第十三章 早期量子论和量子力学基础

第十三章早期量子论和量子力学基础,13-1热辐射普朗克的能量子假设,13-2光电效应爱因斯坦的光子理论,13-3康普顿效应,13-4氢原子光谱玻尔的氢原子理论,13-5德布罗意波微观粒子的波粒二象性,13-6不确定关系,13-7波函数及其统计诠释薛定谔方程,13-8一维定态薛定谔方程的应用,13-9量子力学中的氢原子问题,13-10电子的自旋原子的电子壳层结构,一、热辐射现象,13-1热辐射普朗克的能量子假设,物体在任何温度下都在发射各种波长的电磁波，这种由于物体中的分子、原子受到激发而发射电磁波的现象称为热辐射。,Thermogramofman,热辐射的电磁波的波长、强度与物体的温度有关，还与物体的性质表面形状有关。,例如：加热铁块、热辐射光源。常温时主要辐射在红外区。,物体辐射的总能量及能量按波长分布都决定于温度。,二、基尔霍夫辐射定律(Kirchoff),单色辐出度M：为了描述物体辐射能量的能力，定义物体单位表面在单位时间内发出的波长在附近单位波长间隔内的电磁波的能量为单色辐出度。,辐出度M(T)：物体从单位面积上发射的所有各种波长的辐射总功率。,单色吸收比a(T)：当辐射从外界入射到物体表面时，在到+d的波段内吸收的能量E吸收d与入射的总能量E入射d之比。,吸收比a(T)：当辐射从外界入射到物体表面时，吸收能量与入射总能量之比。,吸收能力的量度,显然，有：,单色反射比r(T)：反射的能量与入射能量之比称为反射比，波长到+d范围内的反射比称为单色反射比。,不透明物体：,（绝对）黑体：物体在任何温度下，对任何波长的辐射能的吸收比都等于1，即,基尔霍夫定律：在温度一定时物体在某波长处的单色辐出度与单色吸收比的比值与物体及其物体表面的性质无关，是仅取决于温度和波长的一个恒量。,黑体单色辐出度,一个好的发射体一定也是好的吸收体。,同一个物体的发射本领和吸收本领有内在联系，,室温下的反射光照片,1100K的自身辐射光照片,图片说明一个好的发射体一定也是好的吸收体。,例如：黑白花盘子的反射和自身辐射照片,在不透明材料围成的空腔上开一个小孔。该小孔可认为是黑体的表面。,黑体能吸收各种频率的电磁波，也能辐射各种频率的电磁波。,黑体是最理想的发射体,例如：太阳等普通恒星的辐射接近黑体辐射，2.7K宇宙背景辐射也是黑体辐射。,黑体是理想模型,实验发现：,在温度一定时，黑体的单色辐出度与波长有关，并存在一极大值，所对应的极值点m与温度有关系。,由这些实验曲线可得黑体辐射的两个实验定律。,三、黑体辐射实验定律,1.斯特藩玻耳兹曼定律（J.Stefan&L.Boltzmann）,=5.6710-8W/（m2K4）Stefan恒量,实验证明，黑体的总辐出度M0(T)（每条曲线下的面积）与温度的四次方成正比,2.维恩位移定律（W.Wien）,黑体辐射中单色辐出度的极值波长m与黑体温度T之积为常数,b=2.89710-3mK-Wien常数,以上两个实验定律可用来解释一些有关热辐射的现象，也是遥感、高温测量和红外追踪等技术的物理基础。,维恩因热辐射定律的发现获1911年诺贝尔物理学奖。,例13-1实验测得太阳辐射波谱的，若把太阳视为黑体，计算（1）太阳每单位表面积上所发射的功率，（2）地球表面阳光直射的单位面积上接受到的辐射功率，（3）地球每秒内接受的太阳辐射能。(已知太阳半径RS=6.96108m，地球半径RE=6.37106m，地球到太阳的距离d=1.4961011m),解：,太阳每单位表面积上所发射的功率（辐出度）：,太阳表面温度：,太阳表面的总辐射功率：,地球表面单位面积接受到的太阳辐射能功率为：,由于dRE，可将地球看成半径为RE的圆盘，其接受到太阳的辐射能功率为：,四、普朗克的能量子假设,1.维恩经验公式,2.瑞利金斯公式,假定电磁波能量分布服从类似于经典的麦克斯韦速度分布律，可得,瑞利金斯从经典的能量均分定理出发，得到,黑体辐射的理论公式？