对称性在积分计算中应用

毕 业 设 计（论文）题 目：对称性在积分计算中应用学 院： 数 理 学 院 专业名称： 信息与计算科学 学 号： 0741210102 学生姓名： 鲍 品 指导教师： 张 晓 燕 2011年 5 月 20 日对称性在积分计算中的应用摘 要对称性的应用很广泛，尤其在数学，物理学，化学等方面都有体现。本论文主要是探讨一下对称性在积分计算中的应用。积分在微积分学中既是重点又是难点，特别是在解决积分计算问题上，方法比较灵活。常见的积分方法有换元法和分部积分法，这些方法在解决一般的问题上还是奏效的，但是对于复杂的微积分计算和证明问题就显得有些心有余而力不足。假如我们稍仔细地观察题目，很多时候我们会发现积分区域或被积函数具有某种对称性。如果我们将对称性巧妙地应用到解决这类问题中去，不仅简化了计算过程而且还节省计算时间。利用对称性解题方法比较灵活也十分重要。接下来本论文将从定积分，重积分，曲线积分以及曲面积分四大方面入手，深入探讨对称性在积分计算中的应用。最后分析利用对称性解题的条件与优势，总结出应用相关性质解题时要注意哪些方面。关键词定积分，重积分，曲线积分，曲面积分，对称性，奇偶性 AbstractThe application of symmetry is very widespread, particularly in mathematics, physics, chemistry and other aspects of embodied. This paper is to explore the symmetry in the integral calculation.Integral calculus is difficult in both the focus, especially in solving the problem of integral calculation, the method more flexible. The common integral method are the substitution of variables and the integration by parts. These methods are effective in the solution general question, but appear regarding the complex calculus computation and the proof question somewhat has more desire than energy. If we carefully observe the subject a little, usually we will find regional integration or product function has a symmetry. If we applied the symmetry skillfully to solve such problems, this not only simplifies the calculation process but also save computing time.More flexible use of problem-solving approach symmetry is also important, Then the paper will be integral, double integral, curve and surface integrals four points in a bid to further investigate the symmetry in the integral calculation. Finally, we solve problems by analyzing the symmetry of the conditions of use and advantages, summed up the nature of problem solving application related to the attention of what.Key wordsdefinite integral, heavy integral, curvilinear integral, surface integral, symmetry, parity 目 录1、绪论11.1 研究背景11.2 研究意义11.3 研究的思路及结构的安排22、对称性在定积分计算中的应用23、对称性在重积分计算中的应用33.1 二重积分计算33.2 三重积分计算64、对称性在曲线积分计算中的应用94.1 第一型曲线积分计算94.2 第二型曲线积分计算105、对称性在曲面积分计算中的应用115.1 第一型曲面积分计算115.2 第二型曲面积分计算136、对称性解题方法总结157、致谢168、参考文献171、绪论1.1 研究背景众所周知，对称性能给人以美的享受，客观世界中的许多事物都具有对称性。自然界的对称性为数学研究提供了一种独特的方法即对称方法。所谓对称性,意味着在某种变换下的不变性或组元的构形在其自同构变换群下所具有的不变性。事实上。数学中的对称性是比具体事物的对称性更深层次的对称。一方面，对称性在数学上的表现是普遍的，如几何图形中的轴对称、中心对称、镜像对称、正弦曲线等无不呈现出对称性；另一方面，数学思想与方法是解决问题的灵魂，在众多的解题方法论中，对称性思想与运用是解题方法中非常重要的思想方法与 常见的解题策略，灵活运用对称性解题也是大学生应该具备的数学素养，尤其在利用积分区间关于原点的对称性和被积函数的奇偶性简化积分计算是积分运算中最常用的一种方法。