生物统计学课件--14正交试验的设计与分析

第五节 正交实验的实验设计及数据分析一、正交实验的意义与特点1、意义 在两向分组资料数据的方差分析中，如果做多因素的实验，且每因素有多个水平的话，实验采取完全实施的实验设计时，则实验的处理数为实验因素的水平数的乘积。随着因素数和水平数的增加实验处理组合急剧增加。,完全实施的实验设计的缺点,例：某试验涉及的试验因素有A、B、C、三个，其中每个试验因素的水平均为3，即：a=3，b=3，c=3。那么，这个实验的试验处理数为abc=333= 27个，若试验重复3次，则试验实施之后，我们将进行的实验次数为273 = 81 次，即我们将获得81个数据。 如果实验的因素数上升为四个：A、B、C、D，因素的水平仍然为3，则实验的处理组合数为abcd=3333=81个，实验重复3次，则实验次数将为243次。,这样的实验，由于实验次数太多，实验误差将难于控制。,完全实施的实验，实验的效率不高,A1 A2 A3B1 B2 B3 B1 B2 B3 B1 B2 B3 C1 C2 C3 C1 C2 C3 C1 C2 C3 D1 D2 D3 D1 D2 D3 D1 D2 D3 ,费工、费时、费力，浪费资金,如果我们只选取其中的有代表性的处理组合（让每个因素的每个水平和其它因素的每个水平只碰到一次）来进行实验，则可以大大地减少实验次数，从而达到事半功倍的效果。 这种实验设计的方法就是正交实验设计，它是不完全实施或称为部分实施的实验设计。2、特点： 正交实验设计是多因素分析的有力工具，特别是要从许多因素中找出主要因素及其最优水平时，使用正交设计是最方便的。正交实验设计是不完全实施的实验设计，正交实验之所以能用较少的实验次数得到较多的实验信息，是因为它利用正交表安排实验，从实验的所有处理中只选择一部分有代表性的处理组合参与实验； 此外，在对实验结果的分析上，它也借助正交表进行。,二、正交表的性质与种类（一）正交表的性质例：设有一个四因素的实验，A：a=3，B：b=3，C：c=3，D：d=3。实验完全实施时，实验的处理组合数=34=81次。为了提高实验效率，如果我们让每个因素的每个水平仅组合一次，则实验可以安排如下：,将上述各实验处理的因素及其水平的标号单独列成表格，就有右表：,左表具有如下特点：1、每一列中不同数字出现的次数相等。（每列中各3个1、2、3，说明每因素的各个水平出现的次数均等）2、任取两列，同一行上的有序数对出现的次数也相同。（说明任意因素任意水平的组合次数均等）。,所谓的“正交”是指实验点（处理）在优选区里的均衡分布。即每一个实验因素的每一个水平和其他实验因素的每一水平至少组合一次，且组合的机会均等、最少。正是由于上述特点，正交实验才能减少工作量。,具有这种特征的数字表称为正交表，正交表具有“正交性”。,（二）正交表的种类及表示方法1、具有相同水平的正交表即不同的实验因素具有相同的水平。正交表记为：LN（mk），L表示正交，N表示实验次数，k 表示最多可以容纳的因素数或互作数（正交表的列数），m表示因素的水平数。前述正交表，可以表示为L9（34）。,此外还有L4（23）、 L8（27）、L16（215）和 L18（37）、 L27（313）等。,2、混合水平的正交表正交表记为：,其中：L仍然表示正交，N表示实验数，最多可以容纳k1 个因素的m1水平和k2个因素的m2水平的实验。例：,注：任意两列间的交互作用出现在另一列。,两列间的交互作用,查第 1 列与第 2 列的互作列，只要查（1）与第 2 列的交点即可。该交点是3，即第 3 列是 12 的互作列。同理，查第 3 列与第 5 列的互作列，只要查（3）与第 5 列的交点即可。该交点是 6，即第 6 列是 35 的互作列。,表头设计,注：任意二列的交互作用列在另外二列,续上表,两列间的交互作用,表头设计,三、应用正交表设计实验（一）确定实验因素数根据实验目的确定试验要研究的因素。如果对研究的问题了解的较少，可以多选一些因素，此时可以不必考虑因素间的互作；对研究的问题了解的较多，则可以少选一些因素，抓主要因素进行研究。（二）确定因素的水平数因素选好后定水平，每个因素的水平可以相等或不相等。重要的或需要详细了解的因素，水平可以多一些；而对另一些需要粗放了解的因素，水平可以适当地少一些。,（三）确定试验的次数根据试验要求的精度、人力、物力条件决定试验次数。一般试验要求的精确度较高时，或人力、物力充足时，需要选择试验次数较多的正交表；一般试验要求的精确度较低，或人力物力不足时，选择试验次数较少的正交表进行试验设计。（四）选择合适的正交表根据试验因素和水平数以及是否需要估计互作来选择合适的正交表。确定原则：即能安排下全部试验因素，又要使部分试验的水平（处理）组合数尽可能的少。在正交试验中，最少试验次数（或处理组合）的确定可采用下面的公式计算：（无互作时） 处理组合数=（各试验因素的水平数-1）+1若存在互作，需要在上述处理组合数的基础上再加上互作的自由度。,例1：为了解决花菜留种问题，进一步提高花菜种子的产量和质量，科技人员考察了浇水、施肥、病害防治和移入温室时间对花菜留种的影响，进行了四因素两水平的试验。如果试验采用正交试验设计，问最少需要实施几个试验处理？ 