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实变函数论课后答案第二章4第二章第四节习题1. 证明全体有理数所构成的集合不是集，即不能表成可数多个开集的交.证明：设上全体有理数为.则一个作为单点集是闭集，所以是集，但要证不是集，则不容易.这里用到：定理，设是集，即.是闭集，若每个皆无内点，则也无内点（最后再证之）反证设为集，即，（为开集，）上的单调函数的全体所组成的集合的势为.证明：任取上的单调函数，则其间断点至多可数个，设其无理数的间断点，为（可为有限）设中的有理数为令.则为中可数集.若，使，则存在使所以，从而.的无理数间断点，也是的无理数间断点，且.反过来也是的，的无理间断点，也是，的无理数间断点，且.故表明与在有理点重合，无理间断点相同，且在无理间断点的值.所以于，所以是的.利用下面结论：任何其有连续势的集合的全体可数子集所构成的族的势为连续势.知：.另一方面证毕.:设为两集合，是一个满射，则.即存在的一个子集.证明：因为为满射，且时必有.令，则由选择公理存在一个集合，它由中每一个集合中恰取一个元素而形成，显，存在唯一一个，使.所以与是对等的，故.证毕.选择公理：若是由互不相交的一些非空集合所形成的集合族，则存在集合，它由该族的每一个集合中恰取一个元素而形成.2. 证明上全体无理数所作成的集合不是集.证明：设上全体无理数所作成的集合是，则，（为上全体有理数的集合）若为集，则存在闭集使.所以为集.，为闭集，无内点.显为内点.所以无内点.这说明无内点（定理）得矛盾.证毕.3. 证明不可能有在上定义的在有理点处都连续，在无理点处都不连续的实函数.证明：若存在这样的上的实函数，它在有理点都连续，在无理点都不连续.的全体不连续点的集合为上的全体无理数为，由本章第二节习题10结论知为集，这于本节习题2的结论：不是集矛盾.故不存在这样的上的函数.4. 证明中全体开集构成一基数为的集合，从而中全体闭集也构成一基数为的集合.证明：对任意的上开集合，由开集的构造定理，存在使得.下面建立上的开集到全体实数列集成的集合的一个映射.若，令.若，则.令.这里，若；若；若；若则这个映射是单射.若且.则.故.又若则必有（否则至少有一个分量不等于零）.故是单射，所以上全体开集所作成的集合的势.令一方面，是一开集，令上全体开集之集合，则“上全体开集之集的势” ，由定理，上全体开集之集合的势为.证：记可数集.显所以.为单射.所以.由定理 .故是单射，所以上全体开集所作成的集
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