目前，数学教材一般只给出定积分理论中的对称性结论的例题，对于重积分、曲线积分以及曲面积分大都要求转化为定积分后再利用对称性求解。那么, 对于重积分、曲线积分以及曲面积分理论中是否也有类似的结论呢？1.2 研究意义积分在微积分学中占有极为重要的地位, 它与微分相比, 难度大, 方法灵活。掌握常见的积分方法如换元法和分部积分法是十分必要的, 但是只掌握这些方法是远远不够的, 在某些复杂的微积分计算和证明过程中，特别是涉及三元及三元以上的多元微积分问题，用常规的方法解决十分困难。若能注意并充分利用积分区域的对称性、被积函数的奇偶性以及积分变量的轮换对称性探求多元函数微积分的简化途径，利用其结果计算，可以简化计算过程，提高解题效率。对于有些原本并不具有对称性的问题，我们要善于根据问题的特点构造对称性，从而达到简化问题的目的。其实，对于重积分、曲线积分以及曲面积分理论中是否也有类似的结论。对称性在定积分计算中的应用在许多课题研究上已经介绍得很全面，然而对于对称性在重积分，曲线积分以及曲面积分计算中的应用，相关的文献对其也有探讨，但都相对比较零散，有的甚至很少涉及。本文将把重点放在研究对称性在重积分，曲线积分以及曲面积分计算中的应用，归纳总结出利用平面区域的对称性来简化积分计算的相关结论。1.3 研究的思路及结构的安排本文将首先指出所要研究的方向，指出其研究意义。其次利用对称性相关结论来简化定积分计算，然后从重积分，曲线积分和曲面积分三大方面，分别证明对称性相关性质，并结合实例加以验证。最后对本文内容进行分析总结。本文一共六章，其结构安排如下:第一章绪论，主要阐述研究背景，研究的意义以及研究的方法。第二章，在遇到定积分计算问题上，利用对称性能简化计算，节省时间，提高效率。第三章，第四章以及第五章，先分别证明其对称性相关性质，然后例举实例加以验证。第六章，分析对称性在解决积分计算问题上的优势，同时总结应用对称性解题时要注意哪些方面。2、对称性在定积分计算中的应用性质2.1 = 3、对称性在重积分计算中的应用3.1 二重积分计算 类似性质3.1.1的有： .3.2 三重积分计算 4、对称性在曲线积分计算中的应用4.1 第一型曲线积分计算 4.2 第二型曲线积分计算 . 5、对称性在曲面积分计算中的应用5.1 第一型曲面积分计算 5.2 第二型曲面积分计算 6、对称性解题方法总结常见的积分计算方法有换元法和分部积分法，这些方法比较基础同时也是必要的，对于解决一些简单的积分计算问题有效。但是当遇到复杂的微积分计算和证明问题，特别是涉及到三元或三元以上的多元微积分问题，用常规的方法解决十分困难。针对这种情况，本文提出了利用对称性解题的方法，分别从定积分、重积分、曲线积分和曲面积分四大方面来讨论了对称性，并对同一类型的性质给出了证明，同时也列举了相应的实例，的确通过本文我们可以清楚地看到利用对称性解题，非常奏效，极大地简化了积分计算。不论是在二重积分、三重积分、两类曲线积分和两类曲面积分中，它的这种简化作用都十分明显。用对称性解题的同时我们要注意另一个问题，防止滥用对称性。应用对称性计算积分时应注意以下两方面：1、 必须兼顾被积函数和积分区域两个方面，只有当两个方面都具有某种对称性时才能利用。如果只有积分区域具有某种对称性，这时需根据具体情况，我们可以把被积函数经过恒等变形使之具有某种对称性，再考虑利用相关性质。2、 对于第二类曲线积分和第二类曲面积分，在利用对称性时，需要考虑积分路线的方向和曲面的侧，确定投影元素的符号，这些地方容易出错，需谨慎。7、致谢通过这段时间的忙碌，毕业论文总算是完成了。从不会到会，一路走来，我学会了许多。首先我了解了写一篇论文的大致流程，学会了如何去写一篇论文，假如哪天我真的有机会需要写论文，就不会再去查询写论文的格式规范；然后就是对积分的认识更深刻了，特别是积分计算上是获益匪浅；最后，我学会了在压力下成长，怎样去缓解和释放压力，是我们每个人都要去面对的，让我们在压力面前显得不再那么脆弱与无奈。没有这次的论文，也就没有这些收获。所以要感谢张晓燕老师的督促指导，同时也要感谢数理学院能给我这次论文答辩的机会，好让我早点顺利毕业，最后要感谢所有曾经帮助过，关心过我的老师和同学！8、参考文献1 孙钦福. 二重积分的对称性定理及其应用J. 曲阜师范大学学报,2008, 29: 9102 张仁华. 二重积分计算中的若干技巧J. 湖南冶金职业技术学院学报, 2008, 8(2) : 1021043 同济大学应用数学系. 数学分析同步辅导(上册)M. 北京:航空工业出版社, 2005: 2162324 郑兆顺. 谈二重积分的计算J. 河南教育学院学报, 2007, 16(2):69705 张云艳轮换对称性在积分计算中的应用J毕节师范高等专科学校学报(综合版)，2002，20(3)：90926 凌明伟对称法求积分高等数学研究J. 2003，6(1)：35387 张义萍. 浅谈定积分的计算技巧对称性的应用J.渝州大学学报.2001, 18(3):82848 樊启斌. 数学综合复习解题指南(理工类)M. 武汉:武汉大学出版社, 2002.9 Bican L, Bashier E. Enochs E E1All modules have flat covers1BullJ.LondonMath, 2001, 33: 385390.10 张庆娥，郝新生.二元奇偶函数在对称区域上的积分公式及其证明J.数学的实践与认识， 2005, (5)：245247.11 华东师范大