叠加原理在物理学中的应用

目 录引言11叠加原理在电磁学中的应用11.1电场强度的分析计算11.2磁感应强度的分析计算31.3叠加原理的应用技巧42根据叠加原理计算线性电路的电流电压53叠加原理在数学物理问题中的应用73.1弦的自由振动73.2弦的受迫振动74叠加原理在波动光学中的运用85叠加原理在量子力学中的应用96叠加原理的数学基础10结束语11参考文献：11英文摘要.12致谢12叠加原理在物理学中的应用 摘 要：叠加原理是物理学中的基本原理之一,对物理学的研究起着极其重要的作用。但在物理学中叠加原理并不是一条普遍的原理,只有当描写物质运动的微分方程是线性方程时,才可应用叠加原理进行分析计算。本文列举叠加原理在电场中电场强度的计算、磁场中磁感应强度的计算、数学物理问题的求解、电路分析和光的波动特点的描述,以及量子力学态叠加原理及相关问题的讨论计算等等,最后对叠加原理的数学基础及适用范围予以讨论，从而加深对叠加原理在应用方面的思维方法与灵活技巧的理解。关键词：叠加原理；应用；数学基础；线性方程引言所谓叠加原理是指：几种不同原因综合所产生的总效果，等于这些不同原因单独存在时产生效果的总和1。自然界中有许多现象尤其是物理现象具有明显的叠加性，在解决与这些现象的有关实际问题时应用叠加原理会使问题易于解决，同时叠加原理为解决这些问题提供了简便方法。本文在总结分析叠加原理在电磁学、电路分析、数学物理问题、波动光学及量子力学中应用的基础上，对叠加原理的数学基础及适用范围予以讨论，从而加深对叠加原理的认识理解，以便今后更好的加以应用。1叠加原理在电磁学中的应用电场中的电场力、电场强度、电势、介质极化强度、电位移矢量，磁场中的磁场力、磁感应强度、磁场强度等等物理量的分析计算都可应用叠加原理使问题简化1。若所求量为标量则直接相加减，若为矢量其叠加则服从平行四边形定则。通常利用对称性将矢量分解在两个相互垂直的方向上，化矢量叠加为标量叠加简化计算，当其中某一方向分量的大小相等方向相反相互抵消时，就转化为一个方向的标量叠加。1.1电场强度的分析计算大家熟知，一个半径为R，带电量为q的均匀带电圆环2，可以看成许许多多线元的叠加，而任一线元在轴线上一点产生的电场强度为一矢量，方向沿径向（），根据其电场的对称性分析知场强只有沿轴向分量，因而将矢量叠加退化成标量叠加，由电荷的场强公式叠加求积分得轴线上一点的场强为 (1.1)若求轴线上一点电势则可直接将点电荷电势公式求积分而得 (1.2)我们在应用叠加原理解决电场、磁场问题时，要注重思维的发散性，方法的灵活性，体现叠加的灵魂与思想。如用上述方法求得均匀带电的圆弧在其中心点产生的电场强度为 (1.3) yEEEExEyxOOyxE(a)0a(b)0a(c)0a图1.1 叠加原理应用的灵活性其中为电荷线密度，如图所示：则均匀带电半圆环y轴分量相互抵消，中心点的；均匀带电圆环为零，由公式（1.1）令z=0同样得。若把均匀带电圆盘看成是一个个细圆环的叠加，则由公式（1.1）积分得圆盘轴线上一点的场强为 (1.4)若许许多多这样的圆盘叠加起来可以组成一个均匀带电球体，亦可求积分得其产生的场的分布。广而推之这样的叠加思想可以用下面的积分公式统一表示， （1.5）1.2磁感应强度的分析计算zxROIy图1.2 载流导线的磁感应强度无穷长导线载有电流I，在中间弯成一半径为R的半圆弧，其余部分则与圆的轴线平行，如图所示，圆弧中心O的磁感应强度等于两半无穷长直线与半圆电流在圆心处产生的磁感应强度3的叠加。根据Biot-Savart定律和对称性，两段直线电流在O点产生的磁感应强度大小相等，方向相同，都沿图中z轴方向。每一段所产生的B1大小为 （1.6）半圆电流在O点产生的磁感应强度B2方向沿x轴负方向。其大小为 （1.7）于是得所求的磁感应强度为 （1.8）B与x轴的夹角为 （1.9）类似的问题有许多，我们不再重复，而叠加原理作为一种基本方法其在应用中的简洁性、技巧性同样值得我们深刻灵活的加以理解应用。