与圆锥曲线有关的最值问题

淘宝才智在线才智754093490,1,与圆锥曲线有关的最值问题,淘宝才智在线才智754093490,2,如果函数y=f(x)在点,的附近有定义，并且,的值比在,附近所有各,点的函数值都大（或都小），那么称,是函数f(x)的极大值（或极小值）。,函数y=f(x)在区间,内有定义，如果在,上的一点,处的函数值,不小于（或不大于）函数在,上其余各处的函数值，那么称,是函数,y=f(x)在区间,上的最大值（或最小值）。,函数y=f(x)在区间,上的最大值是区间端点处的函数值f(a)、f(b)及所有极大值,中的最大者；最小值则是在,上的f(a)、f(b)及所有极小值中的最小者。,与圆锥曲线的关的最值问题，往往是圆锥曲线的知识与函数内容的综合。,下面分类介绍解析几何中求最值的方法,淘宝才智在线才智754093490,3,一、平面几何法,为抛物线的焦点，,此时M（1，2）,淘宝才智在线才智754093490,4,例2、已知点O（0，0）、B（m，0）（m0)，动点P到O、P的距离之比为 2：1，求（1）P点的轨迹方程；（2）P点在什么位置时，三角形POB 的面积最大，并求出最大面积。,解：（1）设P（x,y) 由已知，|PO|：|PB|=2：1,化简，得,（2）如图，三角形POB的一边OB（定长）在x轴上，另一顶点P在以A点为圆心的圆上，由平面几何知识，知当P点是与x轴垂直的直径的两端时，三角形POB的面积最大。,淘宝才智在线才智754093490,5,例3、已知A（4，0）、B（2，2）是椭圆,内的两定点，M是椭圆,上一动点，求|MA|+|MB|的最值。,解：设椭圆左焦点为A（-4，0）。显然A（4，0）为椭圆右焦点， 因而由椭圆定义得|MA|+|MA|=10,如上图所示：,|MA|+|MB|,=|MA|+|MA|+|MB|-|MA|,=10+|MB|-|MA|,如下图所示：,|MA|+|MB|,=|MA|+|MA|+|MB|-|MA|,=10-（|MA|-|MB|）,说明：在用平面几何法求最值问题时，主要利用平面几何的以下几个重要概念： （1）两点间线段最短；（2）点到直线的一切线段中，垂线段最短。 （3）同圆的一切弦中，直径最长。,淘宝才智在线才智754093490,6,二、一次函数法,例4、三角形ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，圆O为内切圆，设P为 圆上一 点，求发PA、PB、PC为直径的三圆面积之和的最值。,解：如图，以圆心O为原点，以过O且平行于BC的直线为x轴， 建立直角坐标系，设P（x,y)。,易知A（-1，2）、B（-1，-1）、C（3，-1）,则所求面积之和为：,淘宝才智在线才智754093490,7,由已知，a=5，b=4，c=3,三、二次函数法,解：设P(x,y),则P点到直线4x+3y+46=0的距离,淘宝才智在线才智754093490,8,四、判别式法,解：曲线化为：,化简，得,解之，得,因此，所求最高点为（6，9），最低点为（4，5）,将（1）、（2）代入（3）得：,淘宝才智在线才智754093490,9,化简，得,所以，此时M点纵坐标为,五、切线性质法,解：由u=2x+3y,得,淘宝才智在线才智754093490,10,椭圆的切线方程为,分析：如图所示，,淘宝才智在线才智754093490,11,六、三角法,代入原方程，得,淘宝才智在线才智754093490,12,解：设P点、R点坐标为,R点坐标亦即,淘宝才智在线才智754093490,13,七、平均值定理法,淘宝才智在线才智754093490,14,说明:此题是1986年高考(理科)试题,解此题的关键是通过三角变换,构 造出关系式(1),再利用平均值定理求解.,解之，得,直线BC：x-y=0，所以点A到直线BC的距离,当且仅当2a=1-a即,淘宝才智在线才智754093490,15,练习：一、选择题：,1、已知P是椭圆,上动点，,为一定点，,B,A,C,则,淘宝才智在线才智754093490,16,A,D,B,C,淘宝才智在线才智754093490,17,二、填空题,A,D,B,淘宝才智在线才智754093490,18,2,（1，2）,282,淘宝才智在线才智754093490,