考研必备!上交《控制理论基础》第四章_稳定性

交通大学精品课程系列,2009.10,控制理论基础(I),第4章,塔科玛(Tacoma),第四章控制系统的稳定性分析,4.1稳定性的基本概念,4.2代数判据,4.4Nyquist稳定性判据,4.5稳定性裕量,4.3米哈伊洛夫稳定性判据,作业,4.1稳定性的基本概念,例,稳定性的定义,稳定的充分必要条件,稳定的必要条件,课堂练习,控制系统在外部拢动作用下偏离其原来的平衡状态，当拢动作用消失后，系统仍能自动恢复到原来的初始平衡状态。,稳定性的定义,稳定的平衡位置,不稳定的平衡位置,(a)稳定,(b)不稳定,注意：控制系统自身的固有特性，取决于系统本身的结构和参数，与输入无关。,大范围稳定(globallystable):不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态。,(a)大范围稳定,(b)小范围稳定,否则系统就是小范围稳定的(locallystable)。,注意：对于线性系统，小范围稳定大范围稳定。,(a)不稳定,临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。,注意：经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。,原因：(1)分析时依赖的模型通常是简化或线性化；(2)实际系统参数的时变特性；(3)系统必须具备一定的稳定裕量。,假设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲信号(t)的作用，此时系统的输出增量（偏差）为单位脉冲响应，这相当于系统在扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问题，显然，当t时，若：系统（渐近）稳定。,稳定的条件：,稳定的充要条件,理想脉冲函数作用下R(s)=1。,对于稳定系统,t时,输出量c(t)=0。,由上式知：如果pi和i均为负值,当t时,c(t)0。,自动控制系统稳定的充分必要条件：系统特征方程的根全部具有负实部，即:闭环系统的极点全部在S平面左半部。,注意：稳定性与零点无关,系统特征方程,结果：“一个负实根一个零根”(?p142)，具有负实部，所以系统稳定。,系统稳定的必要条件,系统特征各项系数具有相同的符号，且无零系数。,设系统特征根为p1、p2、pn-1、pn,各根之和,每次取两根乘积之和,每次取三根乘积之和,各根之积,全部根具有负实部,某水位控制系统如图，讨论该系统的稳定性。为被控对象水箱的传递函数；为执行电动机的传递函数；K1为进水阀门的传递系数；Kp为杠杆比；H0为希望水位高；H为实际水位高。,由系统结构图可得出系统的闭环特征方程为,令,为系统的开环放大系数，则特征方程展开写为为三阶系统,但缺少s项，即对应的特征多项式的中有系数为0，不满足系统稳定的必要条件，所以该系统不稳定。,无论怎样调整系统的参数,如(K、Tm)，都不能使系统稳定。,结构不稳定系统,校正装置,Break,两个判据是等价的。无需求解特征根，直接通过特征方程的系数判别系统的稳定性(p149)。,劳思判据,劳思(routh)阵列,赫尔维茨判据,赫尔维茨(Hurwitz)行列式,例,课堂习题,劳思判据的特殊情况,4.2代数判据,性质：第一列符号改变次数=系统特征方程含有正实部根的个数。,劳思阵列,特征方程：,劳斯阵列：,如果符号相同系统具有正实部特征根的个数等于零系统稳定；如果符号不同符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数系统不稳定。,控制系统稳定的充分必要条件：劳思阵列第一列元素不改变符号。,“第一列中各数”,注：通常a00，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯阵列表中第一列的各数均大于零。,劳思判据,劳思判据判定稳定性,劳斯判据判断系统的相对稳定性,特殊情况1：第一列出现0,特殊情况2：某一行元素均为0,劳思判据的特殊情况,各项系数均为正数,解决方法：用任意小正数代之。,特殊情况1：第一列出现0,解决方法：全0行的上一行元素构成辅助方程，求导后方程系数构成一个辅助方程。,(各项系数均为正数),特殊情况2：某一行元素均为0,劳斯阵列出现全零行：辅助方程必定是关于s2的多项式方程。原方程的一部分根，就是辅助方程的根。辅助方程中令s2=z，得到关于z的辅助方程，当z为：负实根、共轭复根、正实根时，对应：,s:符号相反的实根,s:共轭虚根,s:两对共轭复根,系统的n阶赫乐维茨行列式,取各阶主子行列式作为1阶（n-1）阶赫尔维兹行列式,赫尔维茨行列式,控制系统稳定的充分必要条件是：当a00时，各阶赫尔维茨行列式1、2、n均大于零。