,短波极限为无限大“紫外灾难”！,维恩公式在低频段，偏离实验曲线！,瑞利金斯公式在高频段(紫外区)与实验明显不符，短波极限为无限大“紫外灾难”！,普朗克公式在全波段与实验结果惊人符合！,紫外灾难,黑体热辐射的理论与实验结果的比较,3.普朗克公式,普朗克利用内插法，使两个波段分别与维恩公式和瑞利金斯公式一致，得到正确的黑体辐射公式：,普朗克常数：,经典电磁理论：辐射黑体分子、原子的振动可看作谐振子，这些谐振子可以发射和吸收辐射能。谐振子的能量可具有任意连续值。,普朗克的能量子假设：振子振动的能量是不连续的，只能取最小能量的整数倍，2，3，nn为正整数,在能量子假说基础上，普朗克由玻尔兹曼分布律和经典电动力学理论，得到黑体的单色辐出度，即普朗克公式。,振子在辐射或吸收能量时，从一个状态跃迁到另一个状态。,=h能量子（为振子的频率）,普朗克(MaxKarlErnstLudwigPlanck，18581947)德国物理学家，量子物理学的开创者和奠基人，1918年诺贝尔物理学奖金的获得者。,还可由普朗克公式导出黑体辐射的两个实验定律。,例13-2试从普朗克公式推导斯特藩-玻尔兹曼定律及维恩位移定律。,在普朗克公式中，为简便起见，引入,则,普朗克公式可改写为：,解：,黑体的总辐出度：,分部积分法：,导出斯特藩-玻尔兹曼定律：,为求单色辐出度的极值波长m，可以由普朗克公式得到m满足：,令,迭代法解得,维恩位移定律,13-2光电效应爱因斯坦的光子理论,一、光电效应的实验规律,光电效应：在波长较短的可见光或紫外光照射下某些金属表面上发射电子的现象。,金属板释放的电子称为光电子，光电子在电场作用下在回路中形成光电流。,光电效应实验装置,1.饱和光电流,电流强度随光电管两端电势差的增加而增加，在入射光强一定时光电流会随U的增大而达到一饱和值im，且饱和电流与入射光强I成正比。,实验规律：,结论：单位时间内，受光照的金属板释放出来的电子数和入射光的强度成正比。,2.遏止电势差,减小电势差至U=0时，光电流I0，说明光电子具有初动能。当负的电势差大到一定数值Ua时光电流完全变为零。称Ua为遏止电势差。,电子的最大初动能与Ua有关系：,结论：光电子从金属表面逸出时具有一定的动能，最大初动能与入射光的强度无关。,3.遏止频率（红限）,当入射光的频率改变时遏止电势差随之改变，实验发现两者成线性关系：,只有当入射光频率大于一定的频率0时，才会产生光电效应，0称为遏止频率或红限。,结论：光电子从金属表面逸出时的最大初动能与入射光的频率成线性关系。当入射光的频率小于0时，不管照射光的强度多大，不会产生光电效应。,不同材料的图线的斜率相同，但在横轴上的截距不同。说明：,K与金属材料种类无关，但U0与金属材料种类有关。,不同材料的Ua-曲线,当入射光频率大于红限0时，无论入射光的强度如何，光电子在光照射的瞬间可产生，驰豫时间不超过10-9s。,4.光电效应瞬时发生,二、光的波动说的缺陷,金属表面对电子具有束缚作用，电子脱离金属表面所需要最少能量称为逸出功(workfunction)。用A表示，显然有,其中Ephoton为吸收的电磁波能量,光电子的初动能应决定于入射光的光强，即决定于光的振幅（即光强）而非光的频率，不应存在截止频率！,光的能量是连续的，电子吸收光的能量需要一个累积过程，电子积累能量达到逸出功A时才能逸出，不可能瞬时发生！,按照光的经典电磁理论：,三、爱因斯坦的光子理论,(3)根据能量守恒定律，电子在离开金属表面时具有的初动能满足：,(1)光具有粒子性，光是由一个一个的光子（光量子）组成，每个光子的能量与其频率成正比。,光电效应方程,(2)一个光子只能整个地被电子吸收或放出。光量子具有“整体性”。,电子离开金属表面的动能至少为零，故当k(n=k+1，k+2,),赖曼系（Lyman)k=1，紫外光,k取不同值时，给出不同光谱系；n对应于不同谱线。