第十章第3节--三重积分.ppt

1,一、三重积分的概念,二、三重积分的计算,三、小结及作业,2,一、三重积分的概念,类似二重积分解决问题的思想,采用,引例：设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的,物质,求分布在内的物质的,可得,“大化小,常代变,近似和,求极限”,解决方法：,密度函数为,质量,3,定义.设,存在,称为体积元素,若对作任意分割:,任意取点,则称此极限为函数,在上的三重积分.,在直角坐标系下常写作,下列“乘,积和式”极限,由定义可知,引例中物体的质量为:,特别若在,那么三重积分在数值上,就等于区域,的体积即:,4,性质,使得,其中V为的体积.,三重积分的性质与二重积分相似,例如,计算方法,则至少存在,一点,中值定理:设在有界闭域上连续,5,1、直角坐标系中将三重积分化为三次积分,二、三重积分的计算,三重积分的计算也可以化为累次积分，即化为一,次单积分和二重积分，,从而进一步化为三次单积分计算,这时要求积分域,是指把区域,而得到平面有界闭区域,内任一点作平行于,的上下两边界面,分别是定义在,上的连续函数，于是有,6,如图，,在直角坐标系下,7,化三重积分为三次积分,(不妨设,8,其中为三个坐标面及平面,例1.计算三重积分,所围成的闭区域.,解:,9,例2:计算,及抛物面,所围成的区域.,解法一:采用先对,积分,将,10,解法二：采用先对,积分,将,11,一般在解题时,首先应该根据,区域的具体情况,考虑它对那个坐标面投影比较方便,从而决定采用先对,那个变量积分的积分次序.此题用解法三麻烦.,12,解,如图，,13,解,如图,14,15,2.截面法,截面法的一般步骤：,得投影区间,（2）对,用平面,（3）计算公式,无关时较方便。,16,17,18,解,19,原式,20,被积函数关于某个变量的奇偶性简化运算,一般有,1)、若关于xOy面对称，设是在xOy面上方的那,部分区域，则,2)、若关于三个坐标面都对称，,关于三个变量,都是偶函数，,是第一卦限的部分，则,21,3)、轮换对称性：,若积分区域的边界曲面的方程关于x,y,z的地位对称，,为连续函数，则有,例.设,计算,提示:利用对称性,原式,22,例计算,而且关于xOz面对称，,解：,23,3.利用柱坐标计算三重积分,就称为点M的柱坐标.,直角坐标与柱面坐标的关系:,坐标面分别为,圆柱面,半平面,平面,24,如图所示,在柱面坐标系中体积元素为,因此,其中,适用范围:,1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单；,2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.,积分域由抛物面、圆柱面、球面所围成。,被积函数表达式中含有,因子。,25,其中为由柱面,例1.计算三重积分,所围成半圆柱体.,解:在柱面坐标系下,及平面,26,例2.计算三重积分,解:在柱面坐标系下,所围成.,与平面,其中由抛物面,27,例3.计算,其中,解:,利用对称性,28,解,知交线为,29,30,解,所围成的立体如图，,31,所围成立体的投影区域如图，,32,33,例6、求,是由曲线,绕,轴旋转一周而成的曲面与,和,解因为曲面方程为,所以,所围成的立体.,（以前的考题）,34,例7:求由圆柱面,围成的物体的质量,物体的密度为,解:,35,例8、,计算三重积分,其中,解：,（以前的考题）,另一解法：截面法,36,4.利用球坐标计算三重积分,就称为点M的球坐标.,直角坐标与球面坐标的关系,坐标面分别为,37,如图所示,在球面坐标系中体积元素为,因此有,其中,适用范围:,1)积分域表面用球面坐标表示时方程简单;,2)被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.,积分域是由球面、锥面所围成。,被积函数中含有,的因子。,38,例1.计算三重积分,其中为,解:在球面坐标系下,所围立体.,锥面,与球面,39,例2：计算,解法一：采用柱坐标计算,40,解法三：采用先二后一在,处用垂直于,轴的平面去截,解法二：采用球面坐标,41,例3.设由锥面,和球面,所围成,计算,提示:,利用对称性,思考:若题中锥面改为旋转抛物面,应如何解题?,42,例4、计算三重积分,其中,是由,解,（以前的考题）,43,例5、将三次积分,化为球面坐标系下的三次积分，其中函数,解：,在已知区域上连续.,44,1.三重积分的定义和计算,在直角坐标系下的体积元素,（计算时将三重积分化为三次积分）,三、小结,45,（1）柱面坐标的体积元素,（2）球面坐标的体积元素,2.三重积分换元法,柱面坐标,