第四章-流体动力学基础.ppt

,流体力学,教研室：环境与市政工程系水力水文教研室,第四章流体动力学基础,本章导读4.1流体的运动微分方程4.2元流的的伯努利方程4.3恒定总流的伯努利方程（能量方程）4.4恒定总流的动量方程4.5无黏性流体的无旋流动本章小结,主要内容,本章学习重点：,理解速度势函数、流函数，会建立简单的势函数和流函数方程；,透彻理解流体元流伯努利方程，会用毕托管测流速。,了解NS方程。,掌握实际流体能量方程、动量方程；,掌握流体运动总流的分析方法，能熟练运用三大运动方程解决实际问题；,（1）流体动力学,研究流体运动且涉及力的规律及在工程中的应用。,（2）遵循的规律,（3）对于理想流体，因没有黏性，故作用于流体的表面力只有压应力，即动水压强。,p=p(x，y，z，t),（4）实际流体运动微分方程；伯努利方程；动量方程。,学习内容：,4.1流体的运动微分方程,公式推导,1.取微元体在某一瞬时在运动无黏性流体中取出棱边为dx，dy，dz的一微小平行六面体。,基本思路:(1)取微元体(2)受力分析(3)导出关系(4)得出结论,一、无黏性流体运动微分方程,2.受力分析作用在流体上力：(1)表面力；(2)质量力(1)表面力（以X方向为例）包括压应力和剪应力左表面右表面,(2)质量力X、Y、Z表示流体单位质量力在坐标轴上的分量。这个微元体的质量为dxdydz，质量力在各个在坐标轴上的分量分别为：Xdxdydz、Ydxdydz、Zdxdydz,3.导出关系由牛顿第二运动定律，x方向有：,化简得：,4.结论,无黏性流体运动微分方程,Euler运动微分方程,无黏性流体运动微分方程流体平衡微分方程,（1）物理意义：作用在单位质量流体上的质量力与表面力之代数和等于其加速度。（2）适用条件：a.无黏性流体。b.可压缩流体及不可压缩流体c.恒定流及非恒定流,单位质量流体的质量力在X、Y、Z坐标轴上分量,单位质量流体的惯性力在X、Y、Z坐标轴上分量,单位质量流体的表面力在X、Y、Z坐标轴上分量,1、以应力表示的实际流体运动微分方程,（1）、方程推导依据：,牛顿第二定率：F=ma,（2）、分析受力：,因为是实际流体，故运动流体的表面力既有压应力（动压强）也有切应力。,二、黏性流体运动微分方程,设M点的相应要素为：py,uy,zy,xy,以y方向为例：,A.质量力：,B.表面力：,压力：,Ydxdydz,切应力（四个表面）：,（3）、公式：,对于不可压缩均质流体，=c，而X，Y，Z通常是已知的,故在三个方程中有九个表面应力、三个速度分量，共十二个未知量，既使加上连续性微分方程（四个方程，解十二个未知量），也无法求得唯一的解，所以还应再找出其它的关系。,2、流体质点的应力状态,（1）、切应力的特性：,式4-3,实际流体切应力普遍表达式，也称广义的牛顿内摩擦定律。,（2）、压应力的特性和大小：,切应力互等定律。原方程减少3个变量。,因为实际流体运动存在切应力，故各方位的压应力不尽相等，可取其平均值，每个方向上的压应力均可看作由均值p加上附加压应力px、py、pz。,式4-4,式4-5,3、NS方程,将以上关系式4-3、4-5代入实际流体运动微分方程4-3，结合不可压缩、均质流体连续性微分方程整理即可得NS方程。,拉普拉斯算子,例：,解：本题为无黏性流体平面运动，由欧拉运动微分方程式，不计质量力,将方程组化为全微分形式,积分，得,令p=常数，即得到等压面方程,等压面是以坐标原点为中心的圆。,一、无粘性流体运动微分方程的伯努利积分,dx,dx,dy,dy,dz,dz,Euler方程三式分别乘以流线上微元线段的投影dx、dy、dz，则相加后得：,1、公式推导前提条件：恒定流（条件之一）即,因为恒定流动时，流线与迹线重合，则此时的dx，dy，dz与时间dt的比为速度分量，即有：,则：,4.2元流的的伯努利方程,则（1）式变成,（3）,（4）,因此，方程是沿流线才适用的。条件之二,（5）,（6）,条件三：质量力仅为重力,条件四：不可压缩流体,对于任意两点1、2（6）、（7）式为无粘性流体沿流线的伯努利方程。,（7）,（1）.公式适用条件：无粘性流体、恒定流动、质量力只有重力、不可压流缩体、沿流线或微小流束。（2）.几何意义和物理意义：,二、方程的适用条件和意义,位置水头、比位能单位重量流体所具有的位能,压强水头、比压能单位重量流体所具有的压能,流速水头、比动能单位重量流体所具有的动能,三种形式的能量和功在流动的过程中是可以相互转化的，三者之和始终保持一常数。