弹性力学简明教程 第四版 徐芝纶第四章

第四章平面问题的极坐标解答,第一节极坐标中的平衡微分方程,第二节极坐标中的几何方程及物理方程,第三节极坐标中的应力函数与相容方程,第四节应力分量的坐标变换式,第五节轴对称应力和相应的位移,第四章平面问题的极坐标解答,第六节圆环或圆筒受均布压力,第八节圆孔的孔口应力集中,第九节半平面体在边界上受集中力,第十节半平面体在边界上受分布力,例题,习题的提示与答案,教学参考资料,第七节压力隧洞,平面问题的极坐标解答,第四章,区别:直角坐标中,x和y坐标线都是直线,有固定的方向,x和y的量纲均为L。极坐标中,坐标线（=常数）和坐标线（=常数）在不同点有不同的方向;,相同:两者都是正交坐标系。,直角坐标(x,y)与极坐标比较：,坐标线为直线,坐标线为圆弧曲线;的量纲为L,的量纲为1。这些区别将引起弹性力学基本方程的区别。,对于圆形，弧形，扇形及由径向线和环向围成的物体，宜用极坐标求解。用极坐标表示边界简单，使边界条件简化。,应用,41极坐标中的平衡微分方程,在A内任一点（，）取出一个微分体，考虑其平衡条件。,微分体由夹角为的两径向线和距离为的两环向线围成。,注意：两面不平行，夹角为；两面面积不等，分别为，。从原点出发为正，从x轴向y轴方向转向为正。,微分体上的作用力有：,体力，以坐标正向为正。应力面，面分别表示应力及其增量。应力同样以正面正向，负面负向的应力为正，反之为负。,作用力,考虑通过微分体形心C的向，列出三个平衡条件:,应用假定:（1）连续性，（2）小变形。,平衡条件,平衡条件,其中可取,通过形心C的向合力为0，,上式中一阶微量相互抵消，保留到二阶微量，得,式(a)中第一、二、四项与直角坐标的方向相似；而,是由于面面积大于面,面积而引起的，,是由于面上的在C点的向有投影。,略去三阶微量，保留到二阶微量，得,通过形心C的向合力为0，,式(b)中第一、二、四项与直角坐标的方程相似，而,是由于面的面积大于面引起的，,是由于面上的切应力在C点,的向有投影。,通过形心C的力矩为0，当考虑到二阶微量时，得,几何方程表示微分线段上形变和位移之间的几何关系式。,42极坐标中的几何方程及物理方程,过任一点作两个沿正标向的微分线段,1.只有径向位移，求形变。,P,A,B变形后为，各点的位移如图。,几何方程,PA线应变,在小变形假定下，,几何方程,此项表示，由于径向位移所引起的环向线段的伸长应变。,切应变为,几何方程,2.只有环向位移,求形变,P,A,B变形后为，各点的位移如图(b)。,几何方程,几何方程,切应变,此项表示：环向位移引起的环向线段的转角（极坐标中才有）。,几何方程,3.当和同时存在时，几何方程为,几何方程,且与为正交，,极坐标中的物理方程,直角坐标中的物理方程是代数方程，且x与y为正交，,故物理方程形式相似。,物理方程,极坐标中的物理方程也是代数方程，,平面应力问题的物理方程：,物理方程,对于平面应变问题，只须作如下同样变换，,边界条件应用极坐标时，弹性体的边界面通常均为坐标面，即：,边界条件,故边界条件形式简单。,以下建立直角坐标系与极坐标系的变换关系，用于：,43极坐标中的应力函数与相容方程,物理量的转换;从直角坐标系中的方程导出极坐标系中的方程。,函数的变换：将式或代入，,坐标变量的变换：,反之,1.从直角坐标系到极坐标系的变换,坐标变换,或,矢量的变换：位移,坐标变换,导数的变换：将对的导数，变换为对的导数。,可看成是而又是的函数，即是通过中间变量，为的复合函数。,有,坐标变换,而,代入，即得一阶导数的变换公式,一阶导数,，,。,注意：系数中也包含和，展开即得：,二阶导数的变换公式，可以从式(e)导出。例如,二阶导数,拉普拉斯算子的变换：由式（f）得,二阶导数,其中如式(g)所示。,3.极坐标中应力用应力函数表示,，可考虑几种导出方法：,2.极坐标中的相容方程,从平衡微分方程直接导出（类似于直角坐标系中方法）。,相容方程应力公式,(2)应用特殊关系式，即当x轴移动到与轴重合时，有:,代入式(f)，得出如书中公式。,(3)应用应力变换公式（下节），,应力公式,(4)应用应力变换公式（下节），,而,代入式(f)，得出的公式。