广东省北京师范大学东莞石竹附属学校2019_2020学年高二数学上学期第一次月考试题.docx

广东省北京师范大学东莞石竹附属学校2019-2020学年高二数学上学期第一次月考试题考试范围：解三角形，数列；考试时间：120分钟；题号一二三总分得分注意：本试卷包含、两卷。第卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知a=5，c=2，cosA=，则b=（）A. 2B. 3C. 2D. 32. 设ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c若a=3，b=3，A=蟺3，则B=（）.A. 蟺6B. 5蟺6C. 蟺6或5蟺6D. 2蟺33. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=7，b=5，c=8，则ABC的面积S等于（）A. 10B. 103C. 20D. 2034. 正项等比数列an中，a3=2，a4a6=64，则a5+a6a1+a2的值是（）A. 4B. 8C. 16D. 645. 已知等差数列an中，a1+a3+a920，则4a5-a7（ ）A. 20B. 30C. 40D. 506. 在ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于（）A. 23B. -23C. -13D. -147. 在锐角ABC中，AB=3，AC=4，SABC=33，则cosA=（）A. 12B. 32C. 卤12D. 卤328. 张丘建算经中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月（按30天计）共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布A. 12B. 815C. 1631D. 16299. 等比数列an的各项均为正数，且a5a6+a4a718，则log3a1+log3a2+log3a10（）A. 12B. 10C. 8D. 10. 在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A、B、C成等差数列，3a、3b、3c成等比数列，则cosAcosB= ( )A. 12B. 14C. 23D. 1611. 在ABC中，若b，a，c成等差数列，且sin2A=sinBsinC，则ABC的形状为（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形12. 定义na1+a2+鈰?an为n个正数a1，a2，an的“均倒数”若已知数列an的前n项的“均倒数”为12n+1，又bn=an+14，则=（）A. 20162017B. 12017C. 20152016D. 20172018第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在ABC中，则此三角形的最大边长为_14. 在数列an中，若a1，a2 - a1，a3 - a2，an - an1，是首项为 1，公比为的等比数列，则a5=_15. 三角形ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c，已知b2+c2-a2=3bc，且a=1，则三角形ABC外接圆面积为_.16. 数列an是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q= _ 三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余题目每题12分，共70.0分）17. 设等差数列an满足a4=5,a9=-5（1）求数列an的通项公式；（2）求数列an的前n项和Sn的最大值（10分）18. 已知正项等比数列an满足a3=9，a4-a2=24（）求数列an的通项公式；（）设bn=nan，求数列bn的前n项的和Sn19. 在ABC中，A，B，C的对边分别为a、b、c，C=蟺3,b=8，ABC的面积为103（）求c的值；（）求cos（B-C）的值20. 设ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b +acosC =0，sinA =2sin（A+C）（1）求角C的大小；（2）求的值21. 在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2=a2+c2-ac. （）求B的大小；（）若a=c=2,求ABC的面积；（）求sinA + sinC的取值范围.22. 已知数列an满足a1=1，an+1=1-14an（nN*）（1）设bn=22an-1，求证：数列bn是等差数列，并求出an的通项公式；（2）设cn=4ann+1，求数列cncn+1的前n项和Tn答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题由余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc，利用已知整理可得3b2-8b-3=0，从而解得b的值【解答】解：a=5，c=2，cosA=，由余弦定理可得：cosA=b2+c2-a22bc=，整理可得：3b2-8b-3=0，解得b=3或-（舍去）故选D2.