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文档简介

第一章,二、自变量趋于有限值时函数的极限,第三节,自变量变化过程的六种形式:,一、自变量趋于无穷大时函数的极限,本节内容:,函数的极限,引例.证明,证:,取,因此,注:,就有,故,欲使,只要,定义3.设函数,大于某一正数时有定义,若,则称常数,时的极限,几何解释:,记作,直线y=A为曲线,的水平渐近线.,A为函数,一、自变量趋于无穷大时函数的极限,直线y=A仍是曲线y=f(x)的渐近线.,两种特殊情况:,当,时,有,当,时,有,几何意义:,例如，,都有水平渐近线,都有水平渐近线,又如，,二、自变量趋于有限值时函数的极限,1.,时函数极限的定义,引例.测量正方形面积.,面积为A),边长为,(真值:,边长,面积,直接观测值,间接观测值,任给精度,要求,确定直接观测值精度:,定义4.设函数,在点,的某去心邻域内有定义,当,时,有,则称常数A为函数,当,时的极限,或,即,当,时,有,若,记作,极限存在,函数局部有界,这表明:,几何解释:,2.左极限与右极限,左极限:,当,时,有,右极限:,当,时,有,定理2.,例.给定函数,讨论,时,的极限是否存在.,解:利用定理2.,因为,显然,所以,不存在.,三.函数极限的性质,定理3.若,且A0,证:已知,即,当,时,有,当A0时,取正数,则在对应的邻域,上,(0),则存在,(A0),推论31.若在,的某去心邻域内,且,则,证:用反证法.,则由定理1,的某去心邻域,使在该邻域内,与已知,所以假设不真,(同样可证,的情形),思考:若定理2中的条件改为,是否必有,不能!,存在,如,假设A0，使对,例15求极限,内容小结,1.函数极限的,或,定义及应用,2.函数极限的性质:,保号性定理,与左右极限等价定理,3.极限运算法则,(1)极限四则运算法则,(2)复合函数极限运算法则,注意使用条件,4.求函数极限的方法,(1)分式函数极限求法,时,用代入法,(要求分母不为0),时,对,型,约去公因子,时,分子分母同除最高次幂,“抓大头”,(2)复合函数极限求法,设中间变量,思考与练习,1.若极限,存在,2.设函数,且,存在,则,是否一定有,第四节,？,3.,是否存在?为什么?,答:不存在.,否则由,利用极限四则运算法则可知,存在,与已知条件,矛盾.,问,4.求,解法1,原式=,解法2,令,则,原式=,5.试确定常数a使,解:,令,则,故,因此,作业,P242、3、
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