,比较两式的的系数，便得出的公式。,应力公式,4.极坐标系中按应力函数求解，应满足：,(1)A内相容方程,(2)上的应力边界条件（设全部为应力边界条件）。,(3)多连体中的位移单值条件。,按求解,应力分量不仅具有方向性，还与其作用面有关。,因此，应力分量的坐标变换关系，应按以下方式得出。,44应力分量的坐标变换式,1.已知，求。,取出一个包含x面y(含)和,面（含）的三角形微分体，厚度为1，如下图A，考虑其平衡条件。,得,同理，由,得,类似地取出包含x面,y面和面的三角形微分体，厚度为1，如图B，考虑其平衡条件，,得,应用相似的方法，可得到,2.已知，求,应力数值轴对称仅为的函数，应力方向轴对称,轴对称，即绕轴对称，凡通过此轴的任何面均为对称面。,轴对称应力问题：,45轴对称应力和相应的位移,轴对称应力问题,其中,相应的应力函数，应力公式为：,（1）相容方程：,相容方程成为常微分方程，积分四次得的通解，,的通解,(2)应力通解：将式(c)代入式(a)，,将应变代入几何方程，对应第一、二式分别积分，,(3)应变通解：将应力(d)代入物理方程，得对应的应变分量的通解。应变也为轴对称。,(4)求对应的位移：,分开变量，两边均应等于同一常量F,将代入第三式，,即得两个常微分方程，,其中,代入，得轴对称应力对应的位移通解，,I，K为x、y向的刚体平移，H为绕o点的刚体转动角度。,位移通解,说明,（2）在轴对称应力条件下，形变也是轴对称的,但位移不是轴对称的。,（3）实现轴对称应力的条件是，物体形状、体力和面力应为轴对称。,（1）在轴对称应力条件下，式(c),(d),(e)为应力函数、应力和位移的通解，适用于任何轴对称应力问题。,说明,(4)轴对称应力及对应的位移的通解(d)、(e)已满足相容方程，它们还必须满足边界条件及多连体中的位移单值条件，并由此求出其系数A、B及C。,说明,(5)轴对称应力及位移的通解(d)、(e)，可以用于求解应力或位移边界条件下的任何轴对称问题。,(6)对于平面应变问题，只须将换为,圆环(平面应力问题)和圆筒(平面应变问题)受内外均布压力，属于轴对称应力问题，可以引用轴对称应力问题的通解。,46圆环或圆筒受均布压力,问题,问题,边界条件是,边界条件,由应力边界条件可得：,边界条件,(c),考察多连体中的位移单值条件。,圆环或圆筒，是有两个连续边界的多连体。而在位移解答中，,式(b)中的条件是自然满足的，而其余两个条件还不足以完全确定应力解答(a)。,单值条件,是一个多值函数：对于和是同一点，但式(d)却得出两个位移值。由于同一点的位移只能为单值，,B=0。,单值条件,由B=0和(c)，便可得出拉梅解答，,单值条件,(e),解答(e)的应用：,（1）只有内压力,（2）只有内压力且，成为具有圆孔的无限大薄板（弹性体）。,（3）只有外压力,单值条件,单值条件的说明：,（1）多连体中的位移单值条件，实质上就是物体的连续性条件（即位移连续性条件）。,（2）在连续体中，应力、形变和位移都应为单值。按位移求解时：取位移为单值，求形变（几何方程）也为单值，求应力（物理方程）也为单值。,单值条件,按应力求解时：取应力为单值，求形变（物理方程）也为单值，求位移（由几何方程积分），常常会出现多值项。对于单连体，通过校核边界条件等，位移单值条件往往已自然满足；对于多连体，应校核位移单值条件，并使之满足。,按应力求解时，对于多连体须要校核位移的单值条件。,单值条件,47压力隧洞,本题是两个圆筒的接触问题，两个均为轴对称问题（平面应变问题）。,1.压力隧洞圆筒埋在无限大弹性体中，受有均布内压力。圆筒和无限大弹性体的弹性常数分别为,压力隧洞,不符合均匀性假定，必须分别采用两个轴对称解答：,筒圆,无限大弹性体,压力隧洞,应考虑的条件：,（1）位移单值条件：,（2）圆筒内边界条件：,（3）无限远处条件，由圣维南原理,压力隧洞,由（1）（4）条件，解出解答（书中式（4-16）。,（4）的接触条件，当变形后两弹性体保持连续时，有,压力隧洞,2.一般的接触问题。,(1)完全接触：变形后两弹性体在S上仍然保持连续。