数值分析引论 易大义Ch4.2

优点：代数精度高：，,问题：代数精度最大是多少？如何寻求数值稳定的方法？,本节内容：介绍插值型求积公式的特例，Gauss型求积公式.,优点：1.代数精度最高；,复习：给定n+1个节点，插值型求积公式：,缺点：数值不一定稳定.,NC公式：,Simpson公式,梯形公式,2.数值稳定，收敛.,插值基函数,2.1最高代数精度求积公式,分析四个未知量A0，A1，x0，x1，并知道插值型求积公式的,解,具有尽可能高的代数精度.,例4求节点，使插值型求积公式,问题,结论,本节问题关键,2Gauss型求积公式,插值型,代数精度最高.因此按插值型求积公式来求A0，A1.,一般地，对于任意求积节点,，任意求积,系数，求积公式,分析,Gauss型求积公式的构造,利用正交多项式的根构造,分析,引理1,证明,代数精度最高的求积公式,定义3,正交多项式的根一定是Gauss点，那么Gauss点是否一定是正,n+1个节点(ax0xnb)的求积公式(2.2)若其代数,精度m=2n+1，即达到最高，称之为Gauss型求积公式,并称其节点,为Gauss点.,交多项式的根？,2.2Gauss点与正交多项式的关系,定理4,分析,Gauss点ax0xnb,是a,b上关于权的n+1次正交多项式的根.,求积公式(2.2)是Gauss型的,“充分性”即是引理1的结论.以下只证必要性,只需证,证明,注本定理说明Gauss求积公式的唯一性.,“必要性”，即Gauss点作为节点正是n+1次正交多项式的根.,代数精度m=2n+1,正交.,关于,2.3Gauss求积公式的余项（截断误差）,由引理1知,xi(i=0,1,n)是Gauss点,则m=2n+1,定理5,，则Gauss求积公式(2.2)的余项为,分析,点,确定2n+1次多项式，,证明,若f(x)的Hermite插值多项式H2n+1(x)满足插值条件,由n+1个,利用Hermite插值多项式.,Gauss型求积公式是数值稳定的,2.4Gauss求积公式的数值稳定性和收敛性,1、稳定性,证明,上的连续函数,可以用代数多项式一致逼近,2、收敛性,引理2,结论,定理6Gauss型求积公式是数值稳定的；且对有限闭区间上的,优点（1）收敛、稳定;,缺点（1）Gauss点难求（即多项式的根难求）;,（1）f(x)赋值量大;,使用情况,（2）计算的积分多.,连续函数，Gauss型求积公式的值随节点数目的增加而收敛到准确,积分值.,（2）计算量小，代数精度高.,（2）Gauss点是无理数，Gauss求积系数也是无理数.,2.5几个常用的Gauss型求积公式,Gauss型节点是多项式的根，因此与正交多项式联系起来，有,1.Gauss-Legendre（勒让德）求积公式,2.Gauss-chebyshev（切比雪夫）求积公式,3.Gauss-Laguerre（拉盖尔）求积公式,4.Gauss-Hermite求积公式,以下几种求积公式.,本课重点：,理解掌握Gauss型求积公式及其代数精度并会求Gauss型求积公式.,说明：（1）插值型求积公式代数精度大于n，多大？最大可,达到2n+1,即是Gauss型求积公式，Gauss节点是正交多项式的根.,交多项式，并且也能构造高斯求积公式，但不能象这些特殊多项,（2）虽然对任意的a,b以及a,b上的权函数都能构造正,式那样，归结成一个明确的表达式，也没有明确的规律，因此，,借助这些特殊多项式，便于解决一些实际问题.,理解Gauss求积公式的数值稳定性、收敛性与余项、Gauss点与正交多项式的关系.,了解几个常用的Gauss型求积公式.,2.1最高代数精度求积公式,2Gauss型求积公式,Gauss型求积公式的构造,利用正交多项式的根来构造,引理1：,代数精度最高的求积公式,定义3,正交多项式的根一定是Gauss点，那么Gauss点是否一定