,三、毕托管,原理：利用无粘性元流流体伯努利方程。,V,B,A,Z,Z,图3-17皮托管测速原理,公式：,理论流速：,实际流速：,：修正系数，数值接近于1，由实验确定，=0.97；h：为两管水头差。,四、实际液体元流能量方程,实际液体具有粘滞性，由于内摩擦阻力的影响，液体流动时，其能量将沿程不断消耗，总水头线因此沿程下降，固有,H1H2,设单位重量液体沿元流(或流线)两点间的能量损失为hw，按能量守恒原理，上式可写成,即,上式即恒定流、不可压缩实际液体动能量方程，又称实际液体元流伯努利方程。,43恒定总流伯努利方程（能量方程）,一、渐变流及其性质,（1）按运动要素是否随流程改变，可将流动划分为均匀流与非均匀流。,（2）在非均匀流中，按流线是否接近平行直线，可将流动划分渐变流与急变流。,1、均匀流,某时刻，流体各相应点（位于同一流线上的点）的流速都不随流程改变的流动。,2、非均匀流,某一时刻，流体相应点的流速因位置的不同而不同的流动。,3、均匀流与非均匀流的判别标准,可据迁移加速度（位变导数）是否为零来判断。,3、渐变流,流线之间夹角很小，各流线为近似的平行直线。,在渐变流过流断面上作任一微小柱体，长为dL，截面积为dA。然后，分析该微元体的受力情况。由于流体在n方向（轴向）上没有流速，故n方向上的合力应平衡。,简单分析：,dA,假设：,微元体的密度为,说明：,4、急变流,流线间的夹角较大，流线的曲率半径较小的流动。,如突扩、水跌等,动压强特性：在断面上有,渐变流过流断面,p2=p1+h,二、恒定总流能量方程,1.方程的推导,设元流的流量为dQ=u1dA1=u2dA2，则在上述等式两端同乘以gdQ。,沿总流过水断面上积分可得总流能量关系：,（1）势能积分：在渐变流断面或均匀流断面上，有,则：,（2）动能积分：,（3）损失积分：,实际流体恒定总流的能量方程（对单位重流体而言）,2.方程的物理意义和几何意义,3.总流能量方程的限制条件,（1）恒定流；,（2）不可压缩流体；,（3）质量力只有重力；,（4）所选取的两过水断面必须是渐变流断面，但两过水断面间可以是急变流。,（5）总流的流量沿程不变。,（6）两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。,（7）式中各项均为单位重流体的平均能（比能），对流体总重的能量方程应各项乘以gQ。,1.在位置高度相同，管径相同的同一管道的两断面上，其势能、动能都相等。（）,2.运动水流的测压管水头线可以沿程上升，也可以沿程下降。（）,判断：,（1）选择基准面：,原则上可任选，一般可尽量使位置水头为零（即：Z=0）。,（2）选择计算断面：,4.解题步骤（三选一列）,（3）选择计算点：,（4）列方程解题,注意：1）公式中的压强p可以是绝对压强，也可以是相对压强，只要方程前后统一即可（对气体必须是绝对压强）。2)公式中的是指计算流体的重度，各项单位要统一。,注意与连续性方程的联合使用。,例1：如图所示的虹吸管泄水，已知断面1,2及2,3的损失分别为hw1,2=0.6v2/(2g)和hw2,3=0.5v2/(2g)，试求断面2的平均压强。,解：取0-0，列断面1，2的能量方程（取1=2=1）,而v2=v3=v（因d2=d1=d），因此可对断面1，3写出能量方程,可得：,代入式（a）中得：,可见虹吸管顶部，相对压强为负值，即出现真空。为使之不产生空化，应控制虹吸管顶高（即吸出高），防止形成过大真空。,(a),(b),例2：水深1.5m、水平截面积为3m3m的水箱，箱底接一直径为200mm，长为2m的竖直管，在水箱进水量等于出水量情况下作恒定出流，略去水头损失，试求点2的压强。,解:根据题意和图示，水流为恒定流；水箱表面，管子出口，管中点2所在断面，都是渐变流断面；符合总流能量方程应用条件。水流不可压缩，只受重力作用。,即得,由连续性方程，可得,因此有,取断面3-3为基准面，取，写断面1-1和2-2的总流能量方程,将已知数据代入上式可得,所以,其真空值为0.98N/cm2，或绝对值压强为8.82N/cm2。上式说明点2压强小于大气压强，其真空度为1m水柱，或绝对压强相当于10-1=9m水柱。,思考题:,1.