《数学史》几何学的变革(上).ppt

,几何学的变革,第九章,什么叫几何？,几何，就是研究空间结构及性质的一门学科。它是数学中最基本的研究内容之一，与分析、代数等等具有同样重要的地位，并且关系极为密切。,几何学发展,几何学发展历史悠长，内容丰富。它和代数、分析、数论等等关系极其密切。几何思想是数学中最重要的一类思想。目前的数学各分支发展都有几何化趋向，即用几何观点及思想方法去探讨各数学理论。,9.1欧几里得平行公设,直到18世纪末，几何领域仍然是欧几里得一统天下解析几何改变了几何研究的方法，但没有从实质上改变欧氏几何本身的内容解析方法的运用虽然在相当长的时间内冲淡了人们对综合几何的兴趣，但欧几里得几何作为数学严格性的典范始终保持着神圣的地位,然而，这个近乎科学“圣经”的欧几里得几何并非无懈可击事实上，公元前3世纪到18世纪末，数学家们虽然一直坚信欧氏几何的完美与正确，但有一件事却始终让他们耿耿于怀，这就是欧几里得第五公设，也称平行公设在欧氏几何的所有公设中，唯独这条公设显得比较特殊它的叙述不像其他公设那样简洁、明了，当时就有人怀疑它不像是一个公设而更像是一个定理，并产生了从其他公设和定理推出这条公设的想法,下面回顾一下“欧氏几何公理、公设”:,欧氏几何公理：,（1）等于同量的量彼此相等；（2）等量加等量，和相等；（3）等量减等量，差相等；（4）彼此重合的图形是全等的；（5）整体大于部分。,欧氏几何公设：,（1）假定从任意一点到任意一点可作一直线；（2）一条有限直线可不断延长；（3）以任意中心和半径可以画圆；（4）凡直角部彼此相等；（5）若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。,第五公设,第五公设：若一直线落在两直线上，所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。,因此，从古希腊时代开始，数学家们就一直没有放弃消除对第五公设疑问的努力他们或者寻求以一个比较容易接受、更加自然的等价公设来代替它，或者试图把它当作一条定理由其他公设、公理推导出来在众多的替代公设中，今天最常用的是：,“过已知直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行”,般将这个替代公设归功于苏格兰数学家、物理学家普莱菲尔(J.Playfair，17481819)，所以有时也叫普莱菲尔公设,历史上第一个尝试证明第五公设的是古希腊天文学家托勒玫(Ptolemy，约公元150)作出的，后来普罗克鲁斯指出托勒玫的“证明”无意中假定了过直线外一点只能作一条直线平行于该直线，这就是上面提到的普莱菲尔公设,文艺复兴时期对希腊学术兴趣的恢复使欧洲数学家重新关注起第五公设在17世纪研究过第五公设的数学家有沃利斯等但每一种“证明”要么隐含了另一个与第五公设等价的假定，要么存在着其他形式的推理错误而且，这类工作中的大多数对数学思想的进展没有多大现实意义因此，在18世纪中叶，达朗贝尔曾把平行公设的证明问题称为“几何原理中的家丑”但就在这一时期前后，对第五公设的研究开始出现有意义的进展在这方面的代表人物是意大利数学家萨凯里、德国数学家克吕格尔和瑞士数学家兰伯特,萨凯里（意大利）最先使用归谬法来证明平行公设他在一本名叫欧几里得无懈可击(1733)的书中，从著名的“萨凯里四边形”出发来证明平行公设,萨凯里四边形是一个等腰双直角四边形，其中=，且为直角。萨凯里需要证明C=D且为直角。