周期序列的傅里叶变换DTFT

第2章时域离散信号和系统的频域分析,2.1引言2.2序列的傅里叶变换的定义及性质2.3周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式2.4时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系2.5序列的Z变换2.6利用Z变换分析信号和系统的频域特性,2.1引言,1.时域分析方法,2.频率分析方法,信号和系统的两种分析方法:,本章讲述离散序列的傅里叶变换和z变换，学习信号与系统的频域分析法。,2.2序列的傅里叶变换的定义及性质,(2.2.1),用DTFT(DiscreteTimeFourierTransform)缩写字母表示。,2.2.1序列傅里叶变换的定义,DTFT成立的充分必要条件是:序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式：,(2.2.2),单位阶跃序列u(n)不满足上式,故其傅里叶变换不能用定义式直接计算.,为求DTFT的反变换，用乘(2.2.1)式两边，并在-内对进行积分，得到,因此,(2.2.4),证明,例2.2.1设x(n)=RN(n)，求x(n)的DTFT.,解：,(2.2.5),设N=4，幅度与相位随变化曲线如图2.2.1所示。,图2.2.1R4(n)的幅频与相频曲线,图2.2.1-1序列R4(n),N=4,M为整数(2.2.6),2.2.2序列傅里叶变换的性质,1.DTFT的周期性,n取整数，,因此下式成立,在定义式中，,结论:序列的傅里叶变换是频率的周期函数，周期是2。在=0,2,4,点上表示x(n)的直流分量;=是最高频率。,2.线性,那么,设,(2.2.7),式中a,b为常数,设X(ej)=DTFTx(n)，那么,3.时移与频移,4.DTFT的对称性,(1)共轭对称与共轭反对称以及它们的性质,如果序列xe(n)满足下式：xe(n)=x*e(-n)(2.2.10)则称xe(n)为共轭对称序列。,将上式两边n用-n代替，并取共轭，得到x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n),将xe(n)用其实部与虚部表示xe(n)=xer(n)+jxei(n),因此得到xer(n)=xer(-n)(2.2.11)xei(n)=-xei(-n)(2.2.12),结论:共轭对称序列的实部是偶函数，而虚部是奇函数。,类似地，可定义满足下式的称共轭反对称序列xo(n)=-x*o(-n)(2.2.13),并且有xor(n)=-xor(-n)(2.2.14)xoi(n)=xoi(-n)(2.2.15),结论:共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。,实部是偶函数，虚部是奇函数。,例2.2.2试分析x(n)=ejn的对称性,解将x(n)的n用-n代替，再取共轭得到：x*(-n)=ejn,因此x(n)=x*(-n),即x(n)是共轭对称序列。,将x(n)展成实部与虚部，得到x(n)=cosn+jsinn,(2)离散时间序列的DTFT的对称性,对于一般序列可表示成,x(n)=xe(n)+xo(n)=xr(n)+jxi(n),对应的频域函数X(ej)也有和上面类似的概念和结论：,X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej)=XR(ej)+jXI(ej),式中Xe(ej)与Xo(ej)分别称为共轭对称部分和共轭反对称部分。它们满足,DTFT的对称性,例：,的DTFT为,证明：,(3)实序列的对称性,如果h(n)是实序列，其频率函数的共轭反对称部分Ho(ej)=DTFTjhi(n)为零。,故其DTFT只有共轭对称部分He(ej)，即H(ej)=He(ej),而共轭对称部分He(ej)由下式求出He(ej)=H(ej)+H*(e-j)/2,所以,H(ej)=He(ej)=H(ej)+H*(e-j)/2,由此推出H(ej)=H*(e-j).,结论：实序列的傅立叶变换是共轭对称的.