拿两张薄纸，平行提在手中，当用嘴顺纸间缝隙吹气时，问薄纸是不动、靠拢、还是张开？为什么？,2.恒定总流能量的限制条件有哪些？如何选取其计算断面、基准面、计算点、压强？,3.总流能量与元流能量方程有什么不同点？,三、水头线,1.水头线：沿程水头（如总水头或测压管水头）的变化曲线。,2.总水头线是对应H=,的变化曲线，它代表水头,3.测压管水头线是对应Hp=,的变化曲线，它代表总势能沿,4.水力坡度J：指单位长流程的平均水头损失，即,5.测压管水头线坡度JP：单位长流程上的测压管水头线降落，用测压管测量。,损失沿流程的分布状况。,流程的变化状况。,例3：如图所示为一流动系统，各种损失如图中所示。AB段直径d1=100mm，BC段直径d2=150mm。试求：1）AB段流速v1；2）绘制总水头线和测压管水头线。,解：写1-1和2-2断面能量方程，以O-O为基准面。,取：,由连续性方程知,总水头线断面值的计算：,同理：,测压管水头线断面值的计算：,1.设有一水平压力管流，当不考虑水头损失的影响时，其测压管水头线沿程下降、上升或水平的条件各是怎样的？,2.什么是水头线？总水头线与测压管水头线有何区别？,思考题：,四、能量方程的扩展,1.分叉恒定流,1）有流量分出时，如图所示，有,2）有流量汇入时，如图所示，有,2.能量的输入与输出,在同一流动中，若另有机械能输出（如水轮机），或输入（如泵或风机），则能量方程形式为：,例：一抽水机管系（如图），要求把下水池的水输送到高池，两池高差15m，流量Q=30l/s，水管内径d=150mm。泵的效率p=0.76。设已知管路损失（泵损除外）为10v2/(2g)，试求轴功率。,解：取基准面0-0及断面1（位于低水池水面）及2（位于高水池水面）。设泵输入单位重水流的能量为hp，取1=2=1，则能量方程有：,因z1=0，z2=15m，p1=p2=0，且过水断面很大，v1v20而管中流速：,故有：,得：hp=16.47Nm/N,所需轴功率Np为：,3.气流的能量方程,总流的伯努利方程是对不可压缩流体导出的，气体是可压缩流体，但是对流速不很大（ua），此时相当于液体总流，式（b）中a可忽略不计，认为各点的当地大气压相同，式（b）化简为,除以g，即,由此可见，对于液体总流来说，压强p1,p2不论是绝对压强，还是相对压强，能量方程的形式不变。,解：选烟囱底部断面为1-1断面，出口断面为2-2断面，因烟气和外部空气的密度不同，则,其中1-1断面：,2-2断面：,代入上式,得H=32.63m。烟囱的高度须大于此值。,由此可见：自然排烟锅炉烟囱底部压强为负压p10，顶部出口压强p2=0，且z1z2，这种情况下，是位压（a-）g（z2-z1）提供了烟气在烟囱内向上流动的能量。因此，自然排烟需要有一定的位压，为此烟气要有一定的温度，以保持有效浮力（a-）g，同时烟囱还需要有一定的高度（z2-z1），否则将不能维持自然排烟。,五.文丘里流量计,为确定管道流量，常用如图所示的文丘里流量计测量。它由渐变管和压差计两部分组成。压差计中的工作液体与被测液体或相同（图a），或不同（图b），测量大压差常用水银作为工作液体（图b）。,（a）,（b）,取管轴0-0为基准面，测压管所在断面1,2为计算断面（符合渐变流），断面的形心点为计算点，对断面1,2写能量方程，由于断面1，2间的水头损失很小，可视,，取1=2=1，得,由此得：,故可解得：,因此：,式中,K对给定管径是常量，称为文丘里流量计常数。,实际流量：,文丘里流量计系数，随流动情况和管道收缩的几何形状而不同。,对水银压差计有：,4-4恒定流总流动量方程,动量定理：质点系的动量对时间的变化率,等于作用于,该质点系的所有外力之矢量和，即：,如图右从恒定总流中任取一束元流为控制体，dt时间内，流体从1-2处流至1-2处。,dt时间内元流的动量变化（恒定流）为,由动量定律得：,(1)不可压缩流体恒定元流动量方程,不可压缩流体恒定流，有,且,，则有,（2）不可压缩流体恒定总流动量方程,或,计算时可取为1.0。,式中：,作用于控制体内流体的所有外力矢量和。该外力包括：,（1）作用在该控制体内所有流体的质量力；,（2）作用在该控制体面上的所有表面力（动水压力、切力）；,（3）四周边界对水流的总作用力。,适用范围：,（1）理想流体、实际流体的不可压缩恒定流。,（2）选择的两个过水断面应是渐变流过水断面，而过程可以不是渐变流。