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,不定积分,微分法:,积分法:,互逆运算,第四章,二、不定积分的性质,一、原函数与不定积分的概念,三、基本积分表（）,第22讲不定积分的概念,第4章,一、原函数与不定积分的概念,1.引例,一质点(质量为m),沿直线运动,问题:,已知,求,在变力,求质点运动速度,由牛顿第二定律,加速度,2.原函数定义,定义1若函数F(x)及f(x)在区间I上满足,在区间I上的原函数.,则称F(x)为f(x),3.原函数的个数及原函数之间的关系,（1）若,F(x)为f(x)的原函数，,（2）若,F(x)、G(x)均为f(x)的原函数，,G(x)=F(x)+C,则,证,结论,问题:,原函数存在的条件?,定理,存在原函数.,初等函数在定义区间上连续,则必有原函数,4.原函数存在定理,5.不定积分定义,的含有任意常数项的,上的不定积分,记作,在区间I上，,定义2,原函数,即,被积函数,积分号,积分变量,被积表达式,(C为任意常数).,积分常数,注,？,如,即若,则,6.不定积分的几何意义,原函数的图形,的图形：,所有积分曲线组成的平行曲线族.,的积分曲线族.,的积分,注,的积分曲线.,曲线族是f(x)的,例1,解,例2,解,例3,解,x0时,在（0,+）内，有：,x0时,在（0,+）内，有：,例4,设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线,斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程,解,所求曲线过点(1,2),故有,因此所求曲线为,质点在距地面,处以初速,取x轴（向上）：运动轨迹处，,初时刻:,初位移:,初速：,设时刻t质点位置：,则,(运动速度),(加速度),垂直上抛,不计阻,解(2)建坐标系.,再由此求,例5,力,求它的运动规律.,由,知,故运动规律为,由,知,故,(2)求,二、不定积分的性质,1.不定积分运算与导数,性质1（互逆运算）,（或微分）运算的互逆关系,2.线性运算性质,性质2,线性运算推论,则,若,例6,解,(k为常数),三、基本积分表（）,积分表（）续1,（或,（或,积分表（）续2,例7,由线性性,例8,小结,2套用基本积分公式,（基本积分法）,1拆项、整理（用分配律、线性性）,分子迎合分母,例9,（有理函数的积分）分子迎合分母,小结,例10,用三角公式变形分子迎合分母,基本积分表的推广,定理,若,则,其中,是,的任一导数连续的函数.,例8,验证：,备选题.求下列积分,提示,例2-1,解,例2-2,火车进站时,需要逐渐减速,设火车减速时的,速度随时间的变化为,(公里
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