早期儿童数学概念

河西学院教师教育学院王廷琼,数学认知：理论与实践,现象一：疯狂的“数学”,浙江每年至少6万学生学奥数，一年培训学费3亿元赶考6场十岁伢频频“喊累”据研究，奥数只适合少数对数学有兴趣、有特长、有天分的学生，只有大约5%的智力超常儿童适合学习奥数。而我国的“全民奥数”，却让95%的学生成了陪练。,幼儿园里的数学“热情”小学化,表现课程内容的小学化幼儿的行为要求及幼儿教育形式的小学化成因数学自身地位与作用传统的数学学科教学法力量的博弈,理性的思考：早期儿童数学教育怎样教,一、了解儿童数学概念发展阶段与水平（一）相关研究者的研究1.先天论与后天论之争,先天论认为人类和动物可能具有一种先天的、通过进化而来的对数的敏感或反应机制。动物证据人类婴儿的证据,黑猩猩的算术能力,两个盘子，每个盘子上有2个孔，每个孔里装有不同数量的巧克力块。黑猩猩每次总是正确地选择2个孔里的巧克力加在一起呈多数的那个盘子。说明黑猩猩能把2个孔里的东西加起来，或是它连续地数过2个孔里的东西。,皮亚杰对儿子的观察,在劳伦特3个月时，有一次在玩和一个摇铃连在一起的绳子。在偶然的情况下，他抓到了绳子，摇铃发出声响。他继而抓住绳子轻轻地摇，摇铃发出轻微的声音。然后他增加了拉绳子的力度，并拉得越来越重，摇铃发出了很响的声音。这时，劳伦特大笑。劳伦特理解和识别了量的变化以及量之间的关系。,2.皮亚杰的研究守恒空间概念时间概念,皮亚杰生平:皮亚杰是国际著名的儿童心理学家，创立了发生认识论，提出了儿童认知发展阶段论。皮亚杰从小就勤奋努力。他在10岁时就发表了一篇关于雀斑病的论文，这是他在公园里观察一只麻雀而写成的，反映了他对生物研究的兴趣。15岁时就以生物观点的研究来解释人类的知识，以后贯彻始终，专门研究儿童的认知发展。21岁时他成为世界闻名的研究软体动物的专家。,1920年，皮亚杰在巴黎比奈实验室，在测试儿童过程中发现被试的错误符合于一个连贯的模式，这种模式昭示他们的思想可能具有自己的特点。他对此十分感兴趣，以此奠定了他的研究方向，致力于研究儿童的智力。1921年，皮亚杰到日内瓦卢梭学院先后任主任、院长，建立了自己的一套研究体系。1955年皮亚杰创建“国际发生认识论中心”，集合各国著名哲学家、心理学家、教育学家、逻辑学家、数学家、语言学家和控制论学者们研究发生认识论，对于儿童各类概念以及知识形成的过程和发展进行多学科的剖析研究，对人类作出了巨大贡献。,皮亚杰对儿童逻辑和数学概念发展的研究在其理论中占有重要的地位，它系统研究了儿童的逻辑发现、数概念、守恒概念、空间与时间概念等的发生发展，对儿童是如何获得这些概念的过程和特点作出了详尽的心理分析，并说明了影响儿童概念获得的因素，他有关数学概念的研究主要集中在这些著作中：儿童的数学概念（1952年）、儿童的几何概念（1960年）、儿童的空间概念（1967年）、儿童的时间概念（1969年）、儿童机遇观念的起源（1975年）等。儿童的数学不是成人能直接教会的。皮亚杰,守恒,指物体的形式（主要是外部特征）起了变化，但个体认识到物体的量（或内部性质）并未改变。途径：同一性、补偿性、可逆性,几种典型的守恒试验：数守恒；长度守恒；液体质量守恒；面积守恒；体积守恒；重量守恒。儿童掌握守恒概念的顺序：数目守恒（6-7岁）-物质守恒和长度守恒（7-8岁）-面积和重量守恒（9-10岁）-体积守恒（12岁）。,基本原理：空间距离改变，数目保持不变向儿童呈现()向儿童呈现()AABB问儿童：两排珠子一样多？不一样多？“B行多（不守恒）”“一样多（守恒）”,数目守恒（6-7岁）,基本原理：不管橡皮泥形状改变，它们仍是一样大向儿童呈现()向儿童呈现()A与B一样大小B球变了ABAB问儿童：两个球是一样大，还是不一样大？“B更大”（不守恒）“一样大”（守恒）,物质守恒（7-8岁）,长度守恒（7-8岁）,返回,基本原理：不管一根线段或棒在形状或空间安排上有何变化，长度保持不变向儿童呈现()向儿童呈现()AABB问儿童：两根棒一样长还是不一样长？