而且频域函数的实部是偶函数，而虚部是奇函数.,用公式表示为HR(ej)=HR(e-j)HI(ej)=-HI(e-j),(4)因果实序列的确定,实序列h(n)可如下分解：h(n)=he(n)+ho(n),其中he(n)=h(n)+h(-n)/2ho(n)=h(n)-h(-n)/2,如果h(n)是实因果序列，按照上面两式he(n)和ho(n)可以用下式表示：,实因果序列h(n)也可分别用he(n)和ho(n)表示为h(n)=he(n)u+(n)(2.2.29)h(n)=ho(n)u+(n)+h(0)(n)(2.2.30),例2.2.3x(n)=anu(n);0a1,例2.5.1x(n)=u(n)，求其Z变换。,解：,由X(z)表达式表明，极点是z=1，单位圆上的Z变换不存在，或者说收敛域不包含单位圆。,2.5.2序列特性对收敛域的影响,1.有限长序列,其Z变换为,有限长序列的收敛域表示如下：,(1)n10时，00时，0z,序列x(n)满足下式：,例2.5.2求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域,解：,收敛域为0z,2.右序列,右序列的z变换为,收敛域为Rx-|z|。如果是因果序列，收敛域为Rx-|z|。Rx-是第二项最小的收敛半径.,右序列是在nn1时，序列值不全为零，而其它nn1，序列值全为零的序列。,左序列的Z变换表示为,3.左序列,收敛域为0|z|Rx+,解：,在收敛域中必须满足|az-1|a|。,例2.5.3求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域,X(z)存在要求|a-1z|1，即收敛域为|z|Rx-，其收敛域为Rx-|z|Rx+;如果Rx+Rx-，两个收敛域没有公共区域，X(z)没有收敛域，因此X(z)不存在。,解：,第一部分收敛域为|az|a|。如果|a|1，两部分的公共收敛域为|a|z|a|-1.如果|a|1，则无公共收敛域，因此X(z)不存在。,例2.5.5x(n)=a|n|，a为实数，求x(n)的Z变换及其收敛域。,|a|z|a|-1,当0a1时，x(n)的波形及X(z)的收敛域如图2.5.2所示。,其Z变换如下式：,图2.5.2例2.5.5图,2.5.3逆z变换,已知序列的Z变换及其收敛域，求序列称为逆Z变换。,式中c是收敛域(Rx-,Rx+)中一条逆时针的闭合曲线.如下图所示。,序列的Z变换及其逆Z变换表示如下：,图2.5.3围线积分路径,(2.5.7),式中表示被积函数X(z)zn-1在极点z=zk的留数，逆Z变换则是围线c内所有的极点留数之和。,1.用留数定理求逆Z变换,如果zk是单阶极点，则根据留数定理,如果X(z)zn-1在围线c内的极点用zk表示，根据留数定理,如果zk是N阶极点，则根据留数定理,(2.5.8),如果c内有多阶极点，而c外没有多阶极点，可以根据留数辅助定理改求c外的所有极点留数之和，使问题简单化.,F(z)在z平面上有N个极点，在收敛域内的封闭曲线c将z平面上极点分成两部分：一部分是c内极点，设有N1个极点，用z1k表示；另一部分是c外极点，有N2个，N=N1+N2，用z2k表示。根据留数辅助定理下式成立：,留数辅助定理:,设被积函数用F(z)表示，即,(2.5.9),设X(z)=P(z)/Q(z)，P(z)与Q(z)分别是M与N阶多项式。因此,注意(2.5.9)式成立的条件是F(z)的分母阶次比分子阶次必须高二阶以上。,因此要求N-M-n1(2.5.10),(2.5.9)式成立的条件是N-M-n+12,n0时，F(z)的极点有：z=a;,na，求其逆Z变换x(n)。,因此分成n0和n0两种情况求x(n)。,n0时，,例2.5.6中n0时F(z)极点分布,n0时，z=0是n阶极点，不易求留数，采用留数辅助定理求解.,检查N-M-n1是否满足，此处n0，只要N-M0，(2.5.10)式就满足。,即,只要X(z)的分母阶次不高于分子阶次,就可以用留数辅助定理求解.,F(z)圆外没有极点,所以n|a-1|，对应的x(n)是右序列；(2)|a|z|z-1|，对应的x(n)是双边序列；(3)|z|a|，对应的x(n)是左序列。,例2.5.7已知，求其逆变换x(n)。,解：,X(z)有二个极点z=a和z=a-1,F(z)的极点:n0,z=a,z=a-1n|a-1|,当n0时，围线积分c内有二个极点z=a和z=a-1，因此,这种收敛域是因果的右序列，无需求n0时的x(n).,最后表示成：x(n)=(an-a-n)u(n)。