,萨凯里指出：不用平行公设容易证明C=D，并且顶角具有三种可能性并分别将它们命名为,1直角假设：C和D是直角；2钝角假设：C和D是钝角；3锐角假设：C和D是锐角,可以证明，直角假设与第五公设等价萨凯里的计划是证明后两个假设可以导致矛盾，根据归谬法就只剩下第一个假设成立，这样就证明了第五公设,萨凯里在假定直线为无限长的情况下，首先由钝角假设推出了矛盾，然后考虑锐角假设，在这一过程中他获得了一系列新奇有趣的结果，如三角形三内角之和小于两个直角；过给定直线外一给定点，有无穷多条直线不与该给定直线相交，等等虽然这些结果实际上并不包含任何矛盾，但萨凯里认为它们太不合情理，便以为自己导出了矛盾而判定锐角假设是不真实的,萨凯里的工作激发了数学家们进一步的思考1763年，克吕格尔（德国）在其博士论文中首先指出萨凯里的工作实际上并未导出矛盾，只是得到了似乎与经验不符的结论克吕格尔是第一位对平行公设能否由其他公理加以证明表示怀疑的数学家他的见解启迪兰伯特（瑞士）对这一问题进行了更加深入的探讨,1766年，兰伯特写出了平行线理论一书，在这本书中，他也像萨凯里那样考虑了一个四边形，不过他是从一个三直角四边形出发，按照第四个角是直角、钝角还是锐角作出了三个假设由于钝角假设导致矛盾，所以他很快就放弃了它与萨凯里不同的是，兰伯特并不认为锐角假设导出的结论是矛盾，而且他认识到一组假设如果不引起矛盾的话，就提供了一种可能的几何因此，兰伯特最先指出了通过替换平行公设而展开新的无矛盾的几何学的道路,萨凯里、克吕格尔和兰伯特等，都可以看成是非欧几何的先行者然而，当他们走到了非欧几何的门槛前，却由于各自不同的原因或则却步后退(如萨凯里在证明了一系列非欧几何的定理后却宣布“欧几里得无懈可击”)，或则徘徊不前(兰伯特（瑞士）在生前对是否发表自己的结论一直踌躇不定，平行线理论一书是他死后由朋友发表的),突破具有两千年根基的欧氏几何传统的束缚，需要更高大的巨人，这样的时机在19世纪初逐渐成熟，并且也像解析几何、微积分的创立一样，这样的人物出现了不止一位对非欧几何来说，他们是高斯、波约(J.Bolyai，18021860)和罗巴切夫斯基(N.I.Lobachevsky,1793-1856),下见：希尔伯特的评价。,希尔伯特说：“19世纪最富有启发性和最值得注意的成就是非欧几里得几何的发现。”,9.2非欧几何的诞生,前面讲过，在非欧几何正式建立之前，它的技术性内容已经被大量地推导出来但最先认识到非欧几何是一种逻辑上相容并且可以描述物质空间、像欧氏几何一样正确的新几何学的是高斯,高斯,高斯（JohannCarlFriedrichGauss）（1777年1855年），生于不伦瑞克，卒于哥廷根，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。,非欧几何的诞生,“非欧几何”的名称来源于高斯。他从1799年开始意识到平行公设不能由其他公理推出，并从1813年起发展了这种平行公设在其中不成立的新几何。,非欧几何的诞生,为了验证“非欧几何”应用的可能性，他实际测量了由三座山峰构成的三角形，此三角形的三边分别为：69，85与109公里。他发现其内角和比1800大了近15。,从高斯的遗稿中可以了解到，他从1799年开始意识到平行公设不能从其他的欧几里得公理推出来，并从1813年起发展了这种平行公设在其中不成立的新几何他起先称之为“反欧几里得几何”，最后改称为“非欧几里得几何”，所以“非欧几何”这个名称正是来自高斯,但他除了在给朋友的一些信件中对其非欧几何的思想有所透露外，高斯生前并没有发表过任何关于非欧几何的论著这主要是因为他感到自己的发现与当时流行的康德空间哲学相抵触，担心世俗的攻击他曾在给贝塞尔(P.W.Bessel)的一封信中说：如果他公布自己的这些发现，“黄蜂就会围着耳朵飞”，并会“引起波哀提亚人(特指有世俗偏见的愚人)的叫嚣”,当声誉甚隆的高斯决定将自己的发现秘而不宣时，一位尚名不见经传的匈牙利青年波约却急切地希望通过高斯的评价而将自己关于非欧几何的研究公诸于世，波约的父亲F.波约是高斯的朋友，也是一位数学家,1832年2月14日，F.波约将他儿子的一篇题为绝对空间的科学的26页文章寄给高斯，这篇文章也作为F波约刚刚完成的一本数学著作的附录而发表，其中论述的所谓“绝对几何”就是非欧几何F波约请高斯对他儿子的论文发表意见。,波约,匈牙利数学家-波约,“称赞他(即J.波约)就等于称赞我自己整篇文章的内容，您儿子所采取的思路和获得的结果，与我在30至35年前的思考不谋而合”,J.