南通四校2011高考数学一轮复习：第15章圆锥曲线与方程第3节

第三节抛物线,基础知识梳理,1定义平面内与一定点F和一条定直线l(不经过F)的距离的点的轨迹叫做抛物线叫做抛物线的焦点，叫做抛物线的准线,相等,点F,直线l,基础知识梳理,当定点在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？【思考提示】是一条直线，过定点与l垂直的直线,思考？,基础知识梳理,2.抛物线的标准方程、类型及几何性质(见下表),基础知识梳理,x轴,基础知识梳理,向右,向上,O(0,0),e1,基础知识梳理,3.几个常用结论利用抛物线定义可以得知，抛物线的焦半径与焦点弦有许多特殊的性质，应用起来非常方便如：已知AB是抛物线y22px(p0)的焦点弦，且A(x1，y1)、B(x2，y2)，点F是抛物线的焦点(如图)，可以证明：,基础知识梳理,三基能力强化,1(2009年高考湖南卷)抛物线y28x的焦点坐标是_,解析：由抛物线方程y28x，得2p8，2，从而抛物线的焦点为(2,0),答案：(2,0),三基能力强化,2(2009年高考四川卷)抛物线y24x的焦点到准线的距离是_解析：y24x焦点为(1,0)，准线为x1，所求距离为2.答案：2,三基能力强化,3抛物线y24x上一点A的横坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为_,答案：5,三基能力强化,4抛物线x22y的准线方程是_,三基能力强化,5在平面直角坐标系xOy内，已知抛物线关于坐标轴对称，顶点在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是_解析：由于点P(2,4)在第一象限，设抛物线的方程为y2ax(a0)或x2by(b0)，把点P(2，4)代入，可得a8，b1，抛物线方程为y28x或x2y.答案：y28x或x2y,课堂互动讲练,利用抛物线定义可将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离之间进行相互转化例如若点P0(x0，y0)是抛物线y22px(p0)上的任一点，则该点到抛物线的焦点F的距离|PF|x0(焦半径公式)，这一公式的直接运用会为我们求解有关到焦点或准线的距离的问题带来方便,课堂互动讲练,在求过焦点的一弦长时，经常将其转化为两端点到准线的距离之和，再用根与系数关系求解，有时也把点到准线的距离转化为点到焦点的距离进行求解,课堂互动讲练,过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B(如图所示)，交其准线于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为_,课堂互动讲练,【思路点拨】利用抛物线的定义可求直线AB的斜倾角，进而利用直角三角形内的三角函数构造含p的关系式，求值,课堂互动讲练,【答案】y23x,课堂互动讲练,【点评】利用抛物线定义解题时应特别注意应用“斜直转换”，即将抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离互相转换，同时常结合对称性变换,课堂互动讲练,1将例1中“|BC|2|BF|”改为“点B为AC的中点”，其它条件不变，结果如何？,互动探究,解：因为B为线段AC的中点由B向准线作垂线，设垂足为M，过A向准线作垂线，设垂足为N，则|BM|AN|，,课堂互动讲练,互动探究,课堂互动讲练,互动探究,课堂互动讲练,1求抛物线的标准方程常采用待定系数法或轨迹法利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p的值2抛物线的性质要根据不同的抛物线方程来确定，主要指开口方向、轴、顶点、焦点、准线及焦半径和变量的范围,课堂互动讲练,抛物线C：y22px(p0)上横坐标为的点到焦点F的距离为2.(1)求p的值；(2)过抛物线C的焦点F，作相互垂直的两条弦AB和CD，求|AB|CD|的最小值,课堂互动讲练,【思路点拨】(1)利用抛物线的定义；(2)弦AB，CD过焦点，可以利用抛物线定义表示弦长，设出直线斜率，用k表示|AB|CD|，然后求最值,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,【点评】抛物线中焦点弦的转化及联立方程，结合定义及韦达定理是常用的思路，灵活处理它们之间的关系，不断转化，使之出现所需要的结果是解题中的关键,课堂互动讲练,2设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A.若OAF(O为坐标原点)的面积为4，求抛物线的方程,跟踪训练,课堂互动讲练,a264，a8.故y28x.抛物线的方程为y28x.,跟踪训练,课堂互动讲练,直线和抛物线的位置关系，可通过直线方程与抛物线方程组成的方程组实数解的个数来确定，同时注意过焦点的弦的一些性质，如：x1x2，y1y2p2，弦长lx1x2p.,课堂互动讲练,(解题示范)(本题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y22px(p0)上横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5.(1)求抛物线的标准方程(2)设点C是抛物线上的一动点，若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦长为4，求证：圆C过定点,课堂互动讲练,【思路点拨】利用抛物线方程得点的坐标，圆C过交点，即与所设变量无关,课堂互动讲练,课堂互动讲练,【点评】抛物线方程不同于椭圆、双曲线方程，设抛物线上的点时，未知量可以只设一个，这是与椭圆、双曲线有显著的不同，(2)问中定点问题，需要在平时解题中积累一定的解题思路，如“定”与“变”的联系与转化，是处理此类问题的诀窍,课堂互动讲练,3(本题满分14分)设F是抛物线G：x24y的焦点(1)过点P(0，4)作抛物线G的切线，求切线方程；(2)设A、B为抛物线G上异于原点的两点，且满足0，延长AF、BF，分别交抛物线G于点C、D，求四边形ABCD面积的最小值,自我挑战,课堂互动讲练,自我挑战,课堂互动讲练,自我挑战,课堂互动讲练,自我挑战,课堂互动讲练,当k1时，等号成立，所以四边形ABCD面积的最小值为32.14分,自我挑战,规律方法总结,1重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与到准线的距离之间的相互转化；注意确定四种标准方程的条件，明确抛物线的焦顶距、通径与抛物线标准方程中系数的关系；通晓四种标准方程间的关系：将y22px关于y轴、直线xy0与xy0对称可得抛物线的其他三种形式或将抛物线y22px绕原点旋转或也可以得到抛物线其他几种形式；注意数形结合，提倡画出合理草图,规律方法总结,2复习中应紧抓抛物线的定义、标准方程及几何性质(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y22ax或x22ay(a0)，此时a不具有p的几何意义,规律方法总结,(2)抛物线的离心率e1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线之间的距离，这样就可以使问题简单化,规律方法总结,(3)求抛物线标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹法，为避免开口不确定而分成y22px(p0)或y22px(p0)两种情况求解的麻烦，可以设成y2mx或x2ny(m0，n0)，若m0，开口向右，若