,n0时，c内只有一个极点z=0，且是n阶极点，改求c外极点留数之和.,(2)收敛域|z|a|,这种情况原序列是左序列，无需计算n0情况.,最后表示成x(n)=(anan)u(-n-1),n0,n0时，c内极点z=ax(n)=ResF(z),a=an,(3)收敛域|a|z|a-1|,这种情况对应的x(n)是双边序列。,根据被积函数F(z)，按n0和n0两情况分别求x(n)。,n0时，c内极点有二个，其中z=0是n阶极点，改求c外极点留数，c外极点只有z=a-1，因此x(n)=-ResF(z),a-1=a-n,最后将x(n)表示为:,x(n)=a|n|,3.部分分式展开法,对于大多数单阶极点的序列，常用这种部分分式展开法求逆Z变换。,（1）X(z)只有N个一阶极点,则,设,（2）X(z)有高阶极点,求出系数Am(m=0,1,2,N)和Bj(j=1,2,s)后，利用下面两个变换式,很容易示求得x(n)序列。,解:,例2.5.10已知，求逆Z变换。,因为收敛域为22。第二部分极点z=-3，收敛域应取|z|3,对照,得到x(n)=2nu(n)+(-3)nu(-n-1),Rm+=minRx+,Ry+Rm-=maxRx-,Ry-,2.5.4z变换的性质和定理,1.线性,设m(n)=ax(n)+by(n),X(z)=ZTx(n),Rx-|z|Rx+Y(z)=ZTy(n),Ry-|z|Ry+,则M(z)=ZTm(n),=aX(z)+bY(z),Rm-|z|Rm+(2.5.15),2.序列的移位,设X(z)=ZTx(n),Rx-|z|Rx+,则,Rx-|z|Rx+(2.5.16),3.乘以指数序列,设X(z)=ZTx(n),Rx-|z|Rx+,若y(n)=anx(n),a为常数,则Y(z)=ZTanx(n)=X(a-1z)|a|Rx-|z|a|Rx+(2.5.17),4.序列乘以n,5.复序列的共轭,设,则,设x(n)是因果序列，X(z)=ZTx(n),(2.5.20),若x(n)是因果序列，其Z变换的极点，除可以有一个一阶极点在z=1上，其它极点均在单位圆内，则,(2.5.21),6.初值定理,7.终值定理,设w(n)=x(n)*y(n)X(z)=ZTx(n),Rx-|z|Rx+Y(z)=ZTy(n),Ry-|z|Ry+,则W(z)=ZTw(n)=X(z)Y(z)Rw-|z|Rw+,8.序列卷积,Rw-=maxRx-,Ry-Rw+=minRx+,Ry+,求y(n)的两种方法，（1）直接求解线性卷积（2）用Z变换法,例2.5.11已知网络的单位取样响应h(n)=anu(n),|a|1，网络输入序列x(n)=u(n)，求网络的输出序列y(n)。,解：y(n)=h(n)*x(n),(1),由收敛域判定y(n)=0,n0。,(2),如果ZTx(n)=X(z)，Rx-|z|Rx+ZTy(n)=Y(z),Ry-|z|Ry+w(n)=x(n)y(n),9.复卷积定理,则,(2.5.24),(2.5.24)中v平面上,被积函数的收敛域为,(2.5.26),围线c位于公共收敛域内.,解：,W(z)收敛域为|a|z|；,W(z)的收敛域定义为,例2.5.12已知x(n)=u(n),y(n)=a|n|，a1.若w(n)=x(n)y(n)，求W(z)=ZTw(n),(参见例2.5.7),被积函数v平面上收敛域为max(|a|,0)|v|min(|a-1|,|z|),积分路径c就位于上述区域.,|z|a-1|,收敛域为|a|v|a-1|,收敛域为|a|v|a-1|,即,v平面上极点：a、a-1和z;位于c内的极点为a。,令,利用复卷积定理可以证明重要的帕斯维尔定理。,那么,v平面上，c所在的收敛域为,10.帕斯维尔(Parseval)定理,(2.5.27),如果x(n)和y(n)都满足绝对可和，即单位圆上收敛，在上式中令v=ej，得到,令x(n)=y(n)得到,(2.5.28)式还可以表示成下式：,(2.5.28),Z变换的性质,设N阶线性常系数差方程为,如果输入序列x(n)是在n=0以前时加上的，n时刻的y(n)是稳态解.,2.5.5利用z变换解差分方程,1.求稳态解,(2.5.30),由z变换的定义及性质,对(2.5.30)作z变换得,(2.5.31),2.