C1-3 函数的连续性

1,第三节函数的连续性,一、函数的连续性,二、初等函数的连续性,三、函数的间断点,四、闭区间上连续函数的性质,五、内容小结,2,一、函数的连续性,1.函数的增量,3,2.连续的定义,4,显然这两个定义是等价的.讨论分段函数在分界点处的连续性时,通常用定义1.,5,例1,解,6,例2,证,由定义1知,7,3.单侧连续定义(定义2),定理,8,例3,解,f(x)在x=0处右连续但不左连续,9,4.连续函数与连续区间的定义(定义3),在区间内每一点都连续的函数,叫做在该区间内的连续函数,或者说函数在该区间内连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例如,10,连续函数的运算,定理,例如,1.基本初等函数的连续性,11,2、反函数与复合函数的连续性,定理严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.,例如,即反三角函数在其定义域内皆连续.,12,定理,定理,推论1,13,例如,例4,解,14,二、初等函数的连续性,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.,15,定理基本初等函数在定义域内是连续的.,均在其定义域内连续.,定理一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,注:定义区间是指包含在定义域内的区间.,16,注意1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;,例如,这些孤立点的邻域内没有定义,即在定义域内不连续.,在0点的邻域内没有定义,所以函数在0点处不连续,但,注意2.初等函数定义区间内求极限的方法:代入法.,17,例5,例4,解,解,18,三、函数的间断点,19,1.跳跃间断点,例6,解,20,2.可去间断点,例7,21,解,注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.,22,如例7中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点,它们的特点是:,23,3.第二类间断点,例8,解,24,例9,解,注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.,25,狄利克雷函数,在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.,仅在x=0处连续,其余各点处处间断.,26,在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值|f(x)|在R内处处连续.,判断下列间断点类型:,27,例10,解,28,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,间断点的分类小结:,29,1.有界性与最大值最小值定理,定义:,例如,四、闭区间上连续函数的性质,30,定理(最值定理)闭区间上的连续函数必能取到最大值和最小值.,注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.,31,定理(有界性定理)闭区间上的连续函数一定在该区间上有界.,证,32,2.介值定理与根的存在定理,几何解释:,33,定义:,几何解释如下:,即方程f(x)=0在(a,b)内至少存在一个实根。,34,例11,证,由根的存在定理,35,例12,证,由根的存在定理,36,1.函数的连续性部分内容小结：,（1）函数在一点连续必须同时满足的三个条件;,（3）间断点的分类与判别;,（2）区间上的连续函数的定义;,第一类间断点:跳跃型,可去型.,第二类间断点:无穷型,振荡型.,间断点,五、内容小结,37,2.连续函数的运算部分内容小结:,(1)连续函数的和差积商的连续性.,(3)复合函数的连续性.,(4)初等函数的连续性.,定义区间与定义域的区别;定义区间内求极限的又一种方法.,定理3;定理4及推论1,(2)反函数的连续性.,38,3.闭区间上连续函数的性质部分内容小结：,四个结论：,最值定理;有界性定理;介值定理;根的存在定理.,注意闭区间、连续函数两条件要求同时满足。这两条件不都满足时,上述定理不一定成立,解题思路,1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;,2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用根的存在定理;,39,思考题一,下述命题是