第15章-2量子物理

15-7波函数薛定谔方程,15-7-1波函数,波函数（）：量子力学中用以描述粒子运动状态的数学表达式。,自由粒子：不受外力场的作用，其动量和能量都不变的粒子。,自由粒子的波函数：,波函数的复指数形式：,式中的E和p分别为自由粒子的能量和动量。,概率密度：单位体积内粒子出现的概率。,粒子在空间体元中出现的概率：,波函数的归一化条件：,波函数所要求的标准条件：,单值、连续、有限、归一化,态叠加原理：假设是粒子体系的n个可能状态，那么，它们的线性组合态也是一种可能的状态。,15-7-2薛定谔方程的一般形式,建立自由粒子的薛定谔方程：,自由粒子能量与动量关系：,因为,一维自由粒子的薛定谔方程：,粒子在势场中运动，则有,势场中的一维薛定谔方程：,势场中的三维薛定谔方程：,称为梯度算符,称为拉普拉斯算符,15-7-3一维定态不含时薛定谔方程,如果势场只是坐标的函数，而与时间无关。,则,分离变量后可得,解得,（c为积分常量）,（E为一个确定的能量值）,结论：若势场与时间无关，则粒子具有确定的能量值。,定态：能量不随时间变化的状态。,一维定态薛定谔方程：,称为一维定态波函数,概率密度：,结论：定态粒子在空间的概率分布不随时间改变。,15-8一维定态问题,15-8-1一维无限深势阱,势函数为,定态薛定谔方程：,令,方程解,边界条件：,边界条件：,结论：在无限深势阱中，粒子的能量只能取分立值。,基态能级的能量：,激发态能级的能量：,归一化条件：,得,波函数：,概率密度：,结论：在n很大时，能量趋于连续，这就是经典物理的图像。,15-8-2一维势垒隧道效应,隧道效应：粒子穿透势垒的现象。,一维方势垒问题：,势函数,一维定态薛定谔方程：,设粒子质量为m，能量为E（EE0）,令,方程解,（）,（）,令,方程解,由波函数连续性条件,在边界连续,（2）0xa，,表示粒子在势垒右侧出现的概率密度。,表示粒子在势垒左侧出现的概率密度。,结论：粒子在势垒内部和外部都有出现的可能。,设,透射系数：粒子穿透势垒的概率。,例9能量为30eV的电子遇到一个高为40eV的势垒，试估算电子穿过势垒的概率。势垒宽度为1.0nm；势垒宽度为0.1nm。,解：,（1）,（2）,估算时可以忽略G：,几乎就不能穿透势垒！,电子穿透势垒的概率很大，接近于4%。,15-8-3扫描隧道显微镜,15-8-4一维简谐振子,一维简谐振子的势函数：,其中,m振子质量，固有频率，x位移,微观领域中分子的振动、晶格的振动、，都可以近似地用简谐振子模型来描述。,相应的定态薛定谔方程为：,基态波函数解：,其他激发态波函数均包含因子：,满足方程的简谐振子能量：,基态能量：,激发态能量：,相邻能级的间距：,零点能,高能态（n）的概率分布过度到经典概率分布。,15-9氢原子结构,15-9-1氢原子的薛定谔方程,氢原子体系的势函数：,氢原子的定态薛定谔方程：,分离变量法求出方程解：,结论：方程的解可以表示成三个各自具有一个独立变量的函数的乘积。,讨论：,讨论的依据：波函数单值、有限、连续边界条件,是一个包含和指数项的多项式。,（1）在较远处（r较大）:,结论：是一个关于变量r的多项式与一个指数函数（为正数）的乘积。,15-9-2角动量量子化三个量子数,能量的本征值：,1.n主量子数表征能量量子化,能量是量子化的；当n时，En连续值。,2.l轨道量子数表征角动量量子化,即,轨道角动量大小的可能取值：,结论：第n能级，可以有n个不同的角动量L值。,处于l=0,1,2,3,状态的电子分别称为s,p,d,f,电子。,轨道角动量的z分量：,结论：对于给定的l值，ml可以有（2l+1）个取值。,15-9-3氢原子中电子的概率分布,在氢原子中的空间体积dV内发现电子的概率,径向概率分布：,当n=1时，lmax=0，峰值位置：r=r1,当n=2时，lmax=1，峰值位置：r=4r1,当n=3时，lmax=2，峰值位置：r=9r1,玻尔预言氢原子轨道半径：,结论：量子力学认为电子在玻尔轨道上的那些点出现的概率最大，但是也有可能出现在别处。