15-4一维势阱和势垒

1,16-3一微无限深方势阱中的粒子一、一维无限深方形势阱二、薛定谔方程和波函数三、旧量子论的半经典解释,2,举几个小例1)说明量子力学解题的思路2)了解量子力学给出的一些重要的结论,3,1.由粒子运动的实际情况正确地写出势函数U(x)2.代入定态薛定谔方程3.解方程4.解出能量本征值和相应的本征函数5.求出概率密度分布及其他力学量,一、量子力学解题的一般思路,4,二、几种势函数,1.自由粒子,2.方势阱,无限深方势阱能级结构问题,5,是实际情况的极端化和简化,三维方势肼,6,3.势垒,7,4.其他形式,8,一、一维无限深方形势阱,功函数,9,特点：,粒子在势阱内受力为零势能为零在阱内自由运动在阱外势能为无穷大在阱壁上受极大的斥力不能到阱外,10,1.势函数,粒子在阱内自由运动不能到阱外,二、薛定谔方程和波函数,阱外,11,2.哈密顿量,3.定态薛定谔方程阱外：,阱内：,12,根据波函数有限的条件阱外,1)阱外,4.分区求通解,13,令,2)阱内,为了方便将波函数脚标去掉,将方程写成,通解,式中A和B是待定常数,14,5.由波函数标准条件和边界条件定特解通解是,(1)解的形式,解的形式为,(2)能量取值,15,A已经为零了B不能再为零了即,只能sinka等于零,要求,能量可能值,16,1)每个可能的值叫能量本征值,2)束缚态粒子能量取值分立(能级概念)能量量子化3)最低能量不为零波粒二象性的必然结果请用不确定关系说明4)当n趋于无穷时能量趋于连续5)通常表达式写为,L-阱宽,17,(3)本征函数系由归一性质定常数B,得,本征函数,18,考虑到振动因子,（驻波解）,6.定态波函数,19,7.概率密度,20,小结：本征能量和本征函数的可能取值,21,22,量子经典,玻尔对应原理,23,三、旧量子论的半经典解释,粒子在阱外的波函数为零,允许的波长为:,粒子的动量,粒子在势阱内动量为,阱内的波函数在阱壁上的值也必为零（驻波）,量子化,由波函数的连续性,24,能量量子化是粒子的波动性和边界条件的必然,允许的波长为:,25,16-3一维势阱和势垒问题,一、一维无限深方势阱,对于一维无限深方势阱有,势阱内U(x)=0，哈密顿算符为,定态薛定谔方程为,令,薛定谔方程的解为,26,根据，可以确定=0或m，m=1,2,3,。于是上式改写为,所以,由此式知：一维无限深方势阱的能谱是分立谱,这个分立的能谱就是量子化了的能级。,27,与能量本征值En相对应的本征函数n(x)为,归一化波函数为,一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度,稳定的驻波能级,28,得到两相邻能级的能量差,例题1设想一电子在无限深势阱，如果势阱宽度分别为1.010-2m和10-10m。试讨论这两中情况下相邻能级的能量差。,解：根据势阱中的能量公式,可见两相邻能级间的距离随着量子数的增加而增加，而且与粒子的质量m和势阱的宽度a有关。,29,在这种情况下，相邻能级间的距离是非常小的，我们可以把电子的能级看作是连续的。,当a=10-10m时,在这种情况下，相邻能级间的距离是非常大的，这时电子能量的量子化就明显的表现出来。,当a=1cm时,30,当n1时,能级的相对间隔近似为,化效应就不显著了，可认为能量是连续的，经典图样和量,子图样趋与一致。所以，经典物理可以看作是量子物理中,31,例题2.试求在一维无限深势阱中粒子概率密度的最大值的位置。,解：一维无限深势阱中粒子的概率密度为,将上式对x求导一次，并令它等于零,因为在阱内，即,只有,32,于是,由此解得最大值得位置为,例如,可见，概率密度最大值的数目和量子数n相等。