1.3叠加原理的应用技巧电偶极矩为的电偶极子，在空间任一点产生电场强度的计算，若在球坐标下由点电荷场强公式与叠加原理去计算，数学化解过程相当复杂，用到的数学知识也有一定的难度，但若将原来电偶极子在P点产生的电场强度，看成是两个相互垂直的电偶极子（电偶极矩分别为和）在P产生的电场强度和的叠加，则可极大的简化计算过程降低计算难度。EQP2+q-qP1ElPE图1.3 电偶极子的场强如图所示，P点到电偶极子中心的距离为r,r与的夹角为,其中 (1.10)这样就可以利用电偶极子延长线和中垂线上的场强公式进行计算。其中延长线上离电偶极子中心O为r处的电场强度大小为 (1.11)中垂线上离电偶极子中心O为r处的电场强度大小为 (1.12)电偶极矩为的电偶极子在P点产生的电场强度沿r方向上，大小为 (1.13)电偶极矩为的电偶极子在P点产生的电场强度沿垂直r方向上，大小为 (1.14)P点的合成电场强度的大小为 (1.15)的夹角为 (1.16)2根据叠加原理计算线性电路中的电流电压求解线性电路时，一般应用电路分析的基本定律基尔霍夫定律求解，但对于一些有几个电源共同作用的线性电路4，应用叠加原理求解更易理解且可简化计算。应用叠加原理时，各支路的电流(或电压)等于各个电源分别单独作用时在该支路产生的电流(或电压)的代数和(叠加)。考虑任一独立源单独作用下,其它独立源应视为零值,即独立电压源用短路代替,独立电流源用开路代替,而全部受压源则应该保留。应用叠加时要注意电流或电压的参考方向，正确选取各分量的正负号5。用基尔霍夫定律和叠加性求解电路问题各有其优缺点，用基尔霍夫定律求解根据回路个数列方程便于求解回路个数较少的电路，而用叠加原理求解根据独立源个数列方程，对于独立源较少而回路个数较多的复杂电路用叠加原理求解更简便。若计算如图2.1所示电路中各支路电流。已知=10V，=6V，=10W，=90，=0.1，=0.2。通常由基尔霍夫方程联立求解： （2.1）得各支路电流或电压，这样解方程组数学运算较复杂，尤其是对于支路回路数较多I1R1R2R3R4E1I2I3 +E2 -I1R1R2R3R4E1I2I3I1R1R2R4I2R3I3 +E2 -（a）（b）（c）图2.1 原电路及电源单独作用时的电路的复杂电路就更复杂了，一旦数学计算上出错，则全盘皆输。而由叠加原理，和单独作用时的电路，如图2.1（b）、（c）所示。根据图（b）可由电路欧姆定律求得单独作用时各支路的电流，即 （2.2）根据图（c）可由欧姆定律得由分流公式求得单独作用时各支路的电流，即 （2.3）由叠加原理得： （2.4） 同理可求得： （2.5）由上述分析可联想到对于有较少电源作用的复杂线性电路只需求某一支路的电流时，应用叠加原理及基本电路定律就可便洁地解决问题。3叠加原理在数学物理问题中的应用3.1弦的自由振动研究两端固定的均匀弦的自由振动5，即定解问题泛定方程 （3.1） 边界条件 （3.2）初始条件 （3.3）利用分离变量法令可得，（n=1,2,3,） （3.4）以上是满足振动方程和边界条件的线性独立的特解，由于方程和边界条件都是线性齐次的，本征振动的线性叠加 （3.5）仍然满足方程和边界条件，这就是一般解，其中为任意常数，由初始条件确定， （3.6）至此，定解问题已解决。3.2弦的受迫振动 若受外力作用的受迫振动6，其泛定方程为 （3.7）为了研究方便设弦的初位移、初速度均为零，只受外力的扰动，定解条件为 （3.8）由（3.7）表明，作用在每单位长弦上的外力为 （3.9）根据叠加原理，把持续作用力看成许许多多前后相继的“瞬时”力的叠加，从时刻零持续作用到时刻t的振动，就等于“瞬时”力引起的振动的叠加，每个“瞬时”力作用时间为，作用在x点的冲量为，可用函数表示“瞬时”力为，那么我们就得到则（3.7），（3.8），（3.9）的定解问题就转化为（3.10）的定解问题可以这样求出，“瞬时”力在时刻（比略大的时刻）以后不起作用，这样，“瞬时”力的作用只视为使系统带有一个冲量，这个冲量使系统初速度不再为零，定解问题为： （3.11）原定解问题已化为齐次方程可用分离变量法或傅立叶级数法求解。