,15-10电子的磁矩原子的壳层结构,塞曼效应：在磁场中一些光谱线会发生分裂的现象。,15-10-1电子的轨道磁矩,电子环电流：,轨道磁矩：,电子的角动量：,轨道磁矩矢量式：,旋磁比：,玻尔的量子化条件：,玻尔磁子：,电子磁矩与磁场的相互作用能：,电子轨道磁矩沿z轴的分量式,结论：能量E与磁量子数ml有关。,在外磁场作用下，原来的一个能级将分裂成（2l+1）个能级。,15-10-2电子的自旋,银原子束经过非均匀磁场后分裂成两束，在照相底片上留下两条感光条纹。,按照经典电磁学理论,如果磁矩的空间取向呈量子化,费浦斯和泰勒实验:,基态的氢原子（l=0）,实验结果：氢原子束分裂为两束。,1925年，乌伦贝克和哥德斯密特曾经提出：电子除了具有轨道角动量外还具有内禀角动量。这是由于电子绕自身轴旋转所引起的，故称为自旋角动量，简称自旋。,自旋量子数：s,电子自旋角动量：,自旋角动量在外磁场方的分量：,称为自旋磁量子数,自旋磁矩的z分量：,因为,结论：自旋电子在空间只有两种可能的取向。,费米子：,玻色子：,与的关系：,15-10-3原子的壳层结构,四个量子数：,主量子数n（n=1，2，3，）用于确定原子中电子能量的主要部分；,轨道量子数（l，l=0，1，2，n-1），用于确定电子的轨道角动量；,磁量子数ml，（ml=0，1，2，l），用于确定轨道角动量的空间取向。,自旋量子数ms，（ms=1/2），用于确定自旋角动量的空间取向。,泡利不相容原理：,在一个原子中不可能有两个或两个以上的电子处于相同的状态，即不可能具有相同的四个量子数。,给定的主量子数n：,轨道量子数l取值：0，1，2，n-1，共n个；,磁量子数ml取值：0，1,2,l,共2l+1个；,自旋量子数ms取值：1/2，-1/2，共2个。,n：,原子的壳层结构模型：,主壳层,次壳层,n=1，l=0,ml=0,ms=1/2，-1/2,K壳层s次壳层：两个电子,n=2，l=0,ms=1/2，-1/2,L壳层s次壳层：两个电子,n=2，l=1,，ms=1/2，-1/2,L壳层p次壳层：六个电子,L壳层共有八个电子。,原子壳层和次壳层上最多可能容纳的电子数,l,n,能量最小原理：在原子处于正常状态下，每个电子趋于占据最低的能级。,能级：,主量子数n越大，能级越高。,当n一定时，轨道量子数l越大，能级越高。,能级判断法则：,值较大者相应的能级较高。,例：4s态,3d态,结论：电子首先占据4s态，再占据3d态。,氢原子（Z=1）,氦原子（Z=2）,锂原子（Z=3）,铍原子（Z=4）,硼原子（Z=5）,碳、氮、氧、氟和氖,氖原子（Z=10）,第一周期,第二周期,氖：电子正好填满K和L壳层，因此最稳定。,例10假设氢原子处于l=3状态，求轨道角动量L及其与z轴方向的夹角和投影值Lz。,解：,15-11激光,世界上第一个激光器红宝石激光器，诞生于1960年。,激光：laser,Lightamplificationbystimulatedemissionofradiation,受激辐射的光放大,15-11-1光的吸收和辐射,基态E1,受激吸收：,自发辐射：,受激辐射：,受激辐射的特点结论：受激辐射产生的光子与原来的光子具有完全相同的状态。,结论：受激辐射而得到的光是相干光。,15-11-2粒子数反转,基态原子：,产生激光的必要条件：实现粒子数反转。,激活介质：能够实现粒子数反转的物质，具有亚稳态的原子结构。,激励（泵浦）：实现粒子数反转的过程。,红宝石激光器（三能级系统）,(10-8s),(10-3s),光抽运550.0nm,694.3nm,氦氖激光器（四能级系统）,(10-8s),(10-3s),15-11-3光学谐振腔,谐振腔长度：,谐振腔的作用：,（1）维持光振荡，起到光放大作用。,（2）使激光产生极好的方向性。,（3）使激光的单色性好。,谐振腔的选频：