多元函数微分学及应用(隐函数反函数)

习题课：多元函数求偏导，多元函数微分的应用多元复合函数、隐函数的求导法(1) 多元复合函数设二元函数在点处偏导数连续，二元函数在点处偏导数连续, 并且, 则复合函数 在点处可微，且多元函数微分形式的不变性：设，均为连续可微，则将看成的函数，有计算，代人，我们将叫做微分形式不变性。例1 设，求。解： 由微分形式不变性， 故 。例2 已知 ，求.解 考虑二元函数, ，应用推论得 (2)隐函数 若函数, 由方程确定，求导之函数？按隐函数定义有恒等式：， 。从这是可见：函数可导有一个必要条件是，.例3 已知函数由方程是常数，求导函数。解：方程两边对求导，一般来说，若函数, 由方程确定，求导之函数？ 将看作是的函数,对于方程两端分别关于求偏导数得到，并解,可得到公式 :例4 设函数由方程组 确定， 求. 解 解方程得：=由此得到 .例5 已知函数由参数方程:,给定，试求.解 这个问题涉及到复合函数微分法与隐函数微分法. 是自变量,是中间变量(是的函数), 先由 得到 是由方程的的隐函数，在这两个等式两端分别关于求偏导数，得 ， 得到 将这个结果代入前面的式子, 得到与 (3) 隐函数函数由方程确定，求解： 函数关系分析: 5 (变量) - 3 (方程)=2(自变量); 一函 (u), 二自( x, y ), 二中( z, t ), , .二阶偏导数：一阶导函数的偏导数例6 由决定，求解：，例7 设，其中函数于的二阶偏导数连续，求例8 设，二阶连续可微，求.解 记 ; ,则 ,因为 都是以为中间变量，以为自变量的函数，所以将以上两式代入前式得: .例9 设二阶连续可微，并且满足方程 若令 试确定为何值时能变原方程为 . 解 将看成自变量，看成中间变量，利用链式法则得 =由此可得, = =0 只要选取使得 , 可得 .问题成为方程有两不同实根，即要求： .令,即可。此时，. .例10 设, 又, ,求 , 解: ,两边对求导, . (1) ,两边对求导, . 两再边对求导,. (2)由已知 , (3)(1), (2), (3) 联立可解得:多元微分的应用: 几何应用，物理应用极值与条件极值问题空间曲面(1)空间曲面的表达式显函数表示： 隐函数表示: 参数表示：(2)空间曲面的切平面与法线l 空间曲面由显函数表示，设 ，空间曲面过切平面方程为 法线方程是 法向量为空间曲面存在切平面的条件：若曲面由显函数表示在点可微, 则曲面在点有不平行轴的切平面.l 若曲面由隐函数表示, 曲面过切平面方程为法线方程为法向量l 若曲面由参数表示：，其切平面为或法线方程为法向量例11 求曲面:上切平面与直线平行的切点的轨迹。解: (1) 直线的方向：. 切点为处曲面的法向：. (2)所求轨迹：, 轨迹为空间曲线：例12 证明球面与锥面正交.证明 所谓两曲面正交是指它们在交点处的法向量互相垂直.记 曲面上任一点处的法向量是 或者曲面上任一点处的法向量为.设点是两曲面的公共点，则在该点有即在公共点处两曲面的法向量相互垂直，因此两曲面正交.例13 过直线作曲面的切平面，求该切平面的方程解：设切平面过曲面上的点，则切平面的法向量为过直线的平面可以表示为其法向量为 （）是曲面上的点，（）（）联立（），（），（），解得，或，切平面方程为，或例14 通过曲面上点的切平面（ B ）（）通过轴； （）平行于轴；（）垂直于轴； （），都不对.解题思路 令.则在其上任一点的法向量为于是在点的法向量为因此, 切平面的方程为. 在的法向量垂直于轴，从而切平面平行于轴但是由于原点不在切平面，故切平面不含轴.例15 已知可微，证明曲面上任意一点处的切平面通过一定点，并求此点位置证明：设，于是有：,则曲面在处的切平面是：可以得到：易见当时上式恒等于零。于是知道曲面上任意一点处的切平面通过一定点，此定点为例16 S由方程确定, 试证明：曲面S上任一点的法线与某定直线相交。证明: 曲面上任意一点的法线为设相交的定直线为, 与法线向交: 不平行于只要取即可.例17 求过直线且与曲面相切的平面的方程.解：直线L平面F可表示为 ，设曲面为G则相切处有解得因此切平面方程为 或例18 在椭球面上求一点，使椭球面在此点的法线与三个坐标轴的正向成等角。解：椭球面在此点的法线矢量为，设该点为，则有该点坐标为空间曲线的切线和法平面(1)空间曲面的表达式l 空间曲面的参数方程: 参数方程又可以写作 l 空间曲线的交面式：一条空间曲线，可以看作通过它的两个曲面与的交线，若设的方程为，的方程为，则的方程是 (2)空间曲线的切线与法平面l 空间曲面的参数方程表示，其切线为切向量为：法平面为： l 空间曲线的交面式表达方式，其切线为切向量为：法平面为：例19 求螺线 ；,在点 处的切线与法平面.解 由于点对应的参数为，所以螺线在处的切向量是 因而所求切线的参数方程为 法平面方程为 .例20