“B更长”或“A更长”（不守恒）“一样长”（守恒）,基本原理：不管橡皮泥形状改变，它们仍是一样大向儿童呈现()向儿童呈现()AB问儿童：两张图上的表面积是一样大，还是不一样大？“B更大”（不守恒）“一样大”（守恒）,面积守恒（8-9岁）,重量守恒（9-10岁）,基本原理：不管形状如何改变，客体的重量保持不变向儿童呈现()向儿童呈现()A两块叠在一起B两块分放两边问儿童：两堆东西是一样重，还是不一样重？“A更重”（不守恒）“一样重”（守恒）,基本原理：不管放入水中的东西形状如何改变，杯中水的体积不变向儿童呈现()向儿童呈现()两颗球放入杯中，杯中水的数将橡皮泥球B改变形状，量是一样的，儿童看到水平面准备放入水中上升到一样的高度。ABAB问儿童：若将B放入杯子中，水平面会高出A杯？一样高？低于A杯？“高一些”或“低一些”（不守恒）“一样高”（守恒）,体积守恒（12-13岁）,空间概念,儿童几何图形认知能力的发展皮亚杰提出“儿童最早的空间概念是拓扑性质的”。,实验：一般拓扑操作发展的实验,要求：儿童坐在放有屏风的桌前，让他用手摸屏风后面的几样东西，令儿童将它们和眼前所见的几样东西进行配对，或者是把它们画出来，所用物品：（1）铅笔、钥匙、梳子和茶匙。（2）一套几何图形片：,他提出了儿童图形知觉发展的三个阶段：1.（2-4岁）：能分辨开放图形和封闭图形，但不能分辨欧式图形。,2.（4-6岁）：是过渡期，能辨认欧式图形，即区分直线图形（正方形、长方形、平行四边形、菱形）和曲线图形（圆、椭圆）。儿童用眼和手跟随图形的边围，并辩识角。3.（7岁）：具有逆向思维能力，能辩识直线形成的封闭图形。辩识图形时，由某一固定参考开始，较有计划和系统性。,皮亚杰让儿童仿画几何图形，结果发现了同样的规律。,第0阶段（3岁前）：涂鸦阶段。第一阶段（3-4岁）：能分别画出封闭图形、开放图形、两圆的内外关系、相交关系，但不能分辨不同的封闭图形（如画出的三角形、正方形和圆都是不规则的封闭曲线）。第二阶段（4-6岁）：能分辨直线和曲线图形，直线、角、斜度等开始发展。第三阶段（6-7岁）：能正确地画出所有图形，具备了欧式几何的形状概念。,因此儿童认识平面图形的顺序是：圆形正方形三角形长方形半圆形椭圆形梯形；认识立体图形的顺序是：球体正方体长方体圆柱体。,模式1.模式基本特性所谓模式是指客观事物和现象之间本质、稳定、反复出现的关系，它反映的是对事物和对象的具有隐蔽性、抽象性的规律特征的认识。,模式有两个基本的特性：重复性和预测性。重复性是指模式是由相同的单元或按照同一规律发展变化的单元构成，如ABABAB，1、2、3、5、8。,2.模式的主要类型两种划分标准：按照模式组成的基本单位来划分，可以分为重复性模式和发展性模式。按照组成模式的载体不同来划分，可以分为实物模式和符号模式。,3.模式能力结构及儿童模式概念的发展阶段模式能力主要包括识别、复制、扩展、创造、比较、转换、描述和交流等，其中，模式识别能力是基础，模式的复制、扩展、创造、比较、转换、描述和交流是在模式识别能力的基础上发展起来的模式运用能力。,皮亚杰将儿童模式概念的发展划分为6个阶段：第一阶段，描述顺序，指儿童按照事物之间的大小、颜色、图形、数量等关联来解释和辨识事物间的顺序。第二阶段，描述和构建线型模式。指儿童对曲线、直线、环型线或宽线、细线组成的线型模式的理解、辨识和创建。第三个阶段，复制一个次序，第四个阶段，创建一个次序，第五个阶段，构建一个模式，第六个阶段，认识循环模式。,时间概念的发展皮亚杰认为，对时间概念的理解表现看儿童是否能够应用次序关系和绵延关系来协调两种运动。皮亚杰设计了一个经典实验：两个容积相同的玻璃瓶1和玻璃瓶2中注入有颜色的水。每隔规定的时间，让一定量的水从瓶1流入瓶2。