,巴尔末系（Balmer)k=2，可见光,帕邢系（Paschen)k=3，红外,布喇开系k=4红外,普芳德系k=5红外,氢原子光谱的谱系：,nk(n=k+1，k+2,),1.经典原子模型及其困难,汤姆逊父子的面包夹葡萄干模型,卢瑟福的粒子散射实验和原子的核结构模型,核结构模型很好地解释了粒子散射实验，但却使经典理论陷入困境：,（1）原子的稳定性问题,经典原子模型的困难,（2）原子光谱的线状光谱问题,二、玻尔的氢原子理论,（1）定态条件：电子绕核作圆周运动，但不辐射能量，是稳定的状态-定态。,（2）频率条件：当原子从某一能量状态跃迁到另一能量状态时，就要发射或吸收电磁辐射，且辐射的频率满足条件：,2.Bohr假设,每一个定态对应于原子的一个能级,n=1，2，3量子数,（3）角动量量子化条件：电子绕核作圆周运动时角动量是量子化的，取值为：,三、氢原子轨道半径和能量的计算,经典理论结合Bohr理论,氢原子的半径和玻尔半径,Bohr半径,氢原子各定态电子轨道几跃迁图,氢原子的能量、基态能（电离能）,氢原子（电子）能量,基态能（电离能）,能量是量子化的，称为能级。,实验值：,根据氢原子的能级及玻尔假设得到氢原子光谱的Rydberg公式：,氢原子能级图,赖曼系,巴尔末系,帕邢系,布喇开系,普芳德系,四、玻尔理论的缺陷,玻尔理论仍然以经典理论为基础，定态假设又和经典理论相抵触。,量子化条件的引进没有适当的理论解释。,对谱线的强度、宽度、偏振等无法处理。,反映了早期量子论的局限性。,例13-7如用能量为12.6eV的电子轰击氢原子，将产生那些光谱线？,解：,可取n=3,可能的能级跃迁：31，32，21,基态氢原子受到12.8eV的电子轰击后，氢原子能具有的最高能量：,例13-8氢原子的基态能量E1=-13.6eV。在气体放电管中受到12.8eV的电子轰击，使氢原子激发，问此放电管中的氢原子从激发态向低能态跃迁时一共能产生几条谱线？其中波长最长的光谱线、最短的光谱线及可见光光谱线的波长各为多少？,解：,取4,共六条谱线，如图,可见光光谱是巴尔末系：,13-5德布罗意波微观粒子的波粒二象性,一、德布罗意波,光具有波粒二象性，那么实物粒子是否也应具有波粒二象性？或实物粒子具有波动性吗？,德布罗意（L.V.deBroglie1892-1986，法国）从光具有波粒二象性出发，认为实物粒子（如电子、质子等）也应具有波动性。,这种波既不是机械波也不是电磁波，称为德布罗意波(deBrogliewave)或物质波(matterwave)。,具有能量E和动量p的实物粒子所联系的波的频率和波长有关系：,具有静止质量m0的实物粒子以速度v运动，则和该粒子相联系的平面单色波的波长为：,德布罗意公式,时,例13-9（1）估算：m=5g，v=300m/s的子弹的波长。,子弹对应的波长太小，波动性无法表现出来！,（2）电子质量m0=9.110-31kg，Ek=100eV的电子的物质波波长：,德布罗意把物质波假设用于氢原子认为：如果电子在经典的圆轨道上运动，它对应于一个环形驻波，满足,玻尔轨道角动量量子化条件,德布罗意用物质波的概念成功地解释了玻尔提出的轨道量子化条件。,二、戴维孙-革末实验,贝耳电话公司实验室的戴维逊（CJDavisson）和革末（LHGermer）研究电子在镍单晶上的衍射（1927）。,实验装置示意图,假如电子具有波动性，当满足布喇格公式,此时，电表中应出现电流的极大值。,镍：,方向上测到电流的第一次峰值。,解释：,G.P.汤姆逊实验,1928年英国物理学家G.P.汤姆逊做了电子通过金多晶薄膜的衍射实验,1929年德布洛意获诺贝尔物理奖。,1937年戴维逊与G.P.汤姆逊获诺贝尔物理奖。,量子围栏,镶嵌了48个Fe原子的Cu表面的扫描隧道显微镜照片。48个Fe原子形成“电子围栏”，围栏中的电子形成驻波。,电子双缝干涉实验,约恩孙(C.Jonsson),1961年,德国的鲁斯卡（E.Ruska）等人研制成功第一台电子显微镜。