们的沿Z向长度都不是无限长的。故在靠近两端的部分，其应力应变状态比较复杂，并不符合平面应变问题的条件；因此将这类问题当作平面应变问题来考虑时，对于离开两端有一定距离的地方，得出的结果还是相当满意的；但对靠近两端的部位，却有较大的出入，往往需要加以处理。,平面应力和平面