给儿童6-8张图纸，上面印有瓶1和瓶2的画面，要求儿童：,（1）在每次水流动后要求儿童记下每只瓶中水面的位置；（2）把图片打乱，再要求儿童按照次序排好；（3）把剪开的瓶1和瓶2图纸次序打乱后，让儿童给瓶1的图纸找到相对应的瓶2图纸进行配对排列。在整个实验任务完成过程中，可以记录下学前儿童对时间次序关系和绵延关系协调运动的理解。,皮亚杰还通过其他实验，得出学前儿童在时间概念发展上的共性特点：容易受知觉影响，将空间与时间混淆等同；容易受生活经验和具体时间的影响，表现出主观、含糊的特点等。,（二）克莱门茨“建构”课程美国国际数学与科学研究报告均显示，美国学生的数学成绩仍然低于其他国家，尤其是不同经济背景下的学生成绩差异明显，这种差异甚至延续到儿童早期。美国布法罗大学DouglasH.Clements教授经过四年的时间（1998-2002年）开发了“BuildingBlock”（建构）课程。到2008年，该课程已在马萨诸塞州、纽约、纳什维尔等城市广泛实施，目前正在不断地扩大运用规模。,课程全称为“建构数学思维的基础，基于研究的学前儿童到小学2年级（3-8岁）的数学课程资源开发”。“BuildingBlocks”（建构）一词有三层意思：操作性建构（操作实物、计算机）、数学化建构（周围环境里的数量与空间关系）、认知建构（计算机环境里数学知识）,课程的理论基础：分层互动理论（HierarchicInteractionalism）12条原则：（1）幼儿思维水平有一定的发展进程。克莱门茨认为幼儿思维水平具有如下特征：水平适用于特定的领域；发展水平持续的时间可能是几个月、几天或几个小时（尤其是有效教学情境下）；下一个认知水平必须建立在之前的水平上，但水平与水平之间的距离比皮亚杰的阶段论要短，且幼儿可以通过很多方式，完成水平间的“跨越”，如从水平N到N+2水平；水平的变化是适应环境的结果，在某种环境下，幼儿能且经常“退回”到更早的思维水平。,（2）不同的数学概念有不同的发展进程。（3）发展不是新的过程、结果的重新出现，而是已有知识和过程与新知识之间的互动，而且每个水平的发展都是以前一个水平为基础。（4）数学概念通过身体表征、具体表征到思维内在表征，反复具体化。（5）幼儿数学概念和能力是交替发展的，不能只强调某一方面的发展。（6）幼儿在出生后不久，甚至更早，就具有重要的、未充分发展的前数学认知能力与素质。,（7）由于个体、环境和社会因素的影响，个体数学思维的发展过程不是完全相同的。（8）幼儿既能获得特定领域数学概念的发展，也能在概念之间建立联系。（9）环境和文化影响了发展进程的步伐和方向。（10）教育应遵循幼儿自然发展过程。（11）在幼儿思维发展模式基础上，设计有序的教学活动，帮助幼儿达到特定数学领域的目标。（12）给教师提供假定教-学路径图的例子。,课程核心教-学路径图（“learningtrajectory”）克莱门茨界定为“对特定数学领域里幼儿思维和学习的描述。通过一系列预设的教学任务，促使幼儿能通过思维水平的某一发展进程，进而改变其心理过程和行为，最终达到帮助幼儿完成特定数学领域目标的目的。”教-学路径图由三部分组成：目标、发展进程和教学任务。（1）教学目标（2）数学概念发展进程（3）教学活动,模式排列的发展水平,数数的发展水平,几何图形认知,几何图形组合能力发展进程,二、恰当的刺激实践的思考,案例：“认识、书写数字10”这是中班的一次数学活动，教师在孩子们念完了数字儿歌之后，在黑板上画出了10，同时告诉孩子“10像铅笔加鸡蛋”。在整个认识数字10的教学活动中，教师通过诵读、请小老师教读等方式将“10像铅笔加鸡蛋”这句话反复了20次之多，在书写10的过程中，也让孩子边读边写。最后，教师以“请小朋友说说10像什么？”结束了此次的数学活动。,53,教学目标确定的依据,教学内容,视频（20以内退位减法）思考：如何让数学教育内容更适宜,教学方法与方式视频（20以内的退位减法）思考：数学可以用哪些媒介？可以有什么样的组织方式？