5_1向量的内积长度与正交性_第1页
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文档简介

第一节向量的内积、长度及正交性,线性代数,定义1,内积,一、向量的内积的概念,说明,1.维向量的内积是3维向量数量积的推广，但是没有直观的几何意义,或,3.内积是一个数,等于其相应分量的乘积之和.,试求的内积.,例1已知,解:,内积的运算性质,当且仅当时等号成立,定义2,令,向量的长度具有下述性质：,二、向量的长度及性质,解,定义3,1.正交的概念,.正交向量组的概念,三、正交向量组的概念及求法,若一个正交向量组中每一个向量都是单位向量,则称此向量组为正交规范向量组或标准正交向量组.,例如,为正交规范向量组.,为正交规范向量组.,又如,是两个等价的正交规范向量组.,证明,.正交向量组的性质,反之不成立.即线性无关的向量组不一定是正交向量组.,成为正交向量组.,解:设,则,即,由,得,从而有基础解系,即为所求.,施密特正交化方法是将一组线性无关的向量作如下的线性变换,化为一组与之等价的正交向量组的方法.,可以证明,对任何,向量组等价.,四、Schmidt(施密特)正交化方法,上述由线性无关向量组构造出正交向量组的过程,称为施密特正交化过程.,解正交化，,取,(先说明向量组线性无关),再单位化，,得正交规范向量组如下,例5,解,再把它们单位化，取,例6,解,把基础解系正交化，即合所求亦即取,为正交矩阵的充要条件是的行(列)向量组为正交规范向量组,证明,定义6,定理3,五、正交矩阵与正交变换,即的行向量组为正交规范向量组.,将A用行向量表示为,例7判别下列矩阵是否为正交阵,所以它是正交矩阵,由于,解,解,所以它不是正交矩阵,考察矩阵的第一列和第二列，,由于,例8,解,定理4设都是阶正交方阵,则,或,也是正交方阵,证明:(1)因为A是正交矩阵,则,(2)A,B是正交矩阵,则有,定义7若为正交阵，则线性变换称为正交变换,证明,性质正交变换保持向量的长度不变,1将一组线性无关向量组正交规范化的方法：先用施密特正交化
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