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文档简介

普陀二中张杰,一.问题的由来,来自对一道题的深层次思考,人教版八下四边形教师用书的拓展性问题中的一道题：,例1：在直角梯形abcd中，bc=cd=4,点e是dc边上的点，abe=450，若ae=3，则abe的面积=。,解题思路：,f,g,二.对问题的深层思考,完成这个结论后，我提出了这样一个问题：求ce的长。,f,g,x,x,4-x,1+x,设ce=x，那么fg=ce=x,de=4-x,af=3-x,da=4-(3-x)=x+1,由勾股定理得：（4-x)2+(x+1)2=32化简得：x2-3x+4=0说明此方程无解。即：这道题是一个错题。,三.原因在哪里？,在查找原因之前，请大家再思考一道题。这是2004年信利杯全国初中数学竞赛填空题的第9题,f,g,x,x,12-x,2+x,例2：如图所示，在梯形abcd中，adbc（bcad），d=900，bc=cd=12，abe=450，若ae=10，则ce的长度为。,10-x,这两道题的实质是一样的。,用相同的方法可得：（2+x)2+(12-x)2=102x2-10 x+24=0 x=4,x=6,四.原因探究,原因在于由勾股定理得到的一元二次方程的解的问题。（1）有两个不相等的实数根，（2）有两个相等的实数根，（3）没有实数根。之所以会出现以上三种情形，真正的关键：是与正方形边长bc和线段ae的长度问题有关。即ae与bc的比的问题。,五.新试题的编制,如图所示，在梯形abcd中，adbc（bcad），d=900，bc=cd=a，abe=450，若ae=b，则求b:a的取值范围。,f,g,x,x,a-x,a-b+x,b-x,运用以上的解题思路，可得：（1）cde的周长=2a,即为正方形周长的一半。从而说明：。,（2）（a-x)2+(a-b+x)2=b2,整理得：x2-bx+a2-ab=0,=b2-4(a2-ab)0,六.问题的拓展,e,f为正方形abcd边bc和cd上的点，则下列命题是等价的。,（1）eaf=450（2）cef的周长等于正方形abcd周长的一半（3）s正方形abc
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