处理组合数=（各试验因素的水平数-1）+1 =（2-1） 4+1=5 可以选择：L8（27）例2：某制药厂为了研究如何提高抗菌素发酵单位，欲设计一个试验，该试验共选择了有8个试验因素，每个试验因素各3个水平。如果试验采用不完全实施的正交试验设计，则该试验至少应该选择几个试验处理组合？ 处理组合数=（各试验因素的水平数-1）+1 =（3-1） 8 +1=17 如果试验需要考虑A B、A C互作效应，则试验至少应该有几个处理组合？处理组合数=（各试验因素的水平数-1）+ 1 + （互作的自由度）=（3-1） 8 +1+ （3-1） （3-1） 2 = 25（个） 可以选择：L27（313）,（五）进行表头设计，列出试验方案所谓的表头设计，就是把试验中挑选出来的各因素填写到正交表的表头各列。,表头的设计原则是：,1、不要让主效应、主效应与交互作用间有混杂现象。由于正交表中一般都有互作列，因此当因素少于列数时，尽量不在互作列中安排试验因素，以防止发生混杂。2、当存在互作时，需查交互作用表，将交互作用安排在合适的列上。3、表头设计好后，把该正交表中各列水平号换成各因素的具体水平就成为试验方案。（六）试验正交试验设计方案做出后，就可以按试验方案进行试验。如果选择的正交表较小，各列都被安排了试验因子，对试验结果进行方差分析时，无法估计试验的误差，若选用较大的正交表，则试验的处理组合数会急剧地增加。为了解决这个问题，可以采用重复试验，或者采用重复取样的方法解决这一问题。重复取样是从同一试验中取几个样品进行观测或测量。,例1：为了解决花菜留种问题，进一步提高花菜种子的产量和质量，科技人员考察了浇水A、施肥B、病害防治C和移入温室时间D对花菜留种的影响，进行了四因素两水平的试验，其中 A 与 B 和A与 C 间可以产生互作。如果试验采用正交试验设计，问最少需要实施几个试验处理？如何选择正交表并进行表头设计？写出试验方案。,1、处理组合数=（各试验因素的水平数-1）+1 + （互作的自由度） =（2-1） 4+1 +（2-1）（2-1） 2= 7（个）2、可以选择：L8（27）3、表头设计：,将各个试验因素安排到正交表中相应的各列，注意对互作列的规定。,两列间的交互作用,第 1 列安排A，第 2 列安排B，A、B间存在互作，查（1）与第 2 列的交点，该交点是3，即第 3 列是 A B 的互作列。将C安排在第4列，查第 1 列与第 4 列的互作列为第5列，第2列与第4列的互作列为第6列，因此，为了不发生混杂，将D安排在第7列。,表头设计,写试验方案：,写出处理组合的具体内容。,花菜留种的正交试验方案,四、正交设计试验结果分析（一）正交试验结果的直观分析通过极差大小判断试验因素及互作的主次，找出对试验指标影响最好的组合。例：前述花菜留种的正交试验结果列于下表，试进行直观分析。,1、逐列计算各因素同一水平之和：例 A1之和=350+325+425+425=15252、逐列计算各因素同一水平的平均数：例 A1的平均数= T/r =1525/4=381.25,3、逐列计算各因素不同水平间的平均数的极差。例：A因素平均数的极差为 R = 381.25 - 275.00 = 106.254、比较极差确定各因子或交互作用对结果的影响：从前表可以看出，浇水次数和喷药次数的极差|R|分居第一、二位，是影响花菜种子产量的关键性因子，其次是 A C 互作和施肥方法，进室时间和 A B 互作的影响较小。5、水平选优与组合选优：根据各个试验因子的总计数或平均数可以看出：A 取 A1，B 取 B2，C 取C2，D 取 D2 为好，在没有互作存在时，花菜留种最好的管理方式为：A1B2C2D2但由于 AC互作对产量的影响较大，所以花菜留种条件还不能这样选取，而A和C选哪个水平，应根据 A 和 C 的最好组合。所以还要对 A C 的互作进行分析。,AC 互作的直观分析是求 A 与 C处理组合的平均数：A1C1：（350+425）/ 2 = 387.5， A1C2 ：(325+425)/2 = 375.5A2C1 ：(200+275)/ 2 = 237.5， A2C2 ：(250+375)/2 = 312.5 由此可知，A1与C1条件配合时,花菜种子产量最高。因此，在考虑AC互作的情况下，花菜留种的最适条件应为：A1B2C1D2 它正是3号处理。也是8个处理组合中产量最高的。但4号处理组合与3号处理组合产量一样，二者无差异，尚需方差分析。 若选出的处理组合不在试验中，还需要再进行一次试验，以确定选出的处理组合是否最优。,（二）正交试验结果的方差分析1、平方和与自由度的分解在方差分析的平方和计算中，若一个因素只有两个水平，其平方和的计算公式为：,其中：n为试验数据的总个数，T1为某因素1水平的总和，T2为该因素2水平的总和。,2、列方差分析表，并进行F检验,从上表可以看出，各个变异来源的F值均不显著，这是由于试验误差的自由度太小，达到显著的临界 F值也过大所致。解决这个问题的根本方法是进行重复试验或重复抽样，也可以将F1的变异项（即D因素和AB互作）的平方和与自由度与误差项的平方和与自由度合并，并作为试验误差平方和的估计值（SSe），这样即可以增加试验误差的自由度，又可以减少试验误差的方差，从而提高假设检验的灵敏度。合并后的误差平方和为：,合并后的误差自由度为：,浇水次数、喷药次数的 F 值达极显著，浇水次数和施肥方法互作的 F 值显著。,3、互作分析与处理组合选优由于浇水次数极显著，施肥