求暂态解,对于N阶差分方程，求暂态解必须已知N个初始条件。,设x(n)是因果序列，即x(n)=0,nmax(|a|,|b|),式中第一项为零输入解，第二项为零状态解。,于是,表2.5.1常见序列的Z变换,Z变换的性质,2.6利用Z变换分析信号和系统的频域特性,(2.6.1),2.6.1传输函数与系统函数,当系统初始状态为零时，h(n)=T(n),对h(n)进行傅里叶变换得到H(ej),对h(n)进行Z变换，得到H(z)，一般称H(z)为系统的系统函数，它表征了系统的复频域特性。,一般称H(ej)为系统的传输函数，它表征系统的频率特性。,(2.6.2),如果H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1，H(ej)与H(z)之间关系如下式：,(2.6.3),2.6.2用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性,一.因果(可实现)系统,系统极点分布在某个圆的圆内，收敛域在某个圆外(包括)，圆的半径为距离原点最远的极点的模长。,系统单位脉冲响应h(n)一定满足:当n0时，h(n)=0.,二.稳定系统,要求,可得：系统稳定要求收敛域包含单位圆.,对照Z变换存在的条件，,三.因果且稳定系统,即，如果系统因果且稳定,系统函数H(z)的极点集中在单位圆内.,收敛域包含点和单位圆，那么收敛域可表示为r|z|，0r1,例题1P6623.,对差分方程y(n)=y(n-1)+y(n-2)+x(n-1)两边作z变换,得Y(z)=z-1Y(z)+z-2Y(z)+z-1X(z),系统函数,零点:z=0极点:z=z1,z=z2,解,零极点分布如图所示,(2)系统是因果的,则H(z)的收敛域为,高阶极点,所以,单位脉冲响应,(3)系统稳定要求H(z)收敛域包括单位圆,H(z)的收敛域为,由系统函数的表达式,单位脉冲响应,H(z)的极点为z=a，z=a-1。,解：,两个极点将整个z平面分为了三部分：,a-1|z|,0|z|a,a|z|a-1,系统的收敛域取不同的区域，系统的因果性和稳定性是不同的。,(1)收敛域a-1|z|，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响应h(n)=(an-a-n)u(n)(参考例题2.5.7)，这是一个因果序列，但不收敛。,(3)收敛域0|z|a,对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=(a-n-an)u(-n-1)(参考例题2.5.7)，这是一个非因果且不收敛的序列。,(2)收敛域a|z|a-1，对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=a|n|（参考例题2.5.7)，这是一个收敛的双边序列，如图2.6.1(a)所示。,例题2续,系统的实现:只有稳定系统才能可靠工作。,上述三个系统中只有收敛域为a|z|a-1时，单位脉冲响应为h(n)=a|n|的系统稳定，但此系统非因果，物理上不能实现。,近似实现：将h(n)=a|n|从-N到N截取一段，再右移，得到。是物理可实现的稳定系统。N越大，h(n)越接近h(n)。,图2.6.1例2.6.1图示,(b)物理可实现的稳定因果系统,(a)稳定非因果系统,(2.6.4),2.6.3利用系统的极零点分布分析系统的频率特性,式中A=b0/a0，参数A影响传输函数的幅度大小.,式中cr是H(z)的零点，dr是其极点，影响系统特性.,设系统稳定，将z=ej，得到传输函数,下面我们采用几何方法研究系统零极点分布对系统频率特性的影响。,将(2.6.4)式分子分母同乘以zN+M，得到,(2.6.5),(2.6.6),设N=M，由(2.6.6)式得到,(2.6.7),在z平面上，ej-cr用一根由零点cr指向单位圆上ej点B的向量表示，同样ej-dr用内极点指向ej点B的向量表示，如图所示。,将它们用极坐标表示:,和分别称为零点矢量和极点矢量.,将和表示式代入(2.6.7)式，得到,系统的传输特性或者信号的频率特性由(2.6.8)式和(2.6.9)式确定,极点矢量之积小,幅度特性取值大;零点矢量之积小,幅度特性取值小.,其中,图2.6.2频率响应的几何表示法,假定两极点共轭对