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，属于基础题由已知及正弦定理可求sinB=bsinAa=，利用大边对大角可求B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可得解B的值【解答】解：a=3，b=3，A=蟺3，由正弦定理可得：sinB=bsinAa=3脳323=，ab，B为锐角，B=故选A3.【答案】B【解析】【分析】本题考查余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，求出sinC是解题的关键，属于基础题利用余弦定理求得cosC，再利用同角三角函数的基本关系求得sinC，代入ABC的面积公式进行运算即可【解答】解：在ABC中，若三边长分别为a=7，b=5，c=8，由余弦定理可得64=49+25-275cosC，cosC=，sinC=437，SABC=12absinC=103故选B4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题设正项等比数列an的公比为q，由a3=2，a4a6=64，利用通项公式解得q2，再利用通项公式即可得出【解答】解：设正项等比数列an的公比为q，a3=2，a4a6=64，a1q2=2，a12q8=64，解得q2=4，a5+a6a1+a2=q4a1+a2a1+a2=q4=16故选C5.【答案】A【解析】【分析】利用等差数列通项公式列出方程，利用整体变量替换计算得结论本题考查等差数列的通项公式，是基础题【解答】解：等差数列an中，a1+a3+a9=20，a1+a1+2d+a1+8d=3a1+10d=20，4a5-a7=4（a1+4d）-（a1+6d）=3a1+10d=20故选A.6.【答案】D【解析】解：由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4可设a=2k，b=3k，c=4k（k0）由余弦定理可得，CosC=a2+b2-c22ab=故选：D由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c，可设a=2k，b=3k，c=4k（k0），由余弦定理CosC=a2+b2-c22ab可求得答案本题主要考查了正弦定理asinA=bsinB=csinC及余弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题7.【答案】A【解析】【分析】由已知利用三角形面积公式可求sinA的值，利用同角三角函数基本关系式可求cosA的值本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题【解答】解：因为：AB=3，AC=4，SABC=33，可得：SABC=ABACsinA=6sinA=33，故sinA=32，且A是锐角，故cosA=1-cos2A=，故选：A8.【答案】D【解析】解：依题意，每天织布的数量成等差数列.设此等差数列的公差为d，则305+30脳292d=390，解得d=1629，故选：D利用等差数列的求和公式即可得出本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题9.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了等比数列的性质解题的关键是灵活利用了等比中项的性质先根据等比中项的性质可知a5a6=a4a7，进而根据a5a6+a4a7=18，求得a5a6的值，最后根据等比数列的性质求得log3a1+log3a2+log3a10=log3（a5a6）5答案可得【解答】解：由等比数列的性质可得a5a6=a4a7，a5a6+a4a7=2a5a6=18，a5a6=9，log3a1+log3a2+log3a10=log3（a5a6）5=5log39=10.故选B10.【答案】B【解析】【分析】先根据A，B，C成等差数列和三角形内角和定理求出B的值，根据等比中项的性质可知b2=ac代入余弦定理求得a2+c2-ac=ac，整理求得a=c，即得A=C，最后利用三角形内角和定理求出A和C，最后求出式子的值本题主要考查了等差数列和等比数列的性质，三角形的内角和定理，以及余弦定理的应用，三角形问题与数列的综合题，是考试中常涉及的问题。【解答】解：由A，B，C成等差数列，有2B=A+C（1）A，B，C为ABC的内角，A+B+C=（2）由（1）（2）得B=由3a，3b，3c成等比数列，得b2=ac，由余弦定理得，b2=a2+c2-2accosB把B=、b2=ac代入得，a2+c2-ac=ac，即（a-c）2=0，则a=c，从而A=C=B=，cosAcosB=，故选B11.【答案】C【解析】【分析】由三角形的三边成等差数列，根据等差数列的性质得到b+c=2a，记作，利用正弦定理化简sin2A=sinBsinC得到关于a，b及c的关系式，记作，联立消去a得到关于b与c的关系式，变形可得出b=c，从而得到a，b及c都相等，故三角形为等边三角形此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有等差数列的性质，正弦定理以及等边三角形的判定，灵活运用等差及等比数列的性质及正弦定理得出关于三角形三边的两关系式是解本题的关键【解答】解：ABC的三边b，a，c成等差数列，b+c=2a，又sin2A=sinBsinC，根据正弦定理化简得：a2=bc，由得：a=b+c2，代入得：(b+c)24=bc，即（b-c）2=0，b=c，故a=b=c，则三角形为等边三角形故选：C12.