,一阶系统,二阶系统,a00时,a10(全部系数同号),a00时,a10,a20(全部系数同号),a00时,a00时,赫尔维茨判据,三阶系统,a00时,a10,a20,a30(全部系数同号),a00时,a1a2a0a3,四阶系统,a00时,a10,a20,a30,a40(全部系数数同号),a00时,一阶系统,a10(全部系数同号),a10,a20(全部系数同号),a10,a20,a30(全部系数同号),a1a2a0a3,a10,a20,a30,a40(全部系数同号),归纳：a00时,二阶系统,三阶系统,四阶系统,a10,a20,a30,a40,K值的稳定范围,各项系数均为正数,a00时,单位反馈系统,已知系统开环传递函数如下：,判断上述系统开环增益K的稳定域，并说明开环积分环节数目对系统稳定性的影响。,系统1的闭环特征方程为：,系统3的闭环特征方程为：,系统2的闭环特征方程为：,K的稳定域为：,K的稳定域为：,结论：增加系统开环积分环节的数目对系统稳定性不利。,由于特征方程缺项，不存在K的稳定域。,Break,特征矢量幅角变化与稳定性关系,一阶系统,D(s)可视为复平面上的向量。,特征多项式：,4.3米哈伊洛夫稳定性判据,当变化(0)时，D(j)的端点沿虚轴滑动，其相角相应发生变化。,在频域：D(j)=jp,若特征根为负实根，系统稳定,若特征根为正实根，系统不稳定,二阶系统,特征方程：D(s)=s2+2ns+n2=(sp1)(sp2)=0,实根情形(1),当由0时：,共轭虚根情形(01),设根位于左半s平面,当由0时，,jp1的相角变化范围：-0/2,变化量：/2+0,jp2的相角变化范围：0/2,变化量：/20,根位于右半s平面,共轭虚根情形(00的所有频率范围内，对数相频特性曲线()(含辅助线)与-180线的正负穿越次数之差等于m/2时，系统闭环稳定，否则，闭环不稳定。,开环特征方程有两个右根(m=2),正负穿越数之和-1,闭环不稳定。,开环特征方程有两个右根(m=2)，正负穿越数之和+1,闭环稳定。,开环特征方程无右根(m=0)，正负穿越数之和0,闭环稳定。,Break,闭环稳定的开环“正负穿越”判据（Nyquist判据）,-1负无穷，-增益正，莫忘两图添辅线，若含有积分；方向随频率，符号看相变，闭环稳定恰一半，开环右极点。,相对稳定性和稳定裕量,增益交界频率和相位交界频率,系统的稳定性裕量,稳定系统,不稳定系统,例1,*用Matlab求取稳定性裕量,例2,4.5稳定性裕量,特征方程最靠近虚轴的根与虚轴的距离,稳定性裕量可以定量地确定系统离开稳定边界的远近，是评价系统稳定性好坏的性能指标，是系统动态设计的重要依据之一。,相对稳定性和稳定裕量,注意：虚轴是系统的临界稳定边界,G(j)H(j)轨迹靠近(-1,j0)点的程度,GH平面,增益交界频率cG(j)H(j)轨迹与单位圆交点,相位交界频率gG(j)H(j)轨迹与负实轴交点,GH平面,1-稳定系统2-不稳定系统,增益交界频率和相位交界频率,单位园外,单位园内,增益交界频率cG(j)H(j)轨迹与单位圆交点L(j)与0分贝线的交点。,c,g,稳定系统,相位交界频率gG(j)H(j)轨迹与负实轴交点(j)与-线的交点。,单位园外,单位园内,c,g,不稳定系统,:在增益交界频率c上系统达到稳定边界所需要的附加滞后量相位裕量。,开环,系统的稳定性裕量,Kg:在增益交界频率g上,频率特性幅值|G(j)H(j)|的倒数增益裕量（幅值裕量）。,开环,增益裕量相位裕量伺服机构：10-20分贝40度以上过程控制：3-10分贝20度以上,稳定系统,正相位裕量,正增益裕量,正增益裕量,正相位裕量,G(j)H(j)轨迹:(1)不包围(-1,j0)点；(2)先穿过单位圆，后穿过负实轴。,正增益裕量,正相位裕量,不稳定系统,负增益裕量,负相位裕量,负增益裕量,负相位裕量,G(j)H(j)轨迹:(1)包围(-1,j0)点；(2)先穿过负实轴，后穿过单位圆,负相位裕量,负增益裕量,单位反馈控制系统开环传递函数,波德图（注意：时间常数表达!）,求,求Kg,稳定性裕量,用Matlab求取稳定性裕量,ThisisEndofChapter4,Back,1、4.1(1)(2)(3)(建议用Hurwitz判据检验)2、4.2(2)3、4.3(1)(提示：参考原教材例4.4)4、4.8(提示：参考例4.12)5、4.10(提示：先画出系统开环Bode图)6、*4.12(加条件：最小相位系统),补1、已知单位反馈系统的开环传递函数为G(s)=K/s(0.1s+1)(0.25s+1)。试确定使系统稳定时开环放大系统K的取值范围；要使系统具有=1以上的稳定裕量，试确定K的取值范围。(提示：与教材例4.5和习题4.6类同，即所有特征根的实部小于-1),第四章作业(共8题),补2、垂直起降飞机是不稳定的系统，需要外加稳定控制系统。图为