随机统计班题目有答案

.1.什么是独立平稳增量过程？答：如果对任何t1 , t2 , , tn T , t1 t2 0 , 当h0 时,P N( t + h) - N( t) = 1 = h + o( h) ; 和性质四： 当 h0 时,P N( t + h) - N( t) 2 = o( h) .证明：题目二：验证possion分布的Xn ,n= 1 , 2 , 分布服从参数为的指数分布证明：首先考虑X1 的分布, 注意到事件 X1 t等价于事件 N( t) = 0 ,即( 0 , t内没有事件发生. 因此P X1 t = P N( t) = 0 = e- t ,从而P X1 t = 1 - e- t .再来看X2 ,P X2 t | X1 = s = P N( s + t) - N( s) = 0 | X1 = s= P N( s + t) - N( s) = 0 = e- t任意的n，t S10,20, .Sn0 有 PN(Xnt) X1=s，. Xn-1=n-1 3. PN(t+s1+s2.sn-1)-N(s1+s2.sn-1)=0= PN（t）=0 = e- t所以可证 FTn（t）= PTn t=1-e- t 张灏婷 张妍利用定义证明：有E(E(Y|Fn)|Fm) （1）=E(E(Y|Fm)|Fn) （2）=E(Y|Fn) （3）其中FnFm(nm).证明：【1】试证（1）=（3） 令Z=E(Y|Fn)，有Z是关于Fn可测的. 又有FnFm，故Z也是Fm可测的.E(Z|Fm)=Z【2】证（2）=（3） 记M=E(Y|Fm)，Z=E(Y|Fn). 相当于要证E(M|Fn)=Z. 验证定义：a.Z确是Fn可测的随机变量. b.对任意AFn，是否有E(MI)=E(ZI) (注意AFn，所以AFm) 左端=E(YI) 右端= E(YI) 左端=右端 故成立 阳关好暖知识点：泊松过程1. 设有非齐次泊松过程N(t),t，它的均值函数m(t)可以表示为m(t)=，求在 t=4,t=5间出现个事件的概率。解：非齐次泊松过程 N(t) , t在时间段内出现个件的概率为： , (n其中 时，于是，所求概率为：2.设N(t) ,t是强度为的泊松过程， 是一列独立同分布随机变量，且与N(t),t独立，令X(t)= ，证明：若E(，则EX(t)=tE。证明：由条件期望的性质EX(t)=EEX(t)|N(t)，而EX(t)|N（t）=n=E=E(所以Ex(t)=tE.3. 某商店顾客的到来服从强度为4人每小时的Poisson过程，已知商店9：00开门，试求：（1）在开门半小时中，无顾客到来的概率；（2）若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。解：设顾客到来过程为N(t), t0，依题意N(t)是参数为l的Poisson过程。（1）在开门半小时中，无顾客到来的概率为：PN(=（2）在开门半小时中无顾客到来可表示为 N(，在未来半小时仍无顾客到来可表示为N(1)-N(=0，从而所求概率为：PN(1)-N()=0=pN(1)-N(=0|N(PN(1)-N(=.知识点：马氏链1. 设一个坛子中装有4个球，它们或是红色的，或是黑色的。从坛子中随机地取出一个球，并换入一个另一种颜色的球，经过次取球置换，令表示第次取球后坛中的黑球数。1）是否构成马氏链,是否为齐次的，为什么? X（n）,n的参数集为T=1,2,3,n,，状态集为E=0,1,2,3,4，当X(n)的取值确定时，X(n+1)的取值完全由X(n)确定，故X(n),n为马氏链， 与n无关，故为齐次马氏链。2. 设X(t),t0是独立增量过程, 且X(0)=0, 证明X(t),t0是一个马尔科夫过程。证明：当0时， PX=PX(t)-X(=PX(t)-X(，又因为PX(t)PX(t)-X(X(=PX(t)-X(，故PX(t)=PX(t) 雷詠嫦 倪澤苗 楊嘉琪三峡库区移民问题。设库区中原有居民移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有2户定居；每户的人口是一随机变量，一户为四人的概率是1/6，一户为三人的概率是1/3，一户为二人的概率是1/3，一户为一人的概率是1/6，并且每户的人口数是相互统计独立的。求在八周内移民到该地区人口的数学期望及其方差。解：设Yn代表第n户的人口数，其取值范围是1，4；N（t）是0，t)内定居的移民户数，其参数=2； X ( t)代表0，t)内移民到该地区的总人数；其中时间t的单位是周数，则X( t) = Yn而随机变量Yn的均值为EYn= kpk =41/6+31/3+21/3+11/6 =5/2其均方值为EYn2= k2pk =421/6+321/3+221/3+121/6= 43/6八周（t=8）内移民到该地区人口的数学期望和方差为EX( t) =(t) EYn =285/2 =40DX( t) =(t) EYn2 =2843/6 =334/3 李燕芬 何飞宜 廖文华 林圣洋泊松过程某火车站售票处从早上8:00开始连续售票，乘客依10h/人的平均速率到达，则从9:00到10:00内最多有5名乘客来此购票的概率是多少？从10:00到11:00没有人来买票的概率是多少？答案：设8:00为0时刻，则9:00为1时刻，10:00为2时刻，11:00为3时刻；参数P N(2) N(1) 5 =P N(3) N(2) =