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3.1.3空间向量的数量积运算,1空间向量的夹角,互相垂直,2空间向量的数量积,(ab),|a|b|,|a|b|,|a|b|,1对于向量a，b，c和实数，下列命题中的真命题是()A若ab0，则a0或b0B若a0，则0或a0C若a2b2，则ab或abD若abac，则bc【答案】B【解析】对于A，可举反例：当ab时，ab0；对于C，a2b2，只能推得|a|b|，而不能推出ab；对于D，abac可以移项整理推得a(bc),4已知空间四边形OABC，OBOC，AOBAOC，则OA与BC的位置关系为_,【例1】已知|a|1，|b|2，|c|3，abbcca0，求|abc|的值【解题探究】利用完全平方公式运算,求向量的模,由于|a|2a2，求向量的模时通常将其平方后利用数量积运算来求,【答案】A【解析】设(ab)2a2b22abx，(ab)2a2b22ab242，两式相加，得2(a2b2)x242，x484.故|ab|22.,【例2】如图所示，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA与BC所成角的余弦值【解题探究】利用向量数量积公式的逆用进行计算,求两直线所成的角,2如图，已知点O是正三角形ABC所在平面外的一点，若OAOBOCAB1，E，F分别是AB，OC的中点，试求OE与BF所成角的余弦值,【例3】如图，已知在空间四边形OACB中，OBOC，ABAC.求证：OABC.,利用空间向量的数量积解决垂直问题,证明两直线垂直，可转化为证明两直线的方向向量垂直由abab0，转化为向量的数量积的运算,3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，CD1和DC1相交于点O，连接AO.求证：AOCD1.,找向量的夹角易出错【示例】如图，AO平面，BCOB，BC与平面所成角为30，AOBOBCa，求AC长,1利用向量的模求线段的长度，可避免画图，很方便2利用向量的数量积求夹角是常见问题，要注意不同角的取值范围3重视数学思想方法的运用，可优化解题思维，简化解题过程,(1)方程思想：在解题过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，使得在已知向量及未知向量之间构成函数方程关系，整体处理，简化解题运算量(2)数形结合思想：根据平面几何知识易于发现各量之间的关系，将位置关系用向量表达(3)化归转化思想：注意空间向平面的转化,【答
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