,分辨率：10nm,微观粒子波动性的应用,鲁斯卡：电子物理领域的基础研究工作，设计出世界上第一台电子显微镜，1986年诺贝尔物理学奖。,1933年,少女？,老妇？,两种图象不会同时出现在你的视觉中。,三、微观粒子的波粒二象性,例13-10试估算热中子的得布罗意波长(中子的质量mn=1.6710-27)。,热中子是指在室温下(T=300K)与周围处于热平衡的中子，平均动能：,方均根速率：,德布罗意波长：,解：,第一级最大的条件是：,按德布罗意公式：,解：,例13-11电子在铝箔上散射时,第一级最大(k=1)的偏转角为，铝的晶格常数a为4.0510-10m，求电子速度。,13-6不确定关系,动量的不确定量：,坐标的不确定量：,按照经典波动理论，约束在空间某区域内的波不可能是单色的不可能具有唯一的波长。,这一结论对物质波同样正确：被束缚在某区域的粒子不可能具有确定的动量，即粒子的坐标和动量不能同时取确定值。,由于微观粒子的波粒二象性，粒子的位置是不确定的。,位置和动量的不确定量存在一个关系不确定关系。,以电子的单缝衍射为例说明,（d为缝宽）,对落在中央明纹范围内的电子：,海森伯（W.Heisenberg）位置动量不确定关系,考虑到落在其他明纹内的电子：,故有：,三维情形：,严格的不确定关系应该是：,海森伯获1932年诺贝尔物理学奖。,1.不确定性与测量没有关系，是微观粒子波粒二象性的体现。,3.当(即L)时，可作为经典粒子处理。,2.对于微观粒子，不能同时用确定的位置和动量来描述。因此，微观粒子：(1)没有“轨道”，(2)不可能静止（对任何惯性系）。,说明,4.能量和时间的不确定关系：,称为原子激发态的能级宽度,为原子处于该激发态的平均寿命,枪口直径可以当作子弹射出枪口时位置的不确定量：,和子弹飞行速度每秒几百米相比，这速度的不确定性是微不足道的，所以子弹的运动速度是确定的。,例13-12设子弹的质量为0.01kg枪口的直径为0.5cm。试求子弹射出枪口时的横向速度的不确定量。,解：,例13-13电视显象管中电子的加速度电压为10kV，电子枪的枪口的直径为0.01cm。试求电子射出电子枪后的横向速度的不确定量。,电子横向位置的不确定量,所以电子运动速度相对来说仍然是相当确定的，波动性不起什么实际影响。,解：,例13-14氢原子中的电子的轨道运动速度为106m/s，求电子速度的不确定度。,可见波动性十分明显，原子中电子在任一时刻没有完全确定的位置和速度，也没有确定的轨道，不能看成经典粒子。,解：,原子中电子位置的不确定量：,例13-15估算禁闭在原子核中的电子动能。,理论证明，具有这样大的动能电子足以把原子核击碎，所以电子不可能禁闭在原子核中。,原子核线度的数量级为,解：,13-7波函数及其统计诠释薛定谔方程,一、物质波波函数及其统计诠释,奥地利物理学家薛定谔（ESchrodinger）1925年提出用物质波波函数描述微观粒子运动状态。,平面波波函数,沿x轴正方向运动、能量E、动量p的自由粒子对应的平面物质波波函数应为：,由于,若粒子为三维自由运动，波函数可表示为,物质波波函数的物理意义？,爱因斯坦为了解释光粒子（光量子或光子）和波的二象性，把光波的强度解释为光子出现的几率密度。,玻恩(MBorn)在这个观念的启发下，将其推广到物质波波函数的物理意义：在某一时刻，在空间某处，微观粒子出现的概率正比于该时刻、该地点波函数的平方。,1954年，玻恩获诺贝尔物理奖。,在时刻t、空间点处，体积元dV中发现微观粒子的概率为：,对N个粒子系，在体积元dV中发现的粒子数为：,说明,让入射电子几乎一个一个地通过单缝,随着电子数增大，逐渐形成衍射图样衍射图样来源于“单个电子”所具有的波动性统计规律。,底片上出现一个一个的点子，开始时点子无规则分布说明电子具有“粒子性”，但不满足经典的决定论。,一个电子重复许多次相同实验，将表现出相同的统计结果。,数百个电子,少数几个电子,数万个电子,物质波也称为概率波。