波约对高斯的答复深感失望，认为高斯想剽窃自己的成果1840年俄国数学家罗巴切夫斯基关于非欧几何的德文著作出版后，更使J.波约灰心丧气，从此便不再发表数学论文，而他的父亲倒很开通，安慰他说：“春天的紫罗兰在各处盛开”,然而高斯回信说：,在非欧几何的三位发明人中，只有罗巴切夫斯基最早、最系统地发表了自己的研究成果，并且也是最坚定地宣传和捍卫自己的新思想的一位。他先是于1826年在喀山大学发表了简要论述平行线定理的一个严格证明的演讲，报告了自己关于非欧几何的发现，而后又在1829年发表了题为论几何原理的论文，这是历史上第一篇公开发表的非欧几何文献。,罗巴切夫斯基,罗巴切夫斯基,罗巴切夫斯基,罗巴切夫斯基1792年生于俄国下诺伏哥罗德（今高尔基城），1807年进入喀山大学，1811年毕业并获硕士学位。罗巴切夫斯基毕业后留校任职，历任教授助理、非常任教授、常任教授、物理数学系主任，35岁被任命为校长。1846年以后任喀山学区副督学，直至逝世。如果没有罗氏几何学，罗巴切夫斯基只能算一个优秀的科学与教育管理者。,罗巴切夫斯基后来为发展、阐释这种新几何学而付出了毕生心血他生前发表了许多论著，其中1835-1838年间的系列论文具有完备的平行线理论的新几何学原理较好地表述了他的思想，而1840年用德文出版的平行理论的几何研究则引起高斯的关注，这使他在1842年成为德国哥廷根科学协会会员,罗巴切夫斯基非欧几何的基本思想与高斯、波约是一致的，即用与欧几里得第五公设相反的断言：通过直线外一点，可以引不止一条而至少是两条直线平行于已知直线，作为替代公设，由此出发进行逻辑推导而得出一连串新几何学的定理罗巴切夫斯基明确指出，这些定理并不包含矛盾，因而它的总体就形成了一个逻辑上可能的、无矛盾的理论，这个理论就是一种新的几何学非欧几里得几何学,设给定了直线和直线外一点，从引的垂直线按照罗巴切夫斯基的基本假设，至少存在两条直线，通过点且不与直线相交(注意图形在这里只起辅助理解的作用，罗氏论证的并不是我们普通平面上所作的图,罗巴切夫斯基考虑所有过不与相交的直线的极限情形，指出这样的极限直线有两条(与)，并证明了它们也不与相交因此，与，便构成了所有不与相交的直线的边界，在这两条边界直线所成夹角内的所有直线都不与相交,罗巴切基称与为的“平行线”，而落在角口内的所有直线叫不相交直线如果按不相交即平行的意义理解，那么罗巴切夫斯基的几何里，过直线外一点就可以引无穷多条直线与给定的直线平行,若把平行角记作，则时，就得到欧氏平行公设若，则单调增加且趋于；而时，单调减少且趋于0换句话说，如果在离直线很远处作与此直线垂线很小夹角的直线，那么我们可以沿着这条“倾斜”的直线前进而永远不与直线相遇!,罗巴切夫斯基还将夹角的一半称为“平行角”，因小于两直角，故平行角小于直角罗巴切夫斯基发现，平行角是点到直线的距离的函数,用欧氏几何的眼光来看，罗巴切夫斯基几何还有许多令人惊奇的结果，我们只能举一些例子，如：,1三角形三内角之和小于两直角，假如三角形变大，使它所有三条高都无限增长，则它的三个内角全部趋向于零；,2不存在面积任意大的三角形；,3如果两个三角形的三个角相等，它们就全等；,4圆周长不与半径成正比，而是更迅速地增长，并符合下面的公式,其中是依赖于长度单位的常数利用的级数展开又可以得到,因此，常数越大，就越小，上述公式就越接近于普通欧氏几何中的圆周长公式这只是一个例子，说明罗巴切夫斯基几何在极限情形下就变成欧几里得几何,罗巴切夫斯基还发展了非欧三角学，得出一系列三角公式，主要有,9.3非欧几何的发展与确认,德国数学家黎曼(B.Riemann，18261866)在1854年发展了罗巴切夫斯基等人的思想而建立了一种更广泛的几何，即现在所称的黎曼几何罗巴切夫斯基几何以及欧氏几何都只不过是这种几何的特例,黎曼非欧几何,黎曼(1826-1866）德国著名数学家。1846年，进入哥廷根大学学神学，后在数学家的影响下，放弃神学改学数学，有幸成为高斯晚年的学生。获博士后留校。