上海大学代数系统练习题.ppt

代数系统练习题,【例7.1】设R是实数集，定义R上的二元运算*为：x,yR，x*y=x|y|其中x|y|为实数x与实数y的绝对值的乘法运算，证明是一个半群。证明：显然，x,yR，则x|y|R，故运算*在R上封闭。接下来只需验证*满足结合律。x,y,zR，有(xy)z=(xy)|z|=(x|y|)|z|=x|y|z|x(yz)=x|yz|=x|y|z|=x|y|z|所以，(xy)z=x(yz)，故是一个半群。,例7.2中的群G,*叫做Klein四元群，简称四元群。Klein四元群有以下4个特点：,e为G中的单位元。*运算是可交换的。G中每个元素的逆元都是自己。a,b,c三个元素中任何两个元素的*运算结果都等于第三个元素。由于群G中有幺元且每一个元素都有逆元，所以可以定义G中元素的0次幂和负整数次幂。定义x0=e，xG，nI+，定义xn(x1)n,【例1】设是n阶阿贝尔群，令f是从G到G的一个映射，定义为：f(x)=x1，验证f是自同构。证明：x,yG，f(x*y)=(x*y)1=y1*x1=x1*y1=f(x)*f(y)当xy时，如果x1=y1，则x=(x1)1=(y1)1=y，矛盾。所以x1y1，即f(x)f(y)，f是单同态。xG，x=(x1)1，x1G，使f(x1)=(x1)1=x，故f是满同态。从而f是自同构。【例2】设G是所有代数系统的集合，则G中代数系统之间的同构关系是G上的等价关系。证明：G，恒等映射IA是由A到A的双射函数，显然，IA是由到同构，所以，即自反性成立。设，设g是由到的同构映射，则g1是由到的同构映射，即对称性成立。,设且，f是由到的同构映射，g是由到的同构映射，则gf是由到的同构映射，即传递性成立。所以G中代数系统之间的同构关系是等价关系。定理7.6.2设f为由代数系统到代数系统的一个同态映射。如果是半群，那么同态像也是半群。如果是独异点，那么同态像也是独异点。如果是群，那么同态像也是群。证明：设是半群，a,bf(A)，必有x,yA，使f(x)=a,f(y)=b因为是半群，必有x*yA，于是ab=f(x)f(y)=f(x*y)f(A)，即在f(A)上封闭。a,b,cf(A)，必有x,y,zA，使得f(x)=a，f(y)=b，f(z)=c,(ab)c=(f(x)f(y)f(z)=f(x*y)f(z)=f(x*y)*z)=f(x*(y*z)=f(x)f(y*z)=f(x)(f(y)f(z)=a(bc)即在f(A)上满足结合律。所以是半群。设是独异点，e是A中的幺元。af(A)，必有xA，使得f(x)=a，于是af(e)=f(x)f(e)=f(x*e)=f(x)=af(e)a=f(e)f(x)=f(e*x)=f(x)=a即f(e)是f(A)中的幺元。因此是独异点。设是群，af(A)，必有xA，使得f(x)=a，因为是群，x1A且f(x1)f(A)，于是af(x1)=f(x)f(x1)=f(x*x1)=f(e)f(x1)a=f(x1)f(x)=f(x1*x)=f(e)所以a1=f(x)1=f(x1)f(A)。因此是群。,【例7.16】设Q,是有理数加法群，Q-0,是非零有理数乘法群，试证明群Q,和群Q-0,不同构。证明：假设群Q-0,和群Q,同构，同构映射为f：Q-0Q，由定理7.6.3知f(1)=0，于是f(1)f(1)=f(1)(1)=f(1)=0，从而f(1)=0，f不是双射，与f是同构映射矛盾。所以群Q,和群Q-0,不同构。定理7.6.4设f为由群到群的一个同态映射，如果是的子群，则也是的子群。证明：设e1和e2分别是G1和G2中的幺元，由定理7.6.3知e2=f(e1)f(H)，所以f(H)非空。a,bf(H)，必有x,yH，使得f(x)=a,f(y)=b，于是ab1=f(x)f(y)1=f(x)f(y1)=f(x*y1)由于是的子群，所以x*y1H，因此f(x*y1)f(H)，从而是的子群。,【例7.20】证明代数系统是循环群。证明：前面已经说明是群，0是单位元。0的逆元是0，xN6且x0，x1=6x。考察1N611=112=161=213=1261=261=314=1361=361=4,15=1461=461=516=1561=561=0由此可见，元素1是群的生成元，N6=(1)，是循环群。可以验证5也是群的生成