这种方法用到冲量定理所以又叫冲量定理法。若初始条件不为零，可利用叠加原理，把u分解为之和，其中的初始条件是非零值，但方程是其次的，可用分离变量法求解；的方程是非齐次的，但初始条件为零值，可用冲量定理法求解。求解拉普拉斯6方程时，利用分离变量法把偏微分方程分解为几个常微分方程，自变量各自分离开来，另代入齐次边界条件把其转化为常微分方程的附加条件，这些条件和相应的常微分方程构成本征问题，求得线性独立的特解。所求确定解为本征特解的叠加，最后利用初始条件确定叠加系数。求解泊松方程时，可任取方程的一个特解v，然后令u=v+w，这就把问题转化成求解w,而这不再是泊松方程而是拉普拉斯方程。4叠加原理在光学中的运用光的波动满足的方程波动方程是线性方程，因此光波也遵从叠加原理，当几个波相遇时,在相遇处的总位移是它们各自独立在该处所产生的位移的矢量和。两个可能的波动过程线性叠加也是一个可能的波动过程,叠加以后有些区域振动加强,有些区域振动减弱,利用光波叠加原理可在理论上解释光的干涉、衍射现象1，验证单色波叠加所形成干涉图样等。S1S2 。p图4.1 波的干涉用波的叠加原理说明波的干涉现象如图所示：有两个相干波源，位于和点，发出的波在空间任一点P相遇时，P点上的质元振动可由波的叠加原理来计算这两列波到达P点时的振幅分别变为，则P点参与的两个同方向、同频率的分振动分别为 (4.1) (4.2)u为波速由同方向、同频率振动的叠加可得P点的合振动为 (4.3) (4.4) (4.5)、为两列相干波在P点引起的两个分振动的振幅为定植，故P点的合振动振幅A只取决于两个分振动的相位差，即 (4.6)其中，和是恒定的，所以为一恒量这就表明，每一点的合振幅A亦是恒量，其量值则取决于该点在空间的位置(由确定)。若 (4.7)则该点合成振动的合振幅最大,，即干涉加强；若 (4.8)则该点合振动的合振幅最小， ，即干涉减弱5叠加原理在量子力学中的应用在量子力学中用态函数7描写一个物理系统的状态，基本运动方程薛定谬方程是齐次的线性微分方程,具有叠加性。即态叠加原理8：态可以表示为两个态的线性叠加，即 （5.1） 其中为复数。这时态叠加原理表述如下：当是体系的可能状态时，它们的线性叠加也是体系的一个可能状态；也就是说，当体系处于态时，体系部分地处于态中。确定的运动条件得到不确定的测量结果，而得到每一测量结果的几率又是确定的，叠加原理正是这一特征的高度概括和反应。通过量子力学中关于状态的态叠加原理可验证微观粒子的波动性8。PdS2S1S电子源A图5.1 电子的双窄缝衍射BD粒子的双狭缝衍射实验，以、分别表示粒子穿过上下面狭缝到达屏 B 的状态,用表示粒子穿过两个狭缝到达屏B 的状态,可以写写成线性叠加,即 ( 为复数)据叠加原理,粒子在屏 B 上一点 P出现的几率密度是: （5.2）上式右边第一项是粒子穿过上狭缝出现在P 点的几率密度,第二项是粒子穿过下狭缝出现在P 点的几率密度,第三、第四项是和 的干涉项。衍射图样的产生证明了干涉项的存在。6叠加原理的数学基础如上述物理学中的许多现象都遵从叠加原理,而这些现象大都分别满足下列的常微分或偏微分方程，且这些微分方程都是线性微分方程9，因此可推断具有叠加性的物理现象对应的数学模型都应是线性方程，也就是只有描述的系统是线性系统，才可以用叠加原理分析讨论。大量的物理事实验证了这一推论的正确性。从数学理论10来看,数学问题的线性性质正是相应物理现象服从叠加原理这一事实的反映,也就是线性微分方程的解应具有叠加形式的解。