,最大值位置,最大值位置,最大值位置,33,这时最大值连成一片，峰状结构消失，概率分布成为均匀，与经典理论的结论趋于一致。,相邻两个最大值之间的距离,34,二、势垒穿透和隧道效应,有限高的势垒,在P区和S区薛定谔方程的形式为,其中,在Q区粒子应满足下面的方程式,式中,35,用分离变量法求解，得,(P区),(Q区),(S区),在P区，势垒反射系数,在Q区，势垒透射系数,粒子能够穿透比其动能高的势垒的现象，称为隧道效应。如图是在隧道效应中波函数分布的示意图。,36,经典量子,隧道效应,37,解:波函数取其复共轭相乘并积分，得,38,把波函数的正交性和归一性表示在一起，,39,4势垒和隧道效应一、粒子进入势垒二、有限宽势垒和隧道效应三、隧道效应的应用,40,1.势函数,讨论入射能量E0区(EU0)粒子出现的概率0,U0x概率,本征波函数,概率密度,46,经典：电子不能进入EU的区域(因动能0)量子：电子可透入势垒若势垒宽度不大则电子可逸出金属表面在金属表面形成一层电子气,47,二、有限宽势垒和隧道效应,隧道效应,x=a,48,振幅为,波穿过势垒后将以平面波的形式继续前进(),称为势垒穿透或隧道效应,49,1.穿透系数,穿透系数会下降6个数量级以上,当,势垒宽度a约50nm以上时,此时量子概念过渡到经典,50,量子物理：粒子有波动性遵从不确定原理粒子经过II区和能量守恒并不矛盾只要势垒区宽度x=a不是无限大粒子能量就有不确定量E,x=a很小时P和E很大,2.怎样理解粒子通过势垒区,经典物理：从能量守恒的角度看是不可能的,51,三、隧道效应的应用,隧道二极管金属场致发射核的衰变,1.核的衰变,粒子怎么过去的呢?通过隧道效应出来的,对不同的核算出的衰变概率和实验一致,势垒高度,52,2.扫描隧道显微镜（STM）（ScanningTunnelingMicroscopy）,STM是一项技术上的重大发明用于观察表面的微观结构（不接触、不破坏样品）,原理：利用量子力学的隧道效应,53,E,A常量,样品表面平均势垒高度（eV）,54,55,某种型号的扫描隧道显微镜,56,57,58,基于STM工作原理或扫描成像方法的派生显微镜系列原子力(AFM)磁力分子力显微镜等等,用AFM得到的癌细胞的表面图象“原子和分子的观察与操纵”-白春礼P.98图4-8,59,操纵原子不是梦“原子书法”,1994年中国科学院科学家“写”出的平均每个字的面积仅百万分之一平方厘米“原子和分子的观察与操纵”-白春礼插页彩图13,硅单晶表面直接提走硅原子形成2纳米的线条,60,“扫描隧道绘画”,一氧化碳“分子人”“原子和分子的观察与操纵”-白春礼P.151图7-8,CO分子竖在铂片上分子人高5nm,61,1993年美国科学家移动铁原子，铁原子距离0.9纳米,“量子围栏”48个铁原子排列在铜表面证明电子的波动性,62,5一维谐振子一、势函数二、薛定谔方程及解三、与经典谐振子的比较,63,谐振子不仅是经典物理的重要模型也是量子物理的重要模型,如：,黑体辐射,场量子化,64,一、势函数选线性谐振子的平衡位置为坐标原点以坐标原点为零势能点则一维线性谐振子的势能为：,m是粒子的质量k是谐振子的劲度系数,是谐振子的角频率,65,二、薛定谔方程及解,解得：,n=0,1,2,66,线性谐振子波函数,线性谐振子位置概率密度,67,线性谐振子n=11时的概率密度分布,虚线代表经典结果经典谐振子在原点速度最大停留时间短粒子出现的概率小在两端速度为零出现的概率最大,68,能量特点：,(1)量子化等间距,符合不确定关系,概率分布特点:EU区有隧道效应,(