,身体,玩具,生活,新兴媒体,绘本,故事书为载体的课程“圆形地毯数学”,RoundtheRugMath:AdventuresinProblemSolving,BethCasey等人以发展适宜性实践（DevelopmentallyAppropriatePractices,DAP）为基础，将故事作为数学学习的媒介，开发了一套适用于幼儿园到小学二年级的数学辅助书籍。该课程有6本书籍构成，目的是发展幼儿的视觉与空间能力。,课程内容包括：（1）图形特征：分类、排序、表达二维和三维图形；（2）通过建构活动发展对空间关系和空间感的理解能力；（3）用数学拼图游戏理解整体与部分的关系；（4）视觉估计与测量；（5）检测空间、数字模式、算术；（6）用图片、数字和数词表示：资料分析和绘图。,分别包含在6个故事里：1.Sneeze建了一座城堡（幼儿园-学前）2.Teeny参观图形王国（幼儿园-学前）3.Layla发现秘密模式（幼儿园-小学1年级）4.Tan以及形状变化（部分与整体）5.小青蛙做测量（小学1-2年级）6.寻找Mathapotamus（小学1-2年级）,早期儿童数学活动组织形式,幼儿数学教育活动评价类型：1.按照评价对象和内容划分为：幼儿发展评价和教学评价,2.按照评价的时段和功能划分诊断性评价：开展数学教育活动之前，对教育对象进行的预测性评价。形成性评价：教育过程中持续进行的评价。终结性评价：完成某个阶段的教育活动之后进行的评价。,3.按照评价的主体划分外部评价：是指由第三者（如园长和教育行政人员、科研人员等）从外部对数学教育活动进行的评价。内部评价：是指参与教育活动的人对教育活动的自身评价，如幼儿和教师。,幼儿数学教育活动评价的方法（一）观察法观察法是在自然状态或准自然状态下，对评价对象的行为进行现场观察，并根据观察结果进行分析、作出评定的一种资料收集方法。常用的观察方法有：,1.行为检核行为检核的方法是在观察之前，依据评价的内容确定观察的目标，并制成一份观察行为检核表，将要观察的行为列在表中。如用行为检核法对幼儿在数学角的活动进行观察评价。,中（1）班幼儿选择数学活动区材料的情况记录表,2.事件详录事件详录就是详细记录某种特定行为或事件的完整过程并作出评价。例如：用事件详录法记录某小班幼儿在“给片片分类”的操作活动中的行为（持续一个月）。,观察者第一次观察到这个女孩是在11月7日。教师布置的任务是将片片先按特征分类，然后从四种标记（红、绿、圆、方）中选择两张插在分类盒中。她总是从最靠近的地方取标记，而不考虑标记的意义。第一次她分的是绿圆片和绿方片，插的是红绿颜色标记（错误）。第二次分的是红片片和绿片片，插的也是红绿标记（正确）。第三次分的是绿圆片和绿方片，插的还是红绿标记（错误）。教师开始注意到，并且加以启发和纠正，大她都不接受。当她玩第四次（按红绿颜色分类）时，观察者故意将红绿标记放在远离她的地方，她起先想拿红、绿标记，但是够不着，便拿了靠近她的圆、方标记。可见，尽管她对标记的知觉是正确的，但并不理解标记的意义。,在一个星期以后的活动中，她仍然表现出不理解标记的意义。但观察者发现她每次总是拿同一个层次的标记，如圆和方、红和绿，如果给她红标记和方标记，她则认为这样不对。又过了两个星期，她终于能够正确地完成这个任务了：她把片片按颜色分在两个格子里，然后拿了一张红标记插在红片片的格子上，观察者说：“把它插到这里（放绿片片的格子）行不行？”她说：“不行，它的颜色不对。”然后便插回到红片片的格子上，又拿了一张绿标记插在绿片片的格子上。观察者又拿出两张圆、方标记，问她行不行，她指着圆标记说：“这是圆标记，它表示圆的东西。”,（二）测查法测查法或称为测试法，就是通过预先准备的问题对幼儿的发展水平进行调查。在运用测查法时，需要做以下几个方面的工作。1.题目的设计和编制2.准备测试所需的操作材料3.设计记录表格4.拟定评分标准案例：幼儿数学入学准备的现状调查,（三）