（1）电磁场方程由麦克斯韦方程组知：（其中为自由电荷体密度） （6.1） （6.2）又因为则电势满足泊松方程 （6.3）若在没有自由电荷的地方，电势满足拉普拉斯方程 （6.4）可见（6.1）、（6.2）式为一阶线性偏微分方程，（6.3）、（6.4）式为二阶线性偏微分方程，即静电场、静磁场的数学模型是线性的。（2）线性电路方程如图2.1的直流线性电路，由电路分析的基本定律基尔霍夫定律列出的方程是线性代数方程，若为交流动态涉及储能元件C、L的电路，由基尔霍夫定律列出的方程是一阶线性常微分方程，如最简单的RC串联电路的放电过程，如图6.1， uC-U0iCRb-+S+a图6.1 RC串联电路列出的方程： （6.5） 为一阶线性常微分方程。 （3）波动方程具有波动特征的物理系统满足的方程为（有外力作用） （6.6）（无外力作用） （6.7）像弦的横振动、杆的纵振动、膜的振动等等都满足上面的二价偏微分方程。（4）薛定谔方程量子力学中用态函数描述一个物理系统，满足的方程是薛定谔方程： （6.8）为齐次线性偏微分方程。可以把（6.1）（6.8）式写为统一形式 （6.9）其中微分算子L是线性算子，y是一个未知的函数，等式的右面是一个给定的函数。L是线性的条件，排除了诸如把y的导数平方那样的运算；但允许取y的二阶导数。因此，线性微分方程的一般形式10是 (6.10)如果，那么方程便称为齐次线性微分方程，它的解称为补函数。这是一种很重要的方程，因为在解非齐次方程时，把对应的齐次方程的补函数加上非齐次方程本身的一个特解，便可以得到非齐次方程的另外一个解。如果是常数，那么方程便称为常系数线性微分方程。7结束语以上的讨论,都是叠加原理在不同问题上的应用。但是在应用叠加原理分析问题时, 必须考虑描写物质运动的微分方程是否是线性方程, 因为叠加原理只能用于描写物质运动的微分方程是线性方程的情况,如果不是线性方程,则不能用叠加原理进行分析计算。上面电场中电场强度的计算、磁场中磁感应强度的计算、电路分析、数理方法中弦的振动的求解和光的波动特点的描述,以及量子力学中态叠加原理及相关问题的讨论计算等等之所以能应用叠加原理分析计算，正是因为其基本运动方程都是线性的，而物理学中的许多定律、公式、多属于线性方程,因而叠加原理在物理学有极为广泛的应用。参考文献1邱方,李艳芳.叠加原理在物理学中的应用例析J.南昌高专学报,2000,(4):52-54 .2郑民伟.均匀带电半圆环的电场和电势J.广州航海高等专科学校基础部,2001,16(1)：66-69.3何红雨.载流圆弧导线圆心处磁感应强度的计算J.广西右江民族师范专科学校1999,20(1):22-23.4唐小愚.叠加原理在含受控源的线性电路中的应用J.贵州工业学,2000,18(1):88-89.5孙维兴.关于叠加原理的思考J.电工教学,1994,16(03):67-68.6梁昆淼,刘法,缪国庆.数学物理方法M.北京:高等教育出版社,180221.7关洪.关于量子力学中态叠加原理的讨论J.中山大学物理系2007,26(1):7-9.8周世勋.量子力学教程M.北京:高等教育出版社,1979.9马秀艳,韩国松.叠加原理的数学基础及其在物理上的应用J.安阳师范学院学报，2006(5):24-26.10同济大学数学系.高等数学M.北京:高等教育出版社,2007,294-341.The Application Of Superposition In Physics,Abstract：The principle of superposition is one basic principles in physics, which is widely used in the physics research and play a vital role .But the principle of superposition is not a universal principle