,用几率波说明弱电子流单缝衍射,波函数应满足的条件,1.自然条件：单值、有限和连续,2.归一化条件,粒子出现在dV体积内的几率为：,粒子在空间各点的概率总和应为l，,上述四种曲线哪种可能是表示波函数？,二、薛定谔方程,薛定谔（Schrdinger1887-1961）,1933年薛定谔获诺贝尔物理奖。,奥地利物理学家，提出量子力学最基本的方程。,薛定谔方程（1926年）,1.自由粒子的薛定谔方程,自由粒子波函数：,对波函数微分得：,由,一维运动自由粒子(v0的区；,当E0的区，在垒壁处粒子被反弹回x0区。,对于从区沿x方向运动的粒子，,量子力学结果如何？(EU0时),定态薛定谔方程,令,解为：,III区无反射波，,其他待定常数A、B、B、C由下列边界条件确定,在粒子总能量低于势垒壁高的情况下，粒子有一定的概率穿透势垒，称为隧道效应（tunneleffect）。,贯穿系数,可见：m、a、(U0E)越小，则穿透率T越大。,例如：电子a=210-10m,(U0-E)=1eVT0.51,a=510-10m,(U0-E)=1eVT0.024,原子核的衰变、超导体中的隧道结等是隧道效应的结果。,1.STM原理,利用探针在样品表面扫描时，样品表面和针尖之间间距有间隙，形成了电子的势垒，间隙越小势垒宽度越窄，隧道电流I越大。,扫描隧道显微镜（STM）,扫描隧道显微镜(ScanningTunnelingMicroscope)是可以观测原子的超高倍显微镜。,扫描隧道显微镜原理图,隧道电流I与样品和针尖间距离S的关系：,S样品和针尖间的距离U加在样品和针尖间的微小电压A常数平均势垒高度,通过测量电路中的电流，反推出距离S，绘出样品表面形貌图（立体图）,高分辨率：横向0.1nm，纵向0.01nm，可分辨单个原子,CarbonMonoxideonPlatinum(111),5nmhigh,硅晶体表面的STM扫描图象,STM扫描图象,三、谐振子,一维谐振子的势能：,定态薛定谔方程：,其能量本征值为：,能级间隔均匀,能量是量子化的,基态能(零点能)不为零,与Planck假设不同！,13-9量子力学中的氢原子问题,一、氢原子的薛定谔方程,氢原子中电子的势能函数,定态薛定谔方程,采用球坐标（r、）,设波函数,定态薛定谔方程变为,采用分离变量法可得到三个常微分方程。,三个常微分方程：,解三个方程，考虑到波函数应满足的标准条件，可得波函数(r，)，并很自然地得到氢原子的量子化特征。,二、量子化条件和量子数,1.能量量子化-主量子数n,得到氢原子能量必须满足量子化条件：,称为主量子数。,须满足标准条件，,当时，En连续值。,同玻尔得到的氢原子的能量公式一致；,2.电子轨道角动量(大小)的量子化-角量子数l,s,p,d,f,玻尔理论：,l受n限制,常表示为：,1s,2s,2p,称为角量子数,电子轨道角动量大小必须满足量子化：,3.电子轨道角动量的空间量子化-磁量子数ml,即角动量在空间的取向也是量子化的。,对于一定的角量子数l，磁量子数ml可取(2l+1)个值，角动量在空间z方向的取向只有(2l+1)种可能。,电子轨道角动量在外磁场方向（z轴）的投影须满足量子化：,角动量空间量子化的示意图,例13-18设氢原子处于2p态，求氢原子的能量、角动量大小及角动量的空间取向。,解：,角动量的大小：,l=1，ml的可能值是-1,0,+1，角动量方向与外磁场的夹角可能值为：,2p：n=2,l=1,氢原子的能量：,三、氢原子中电子的概率分布,电子的定态波函数：,称为径向函数；,称为角分布函数。,电子出现在空间（r,）处附近小体积元dV中的概率为：,其中a0=0h2/me2为玻尔半径。,电子径向几率分布,电子在rr+dr球壳的几率：,电子沿径向的几率分布是连续的不同于经典的轨道概念。,在基态，电子在r=a0处出现的几率最大，与经典轨道对应。,电子云,s电子云,p电子云,d电子云,13-10电子的自旋