这时的接触条件为：在S上,当两个弹性体，变形前在S上互相接触，变形后的接触条件可分为几种情况：,接触问题,(2)有摩阻力的滑动接触：变形后在S上法向保持连续，而切向产生有摩阻力的相对滑移，则在S上的接触条件为,其中C为凝聚力。,接触问题,(4)局部脱离：变形后某一部分边界上两弹性体脱开，则原接触面成了自由面。在此部分脱开的边界上，有,(3)光滑接触：变形后法向保持连续，但切向产生无摩阻力的光滑移动，则在S上的接触条件为,接触问题,在工程上，有许多接触问题的实际例子。如机械中轴与轴承的接触，基础结构与地基的接触，坝体分缝处的接触等等。一般在接触边界的各部分，常常有不同的接触条件，难以用理论解表示。我们可以应用有限单元法进行仔细和深入的分析。,接触问题,3.有限值条件,图（a）,设图（a）中半径为r的圆盘受法向均布压力q作用，试求其解答。,有限值条件,引用轴对称问题的解答，并考虑边界上的条件，上述问题还是难以得出解答。这时，可以考虑所谓有限值条件，即除了应力集中点外，弹性体上的应力应为有限值。,有限值条件,在弹性力学问题中，是在区域内和边界上分别考虑静力条件、几何条件和物理条件后，建立基本方程及其边界条件来进行求解的。一般地说，单值条件和有限值条件也是应该满足的，但是这些条件常常是自然满足的。而在下列的情形下须要进行校核：,(1)按应力求解时，多连体中的位移单值条件。,有限值条件,在弹性力学的复变函数解法中，首先排除不符合单值条件和有限值条件的复变函数，从而缩小求解函数的范围，然后再根据其他条件进行求解。,(2)无应力集中现象时，和，或处的应力的有限值条件(因为正、负幂函数在这些点会成为无限大)。,有限值条件,工程结构中常开设孔口，最简单的为圆孔。,本节研究“小孔口问题”，应符合,（1）孔口尺寸弹性体尺寸，,故孔口引起的应力扰动局限于小范围内。,48圆孔的孔口应力集中,小孔口问题,（2）孔边距边界较远（1.5倍孔口尺寸）,孔口与边界不相互干扰。,当弹性体开孔时，在小孔口附近，将发生应力集中现象。,小孔口问题,1.带小圆孔的矩形板，四边受均布拉力q，图(a)。,双向受拉,将外边界改造成为圆边界，作则有,内边界条件为，,因此，可以引用圆环的轴对称解答，取,且Rr，得应力解答,双向受拉,2.带小圆孔的矩形板，x,y向分别受拉压力，图(b)。,应力集中系数为2。,内边界条件为,最大应力发生在孔边，,作圆，求出外边界条件为,双向受拉压,应用半逆解法求解（非轴对称问题）:,由边界条件，假设,代入相容方程，,由关系，假设，设,双向受拉压,除去，为欧拉方程，得解,由式(d)，(e)得，并求出应力。,双向受拉压,校核边界条件(b),(c)，求出A,B,C,D，得应力解答：,在孔边，最大、最小应力为，应力集中系数为。,双向受拉压,3.带小圆孔的矩形板，在左右两边受到均布拉力q1，在上下两边受到均布均布拉力q2。,单向受拉,应用图示叠加原理，得应力解答:,单向受拉,讨论：,（1）孔边应力，可得,最大应力3q，最小应力-q。,单向受拉,（2)y轴上应力，,可见，距孔边1.5D处，由于孔口引起的应力扰动远处的应力，,孔口附近应力无孔时的应力。,（2）局部性应力集中区域很小，约在距孔边,1.5倍孔径（D）范围内。此区域外的应力扰动，一般。,410半平面体在边界上受分布力,当半平面体表面有分布荷载作用,时，其应力和位移解答可从集中力的解答得出。,F（原集中力）代之为微分集中力,x（原表示F作用点到M的铅直距离）仍为x;,y（原表示F作用点到M的水平距离）应代之为,应力（式（4-24）的推广：,然后对积分，从。,（原M点到F作用点的水平距离）代之为,s（原B点到F作用点的水平距离）代之为,然后对积分，从,相对沉陷解答的推广：,F（原集中力）代之为,半平面体在边界上受有均布单位力作用,书中用上述方法，导出了基础梁计算中的公式。如点K在均布力之外，则沉陷为,若基点B取得很远，有,其中：,1,例题2,例题3,第四章例题,例题4,例题5,例题6,例题7,例题9,例题10,例题8,例题,例题1（习题4-8）试考察应力函数能解决图中所示弹性体的何种受力问题？