,（3）质量力只有重力,（4）沿程流量不发生变化；若流量变化，则方程为：,动量方程的解题步骤,1.选控制体根据问题的要求，将所研究的两个渐变流断面之间的水体取为控制体；,2.选坐标系选定坐标轴的方向，确定各作用力及流速的投影的大小和方向；,3.作计算简图分析控制体受力情况，并在控制体上标出全部作用力的方向；,4.列动量方程解题将各作用力及流速在坐标轴上的投影代入动量方程求解。计算压力时，压强采用相对压强计算。注意与能量方程及连续性方程的联合使用。,例1：如图所示，喷水推进船，从前舱进水，然后用泵及直径为d=15cm的排水管从后舱排向水中。已知船速v1=36km/h，推进力F=2kN。试求水泵的排水量及推进装置的效率。,解：取船内流管的全部内壁轮廓为控制体，已知进水速度为v1=36km/h=10m/s，设相对于船艇的排水速度为v2，排水量为Q，则由动量方程得,代入已知数据，得,推进装置的输出有效功率为（作用于船体）：,由发动机输入到水力推进装置的输入功率为：,故推进装置的效率为,例2：一水平放置的喷嘴将一水流射至正前方一光滑壁面后，将水流分为两股，如图所示。已知d=40mm，Q=0.0252m3/s，水头损失不计，求水流对光滑壁面的作用力R。,解,1.取控制面：在楔体前后取渐变流断面1与断面2,3之间的水体为控制体，作用于控制体上的力有：,（1）断面1,2,3及控制体表面上的动水压力P1,P2,P3及P均等于零（作用在大气中）,（2）重力G，铅垂向下,（3）楔体对水流的反力R，待求。,2.取坐标，列动量方程：,3.令1=2=3=1.0，1=2=3=1。列能量方程：,（1）,代入（1）式可得：,水流对壁面的作用力R=-R，大小相等，方向相反。,当=60时R=252N=90时R=504N=180时R=1008N,例3图右为一滚水坝，上游水位因坝的阻挡而抬高，测得断面1-1的水深为1.5m，下游断面2-2水深为0.6m。略去水头损失，求水流对1m坝宽（垂直纸面方向）的水平作用力F。,解在坝前一段距离处，取渐变流断面1-1；在坝下游水流较平直处，取断面2-2。以坝基底部为基准面0-0，设1=2=1，写出总流能量方程：,（1）,利用连续方程：,取宽度为1m，得,代入（1）式：,1m坝宽的单宽流量,作用在断面1-1上的水压力,作用在断面2-2上的水压力,坝对水流作用力的合力为R，取断面1-1和2-2之间的水流为控制体(图b),写出总流动量方程,得：,则水流对1m坝宽的作用力,，方向与R相反。,返回本章,4-5无粘性流体的无旋流动,解决实际流体运动（特别是绕流运动）的方法之一就是将流场划分为两个区间，即：,粘性流体边界层理论,势流理论,本节着重讨论恒定平面势流。,一、速度势,1、速度势的定义：,如果流体的运动为无旋流，则有：,此关系式是使：（uxdx+uydy+uzdz）成为某一函数（x，y，z）的全微分的充分且必要条件，故必有一函数（x，y，z），此函数即称为速度势或速度势函数。所以无旋流也称为有势流。,由此可知，必有：,对有势流，只要确定了速度势，即可确定出ux、uy、uz的值，而不必求出ux、uy、uz的三个函数表达式，从而简化有势流分析过程。,等势面微分方程：,（1）等势面,速度势值相等的点连成的面称等势面。,等势面与流线正交与过流断面重合。,dl为等势面上任意方向的微量矢径，因为两个矢量的标量积为零，所以等势面与流线正交。,2、速度势的性质：,等势线,对于平面势流，等势面与平行平面的交线就是等势线，与流线正交。,（2）速度势满足拉普拉斯方程，是调和函数。,2拉普拉斯算子,拉普拉斯方程（即连续性方程：将与u的关系式代入不可压缩流体的连续性微分方程得到）：,满足上式的函数在数学上称作调和函数。平面势流问题最终归结为求解拉普拉斯方程的解。,由,得,二、流函数,是研究流体平面运动的一个很重要的概念，是为了求解平面势流所引入的一个概念。,1、流函数（不可压缩、均质、平面运动的流体）,定义：,注：（2）式是使（1）式uxdy-uydx=0成为某一个函数全微分的充分且必要条件。即只要流动满足方程（2），则必存在流函数。,（2）不可压缩均质平面运动流体连续性方程：,2,流函数（x，y）的全微分：,积分上式，即：,（x，y）=（uxdy-uydx）,不管是有旋、无旋；理想、实际流体，对不可压缩、连续流体的平面势流必存在流函数（x，y），在研究平面流动时，若已知