【答案】A【解析】【分析】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题设Sn=a1+a2+an，由题意可得：na1+a2+鈰?an=12n+1，可得Sn=2n2+n利用递推关系可得an，从而可得bn=an+14，利用“裂项求和”方法即可得出【解答】解：设Sn=a1+a2+an，由题意可得：na1+a2+鈰?an=12n+1，可得Sn=2n2+nn=1时，a1=S1=3；n2时，an=Sn-Sn-1=2n2+n-2（n-1）2+（n-1）=4n-1n=1时也成立an=4n-1bn=an+14=n，1bnbn+1=1n(n+1)=1n-1n+1则=(1-12)+(12-13)+(12016-12017)=1-12017=20162017故选A13.【答案】53【解析】解：在ABC中，可得A=，所以三角形的最大边长b：，解得b=53故答案为：53求出A，利用正弦定理求解即可本题考查正弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力14.【答案】3116【解析】【分析】本题考查了等比数列的前n项和公式，利用累加法转化为求和问题是解决本题的关键.直接把数列a1，a2-a1，a3-a2，an-an-1，的前n项求和即可得到答案.【解答】解：由题意可知，an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+（an-an-1）=a5=21-125=2脳3132=3116.故答案为3116.15.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理表示出cosA，将已知等式代入求出cosA的值，根据A为三角形内角，可求sinA的值，再利用正弦定理即可求出外接圆半径，利用圆的面积公式即可计算得解此题考查了正弦、余弦定理，以及圆的面积公式的应用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题【解答】解：b2+c2-a2=3bc，且a=1，cosA=b2+c2-a22bc=3bc2bc=32，A为三角形内角，sinA=，设三角形ABC外接圆半径为R，根据正弦定理得：asinA=112=2R=2，即R=1，三角形ABC外接圆面积S=R2=故答案为16.【答案】1【解析】【分析】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题设出等差数列的公差，由a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列列式求出公差，则由q=a3+3a1+1化简得答案【解答】解：设等差数列an的公差为d，由a1+1，a3+3，a5+5构成等比数列，得：(a3+3)2=(a1+1)(a5+5)，整理得：a32+6a3+4=a1a5+5a1+a5，即(a1+2d)2+6(a1+2d)+4=a1(a1+4d)+5a1+a1+4d化简得：（d+1）2=0，即d=-1q=a1+1a1+1=1故答案为117.【答案】解：（1）由an=a1+（n-1）d及a4=5,a9=-5，得：a1+8d=-5，a1+3d=5，解得d=-2，a1=11，数列an的通项公式为an=13-2n.（2）由（1）知Sn=na1+n(n-1)2d=12n-n2，因为Sn=-（n-6）2+36，所以n=6时，Sn取得最大值36【解析】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的求和，属于基础题.（1）由an=a1+（n-1）d及a4=5,a9=-5，得：a1+8d=-5，a1+3d=5，进而求得答案.（2）由（1）知Sn=na1+n(n-1)2d=12n-n2，因为Sn=-（n-6）2+36，进而求得答案.18.【答案】解：（）设数列an的公比为q，由a4-a2=24，得9q-9q=24，即3q2-8q-3=0，解得q=3或q=-13又an0，则q0，q=3，（），3可得：，-可得：，【解析】（）设出公比，利用已知条件求出公比，然后求解数列an的通项公式；（）化简bn=nan，利用错位相减法求解数列bn的前n项的和Sn本题考查数列的通项公式的求法，数列求和的方法错位相减法的应用，考查计算能力19.【答案】解：（）C=蟺3锛宐=8，ABC的面积为103=absinC=12脳a脳8sin，解得：a=5，由余弦定理可得：c=a2+b2-2abcosC=7，（）由（）可得：cosB=a2+c2-b22ac=49+25-6470=，又B（0，），可得：sinB=1-cos2B=437，cos（B-C）=cosBcos+sinBsin=43732+=1314.【解析】（）由已知利用三角形面积公式可求a的值，进而利用余弦定理可求c的值（）由（）利用余弦定理可求cosB的值，结合范围B（0，），利用同角三角函数基本关系式可求sinB，进而利用两角差的余弦函数公式计算求值得解本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题20.【答案】解：（1）sinA =2sin（A+C）=2sin（-B）=2sinB，由正弦定理可知：asinA=bsinB=csinC=2R，a=2b，由cosC=-=-，由0C，则C=2蟺3，（2）由余弦定理可知：c2=a2+b2-2abcosC=4b2+b2+2b2=8b2，则c=22b，则=22b2b=2，的值为2【解析】（1）由题意可知sinA=2sinB，根据正弦定理可知a=2b，则cosC=-=-，即可求得C；（2）利用余弦定理求得c=22b，即可求得的值本题考查正弦定理及余弦定理的应用，特殊角的三角函数值，考查计算能力，属于基础题21.【答案】解：（）b2=a2+c