第六-节---多元函数的极值及其求法.ppt

【实例】某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖x元，外地牌子的每瓶卖y元，则每天可卖出705x+4y瓶本地牌子的果汁，80+6x7y瓶外地牌子的果汁，问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？,每天的收益为,求最大收益即为求二元函数的最大值.,一、问题的提出,进价：1元,售价：x元,进价：1.2元,售价：y元,收益：x1元/瓶,收益：y1.2元/瓶,播放,二、多元函数的极值和最值,【实例】,1、【二元函数极值的定义】,【二元函数极值的定义】,【例1】,椭圆抛物面,(1),(2),(3),【例2】,【例3】,圆锥面,双曲抛物面（马鞍面）,2、【多元函数取得极值的条件】,【证】,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.,【问题】如何判定一个驻点是否为极值点？,【注意】,举例,二元函数极值的判定定理,【解】,（此为隐函数的极值问题）,（1）有界闭区域上的连续函数求最值的一般方法将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.,与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,3、【二元函数的最值】,分为,(1)有界闭区域上的连续函数求最值,(2)实际问题求最值,【解】,如图,【解】,由,【例6】,(夹逼准则),（2）实际问题求最值,实际问题中，若据问题的性质，知道最值一定在D的内部取得，而在D内只有一个驻点，则可断定该驻点处的函数值就是实际所求的最值,【例7】某厂要用铁板做成一个体积为2m3的有盖长方体水箱。问长、宽、高各取怎样的尺寸，才能用料最省.,【解】,水箱用材料面积为,即,即在定义域内有唯一驻点,例8某公司在生产中使用甲、乙两种原料，已知甲和乙两种原料分别使用x单位和y单位可生产Q单位的产品，且,已知甲原料单价为20元/单位，乙原料单价为30元/单位，产品每单位售价为100元，产品固定成本为1000元，求该公司的最大利润。,解：设L表示该公司的利润，则,其中x0,y0。,由方程组,求得唯一驻点(5,8)。,所以L(x,y)在(5,8)处取得极大值L(5,8)=16000，从而是最大值，即该公司的最大利润为16000元。,无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.,三、条件极值拉格朗日乘数法,实例小王有200元钱，他决定用来购买两种急需的物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买x张磁盘，y盒录音磁带达到最佳效果，效果函数，每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果,问题的实质求在条件下的极值,(1)【无条件极值】对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件。,1、【无条件极值与条件极值】,(2)【条件极值】对自变量有附加条件的极值。,条件极值的求法,法:化为无条件极值如教材例5和补例5,法:拉格朗日乘数法,对三元以上的函数特别有用,2、【拉格朗日乘数法】,【总结拉格朗日乘数法】,乘数法的推广（条件与自变量均多于两个的情况）,【解】,则,例10设某工厂生产甲、乙两种产品，产量分别为x和y（单位：千件），利润函数为,已知生产这两种产品时，每千克产品均需消耗某种原料2000kg，现有该原料12000kg，问两种产品各生产多少千件时，总利润最大？最大利润为多少？,解：依题设有约束条件,2000(x+y)=12000,即x+y=6.,所以该问题就是在x+y=6的条件下求利润函数L(x,y)的最大值，为此设拉格朗日函数为,多元函数的极值,拉格朗日乘数法条件极值,（取得极值的必要条件、充分条件）,多元函数的最值,四、小结,条件极值的求法,法:化为无条件极值,法:拉格朗日乘数法,【思考题】,【思考题解答】,二、多元函数的极值和最值,二、多元函数的极值和最值,二、多元函数的极值和最值,二、多元函数的极值和最值,二、多元函数的极值和最值,二、