2.1 消元法与矩阵的秩_第1页
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2.1消元法与矩阵的秩,一、矩阵的初等行变换与阶梯形矩阵,记,系数矩阵,增广矩阵,(1)如果有0行全部位于该矩阵的最下方;,(2)非零首元列标随行标严格递增,(4)各非零首元所在列其余元素均为0,(3)各非零首元为1,满足(1)(2)的为行阶梯矩阵,满足(1)(2)(3)(4)的为行最简形矩阵.,例1利用矩阵的初等行变换,将,化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.,解,7,(在行最简形矩阵基础上继续实施初等列变换可,将其化成标准形),(标准形),0-11-5-5,0-5-5-5,0-11-5-5,0111,0111,0-11-5-5,1、概念和性质,定义2：设在矩阵A有一个不等于零的r阶子式，且所有的r+1阶子式（如果存在）全等于零，则称为A的最高阶非零子式，数r称为A的秩，记作r(A).,规定零矩阵的秩等于零。,二、矩阵的秩,例,解,计算A的3阶子式，,用定义求矩阵的秩并非易事，后面我们将用初等变换法去求矩阵的秩.,2、矩阵秩的性质,（1）,性质：,（2）,一个矩阵的秩是唯一的.,（3）,问题：经过变换矩阵的秩变吗,证,3、矩阵秩的求法,?,定理2.2初等行（列）变换不改变矩阵的秩。,经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变,综上可知，若A经一次初等行变换变为B,则,证毕,把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.,例2,解,由阶梯形矩阵有三个非零行可知,练习,三、线性方程组解的存在性和唯一性判别,方程组（1）有解,方程组（1）有唯一解,方程组（1）有无穷多解,（1）,123374,012263,5433-1b,0-4-8-8-24a-12,012263,0-6-12-12-36b-20,00000a,00000b-2,10-1-119-2,(唯一解）,2-2-53,3-3-84,2-2-53,4-4319,7-7-523,1-1-31,4-4319,7-7-523,1-1-31,0011,001515,001616,1-1,3(+1)+3,+312,-11,例7：设A,B分别是矩阵，C=AB是
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