,y,x,a,a,0,第四章例题,解：本题应按逆解法求解。,首先校核相容方程，是满足的。然后，代入应力公式（4-5），求出应力分量：,第四章例题,再求出边界上的面力：,读者可由此画出边界上的面力分布。,第四章例题,半平面体表面受有均布水平力q，试用应力函数求解应力分量。,例题2（习题4-9）,第四章例题,解：首先检验，已满足。由求应力，代入应力公式得,第四章例题,再考察边界条件。注意本题有两个面,即，分别为面。在面上，应力符号以正面正向、负面负向为正。因此，有,代入公式，得应力解答，,第四章例题,设半平面体在直边界上受有集中力偶，单位宽度上的力矩为M，试求应力分量。,第四章例题,例题3（习题4-18）,（1）按量纲分析方法，单位宽度上的力偶矩与力的量纲相同。应力应与有关，由于应力的量纲是单位面积上的力，即，应力只能以形式组合。,解：应用半逆解法求解。,第四章例题,（2）应比应力的长度量纲高二次幂，可假设。,删去因子，得一个关于的常微分方程。令其解为，代入上式，可得到一个关于的特征方程，,第四章例题,（3）将代入相容方程，得,其解为于是得的四个解；前两项又可以组合为正弦、余弦函数。由此得本题中结构对称于的轴，而是反对称荷载，因此，应力应反对称于轴，为的奇函数，从而得,第四章例题,（5）考察边界条件。由于原点o有集中力偶作用，应分别考察大边界上的条件和原点附近的条件。在的边界上，有,第四章例题,（4）由求得应力分量，,为了考虑原点o附近有集中力偶的作用，取出以o为中心，为半径的一小部分脱离体，并列出其平衡条件，,前一式自然满足，而第二式成为,第四章例题,(a),上式中前两式自然满足，而第三式成为,再由式（a）得出代入应力公式，得最后的应力解答，,第四章例题,(b),设有厚度为1的无限大薄板，在板内小孔中受集中力F，试用如下的应力函数求解，,第四章例题,例题4（习题4-19）,x,y,0,F,（1）经校核，上述满足相容方程。,解：,（2）代入应力公式，得,第四章例题,（3）考察边界条件。本题只有原点o附近的小孔口上作用有集中力F，可取出包含小孔口在内的、半径为的脱离体，列出其三个平衡条件：,第四章例题,将应力代入上式，其中第二、三式自然满足，而第一式得出,第四章例题,(a),（4）由此可见，考虑了边界条件后还不足以确定待定常数。注意到本题是多连体，应考虑位移的单值条件。因此，先求出应变分量，再积分求出位移分量，然后再考虑单值条件。,第四章例题,由物理方程求出应变分量，,第四章例题,代入几何方程，得,由前两式积分，得,第四章例题,将代入第三式，并分开变量，得,第四章例题,为了使上式在区域内任意的都成立，两边都必须等于同一常数G。这样，得到两个常微分方程，,由式（b）解出,第四章例题,(b),将式（c）对求导一次，再求出,再将上式的代入，得,显然，式（d）中第二项是多值项。为了保证位移的单值性，必须,第四章例题,(d),(e),将式（a）代入上式，得,将式（a）、（f）代入应力公式，得无限大薄板在小孔口受集中力F的解答：,第四章例题,试由书中式（4-21）的解答，导出半平面体（平面应力问题）在边界上受一水平集中力F作用下的应力和位移的解答。,第四章例题,例题5,解：由书中式（4-21），当时，,用直角坐标系的应力分量表示，,第四章例题,第四章例题,以下来求位移解答。将应力代入物理方程得应变分量，,再代入几何方程，分别积分求出位移分量：,第四章例题,两边对积分，得,得,由几何方程第一式，,由几何方程第二式，,第四章例题,再将式（a）和（b）代入几何方程的第三式，,分开变量后，两边分别为的函数，各应等于同一常数G，即,两边对积分，得,第四章例题,于是得两个常微分方程。式（c）中的前一式为,对式（c）的后一式再求一次导数，,得,第四章例题,将和代入的表达式；并由式（c）得,第四章例题,得解为,代入后，得出位移的解答如下，,第四章例题,由反对称条件，当时，,而另两个刚体位移分量H和K，因未有约束条件不能求出。代入，得最后的位移解，,第四章例题,水平位移是,在半平面体的左半表面，铅直沉陷是,取B点为参考点，则M点的相对水平位移是,第四章例题,圆盘的直径为d，在一直径AB的两端点受到一对大小相同，方向相反的集中力F的作用，试求其应力。