函数的周期性和对称性

函数的性质-对称性、周期性,(1)若关于直线对称,一、函数的对称性,若函数上任意一点关于某直线（或某点）的对称点仍在上，就称关于某直线（或某点）对称，这种对称性称为自对称。,(2)若关于点对称,两个恒等式的形式均不唯一，要记住本质构造.,定理：若函数满足，那么函数以为对称轴。,cor.若函数满足，那么函数以为对称轴。,即：,定理：若函数满足，那么函数关于点对称。,cor.若函数满足，那么函数关于点对称。,即：,2)若,则函数关于_对称;,注：1.当时,函数关于直线对称,2.当时,函数关于点对称,偶函数-特殊的轴对称函数,奇函数-特殊的点对称函数,一般地,1)若,则函数关于对称.,f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),f(x)=f-1(x),f(x)=f(2m-x),f(x)=2n-f(2m-x),Ex:若函数,12,关于x=0对称,例1：已知的图象,画出和的图象，并指出两者的关系。,若函数上任意一点关于某直线（或某点）的对称点在上，就称和关于某直线（或某点）对称，这种对称性称为互对称。,一般地,函数和关于_对称.,记忆：令x+a=-x+b，可求得对称轴.,y=-f(-x),y=-f(x),y=f(-x),y=f-1(x),y=-f-1(-x),y=f(2m-x),y=2n-f(x),y=2n-f(2m-x),例3：设的图象与的图象关于直线对称，求的解析式。,例2:将函数右移2个单位得到图像C1，有C1和C2的图像关于点对称，求C2的函数解析式。,利用对称性求解析式,（一）、互对称问题常用轨迹代入法求解析式,例4：设图象关于直线对称,在上，求当时的解析式。,例5：设是定义在R上的偶函数，它的图象关于直线对称，已知时,函数求当时的解析式,(二)、自对称问题常联系恒等式进行x的变换,关于直线对称,关于直线对称,关于对称,关于点对称,常见函数的对称性,一个函数本身的对称性称为自对称,分成关于某直线对称或某点对称.,原点,二、函数的周期性,理解（1）.是否所有周期函数都有最小正周期？,1.定义:对于函数，若存在非零常数T，使得恒成立，则称为周期函数，T是函数的一个周期。若所有周期中存在一个最小正数，则称它是函数的最小正周期。,(2).若T是的一个周期，则kT（k是非零整数）均是的周期吗？(3)周期函数的定义域D可以为闭区间吗？,T=(a-b),思考：若,函数具有什么性质？,注：除了定义式是充要条件外，其余均为充分非必要条件,2、常见的判断周期的恒等式(可用递推法证明),3.函数的对称性与周期性的几个常见性质。性质1.若函数以为对称轴，那么此函数是周期函数，周期T=,X=a,X=b,性质2.若函数以为对称点，那么此函数是周期函数，周期T=,假定,(a,0),(b,0),性质3.若函数以为对称点，以为对称轴，那么此函数是周期函数，周期T=,假定,X=b,(a,0),X,Y,O,练习1:定义在R上的函数满足且方程有1001个根，则这1001个根的和？,4:如果那么,3：如果那么,2:函数图象关于点对称，则,5:(1)定义在R上偶函数满足则方程在区间上至少有()个根。(2)将上题中的“偶函数”改成“奇函数”，其余条件不变，则在区间至少有()个根。,重要结论：若奇，且周期为T，则必有,注：可用模拟图，直观明了,思考：若周期为，又关于对称，能否推出是偶函数？若能，能否严格证明？,练习:1.若为定义在R上的奇函数，且关于直线对称，问：是否为周期函数？若是，求出它的一个周期。,2.若为定义在R上偶函数且满足问：是否关于直线对称？若是，请给出证明。,3：设奇函数，且当则,5：设是定义在R上的偶函数，它的图象关于直线对称，已知时,函数求当时的解