,黎曼（1826-1866）,黎曼的研究是以高斯关于曲面的内蕴微分几何为基础的内蕴微分几何也是19世纪几何学的重大发展之一我们知道，在蒙日等人开创的微分几何中，曲面是在欧氏空间内考察的，但高斯1828年发表的论文关于曲面的一般研究则提出了一种全新的观念，即一张曲面本身就构成一个空间它的许多性质(如曲面上的距离、角度、总曲率是等)并不依赖于背景空间，这种以研究曲面内在性质为主的微分几何称为“内蕴微分几何”,黎曼非欧几何,1854年发表就职演说关于几何基础的假设（1868年发表），其中建立了黎曼空间概念，创立了黎曼几何学的基础。主要思想：（1）区分了无界域无限的概念；（2）对欧几里得的公设1)、2)、5)作了如下修改：1）两个不同的点至少确定一条直线；2）直线是无界的；3）平面上任何两条直线都相交。,在他1854年发表的题为关于几何基础的假设的演讲中，黎曼将高斯关于欧氏空间中曲面的内蕴几何推广为任意空间的内蕴几何他把维空间称作一个流形，维流形中的一个点，可以用个参数的一组特定值来表示，这些参数就叫作流形的坐标,黎曼几何，为爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。,黎曼从定义两个邻近点的距离出发，假定这个微小距离的平方是一个二次微分齐式,其中是坐标的函数，并且上式右边总取正值这个表达式后来以“黎曼度量”著称,在此基础上，黎曼又定义了曲线的长度，两曲线在一点的交角等，所有这些度量性质都是仅由表达式中的系数确定的,黎曼还引进了流形曲率的概念在黎曼几何中，最重要的一种对象就是所谓的常曲率空间(即在每一点上曲率都相等的流形)，对于三维空间，有以下三种情形：,1曲率为正常数；2曲率为负常数；3曲率恒等于零,黎曼指出后两种情形分别对应于罗巴切夫斯基的非欧几何学和通常的欧氏几何学，而第一种情形则是黎曼本人的创造，它对应于另一种非欧几何学在这种几何中，过已知直线外一点，不能作任何平行于该给定直线的直线这实际上是以前面提到的萨凯里等人的钝角假设为基础而展开的非欧几何学,在黎曼之前，从萨凯里到罗巴切夫斯基，都认为钝角假设与直线可以无限延长的假定矛盾，因而取消了这个假设但黎曼区分了“无限”与“无界”这两个概念，认为直线可以无限延长并不意味着就其长短而言是无限的，只不过是说，它是无端的或无界的可以证明，在对无限与无界概念作了区分以后，人们在钝角假设下也可像在锐角假设下一样，无矛盾地展开一种几何这第二种非欧几何，也叫(正常曲率曲面上的)黎曼几何。,作为区别，数学史文献上就把罗巴切夫斯基发现的非欧几何叫作罗巴切夫斯基几何普通球面上的几何就是黎曼非欧几何，其上的每个大圆可以看成是一条“直线”容易看出，任意球面“直线”都不可能永不相交。,黎曼可以说是最先理解非欧几何全部意义的数学家他创立的黎曼几何不仅是对已经出现的非欧几何(罗巴切夫斯基几何)的承认，而且显示了创造其他非欧几何的可能性。,黎曼也是现代数学史上最具创造性的数学家之一他1826年出生在德国一个牧师家庭，由于家庭环境的影响，黎曼最初进人哥廷根大学时学的是神学和哲学，但不久他就喜欢上了数学。在征得父亲同意后，黎曼将数学选定为自己的专业然而经过一年后，他发现哥廷根大学开设的数学课程过于陈旧，甚至连高斯也在讲初等的课程，,黎曼（德国）,黎曼,于是他决定去柏林随雅可比、狄利克雷(Dirichlet)等数学家学习1849年，黎曼重返哥廷根在高斯指导下做博士论文，题目为单复变函数一般理论基础,黎曼（德国）,结果，这篇论文得到了高斯的赞赏，他以少有的激情给作者写了如下评语：,“黎曼先生提交的博士论文提供了可信的证据，表明作者对他的论文所涉及的主题进行了全面、深入的研究，显示了一个具有创造力的、活跃的、真正数学的头脑以及了不起的富有成果的独创性”,不幸的是，黎曼正值他的创造高峰时因感染上肺结核而去世，死时还不到40岁黎曼在他短暂的一生中，对于几何、分析和物理学的众多领域都作了开创性的贡献有数学家评论说：“黎曼是一个富有想象的天才，他的想法即使没有证明，也鼓舞了整整一个世纪的数学家”,黎曼,1826年9月17日，黎曼生