,第四章例题,例题6,解：本题可应用半平面体受铅直集中力的解答，进行叠加而得出。（a）假设GH以下为半平面体，在A点的F作用下，引用书中式（4-22）之解，,第四章例题,（b）假设IJ以上为半平面体，在B点的F作用下，类似地得出,（c）对于圆周上的点M，分别作用且，并有,显然，在圆周上有,第四章例题,因此，圆盘在对径受压时，其应力解是(a),(b),(c)三部分解答之和。,两者合成为圆周上的法向分布压力为了消除圆周上的分布压力，应在圆周上施加分布拉力其对应的应力分量为,第四章例题,由于,最大压应力发生在圆盘的中心，,得到CD线上的应力分量,第四章例题,现在来计算水平直径CD线上的值。对于N点，设则有,读者试求出CD线和AB线上的水平正应力值，并证明在中心线AB上，为常量的拉应力。AB线上的常量拉应力，便是劈裂试验的参考解答。,第四章例题,图示的曲杆，其截面为狭矩形，内外半径分别为r和R，在两端受有力矩M的作用，试求其应力。,第四章例题,例题7,解：本题中每一个截面上，内力都是M，因而也属于轴对称问题，可以引用轴对称应力解：,在主要边界上，边界条件是,由于，后两式自然满足，而其余两式为,在两端部，或者任一截面上，有边界条件,第四章例题,上式中第一式自然满足。对于后两式，注意有积分式,得到,第四章例题,注意式(c)实际上是式(a)和(b)的组合。由式(a)、(b)、(d)解出,第四章例题,其中,曲杆中的应力分量为,第四章例题,例题8图示的三角形悬臂梁，在上边界受到均布压力q的作用，试用下列应力的函数,求出其应力分量。,第四章例题,解：应力函数应满足相容方程和边界条件，从中可解出常数,第四章例题,得出的应力解答是,第四章例题,在截面mn上，正应力和切应力为,第四章例题,例题9图中所示的半平面体，在的边界上受到均布压力q的作用，也可以应用下列用极坐标表示的应力函数,进行求解，试求其应力分量。,第四章例题,解：将上述的应力函数代入相容方程，并校核边界条件，若两者均满足，就可以求出应力分量。,第四章例题,本题的应力分量用极坐标表示的解答为,第四章例题,图中所示的半平面体，在的边界上受到均布切力q的作用，也可以应用下列用极坐标表示的应力函数,进行求解，试求其应力分量。,第四章例题,例题10,解：校核相容方程和边界条件，若上述应力函数均能满足，就可以求出应力分量。,第四章例题,本题的应力解答是,第四章例题,4-1参见4-1，4-2。4-2参见图4-3。4-3采用按位移求解的方法，可设代入几何方程得形变分量，然后再代入物理方程得出用位移表示的应力分量。将此应力公式代入平衡微分方程，其中第二式自然满足，而由第一式得出求的基本方程。,习题的提示和答案,第四章习题的提示和答案,4-4按应力求解的方法，是取应力为基本未知函数。在轴对称情况下，只有为基本未知函数，且它们仅为的函数。求解应力的基本方程是：(1)平衡微分方程(其中第二式自然满足)，(2)相容方程。,习题的提示和答案,相容方程可以这样导出：从几何方程中消去位移，得,再将形变通过物理方程用应力表示，得到用应力表示的相容方程。,习题的提示和答案,4-5参见4-3。4-6参见4-3。4-7参见4-7。4-8见例题1。4-9见例题2。4-10见答案。4-11由应力求出位移，再考虑边界上的约束条件。,习题的提示和答案,4-12见提示。4-13内外半径的改变分别为两者之差为圆筒厚度的改变。4-14为位移边界条件。4-15求出两个主应力后，再应用单向应力场下圆孔的解答。4-16求出小圆孔附近的主应力场后，再应用单向应力场下圆孔的解答。,第四章习题的提示和答案,4-17求出小圆孔附近的主应力场后，再应用单向应力场下圆孔的解答。4-18见例题3。4-19见例题4。,习题的提示和答案,（一）本章的学习重点及要求,第四章教学参考资料,1、本章建立了在极坐标系中，平面问题的基本方程和按应力求解的方法，并介绍了一批有实用价值的解答。,教学参考资料,2、对于圆型、环型或由经向线和环向线围成的物体，宜用极坐标求解。因为用