matlab第三章数值计算基础

MATLAB程序设计,殷利平lpyin,2020/5/11,南京信息工程大学,2,第3章数值运算基础,3.1多项式3.2线性代数3.3数据分析3.4插值3.5数字信号处理初步,2020/5/11,南京信息工程大学,3,3.1多项式,多项式的创建多项式的运算,2020/5/11,南京信息工程大学,4,（1）多项式的创建,直接输入系数向量创建多项式特征多项式输入法由多项式的根逆推多项式,2020/5/11,南京信息工程大学,5,P(x)=aoxn+a1xn-1+an-1x+a,P=a0a1a2an-1an,直接输入系数向量创建多项式,2020/5/11,南京信息工程大学,6,由于在MATLAB7中多项式是以向量的形式存储的，直接输入向量，MATLAB7将按降幂自动把向量的元素分配给多项式各项的系数。方法：在MATLAB的命令窗口直接输入多项式的系数矢量，然后利用转换函数poly2sym将多项式由系数矢量形式转换为符号形式,Exp3_1:输入系数矢量，创建多项式poly2sym(1-432)ans=x3-4*x2+3*x+2,2020/5/11,南京信息工程大学,7,特征多项式输入法,MATLAB7提供了poly函数，使用它可以由矩阵的特征多项式创建多项式。使用该方法生成多项式时，其首项的系数必为1。,Exp3_2:求矩阵的特征多项式系数，并转换为多项式系数,a=123;456;780;p=poly(a)p=1.0000-6.0000-72.0000-27.0000poly2sym(p)ans=x3-6*x2-72*x-27,2020/5/11,南京信息工程大学,8,由多项式的根逆推多项式,如果已知某个多项式的根，那么，使用poly函数，可以很轻松地产生其对应的多项式。,roots=-4-2+2i-2-2i5roots=-4.0000-2.0000+2.0000i-2.0000-2.0000i5.0000p=poly(roots)p=13-16-88-160disp(poly2sym(p)x4+3*x3-16*x2-88*x-160,2020/5/11,南京信息工程大学,9,（2）多项式的运算,多项式的求值求多项式的根多项式的四则运算多项式的微积分多项式的部分分式展开多项式拟合,2020/5/11,南京信息工程大学,10,产生误差估计,X是方阵,多项式的求值,2020/5/11,南京信息工程大学,11,例3.6教材P49“例3-5”,2020/5/11,南京信息工程大学,12,如何表示系数与根？,求多项式的根,2020/5/11,南京信息工程大学,13,例3.6教材P50“例3-6”,例3.7分别用两种方法求x5-5x4+3x3-6x2+4x-10根,思考：求x5+3x3+2x2+x+1在复数域中的根,a=1-53-64-10;r=roots(a)s=compan(a)r=eig(s),p=103211;r=roots(p),2020/5/11,南京信息工程大学,14,多项式的乘除法,deconv,conv,例3.7教材“例3-7”,2020/5/11,南京信息工程大学,15,多项式的微积分,2020/5/11,南京信息工程大学,16,“；”要吗？,2020/5/11,南京信息工程大学,17,多项式的部分分式展开,例3.11教材“例3-11”两个多项式的比为，求部分分式展开,2020/5/11,南京信息工程大学,18,函数格式,a=-4083;b=53-27;r,p,k=residue(b,a),2020/5/11,南京信息工程大学,19,多项式的拟合,2020/5/11,南京信息工程大学,20,例3.13求误差分式的6阶拟合多项式,x=(0:0.1:2.5);%生成0至2.5间隔为0.1的自变量y=erf(x);%计算误差函数p=polyfit(x,y,6)%求6阶拟合多项式x=(0:0.1:5);%生成0至5间隔为0.1的自变量y=erf(x);%计算误差函数f=polyval(p,x);%计算拟合函数的值plot(x,y,o,x,f,-)%绘图函数axis(0502),这是什么？,2020/5/11,南京信息工程大学,21,3.2线性代数,3.2线性代数3.2.1线性方程,x=ab,x=b/a,2020/5/11,南京信息工程大学,22,系统矩阵m=n（方阵系统）可以尝试计算精确解。mn（超定系统）可以尝试计算最小二乘解。ma=fix(15*rand(3,3)b=fix(15*rand(3,1)x=ab,例3.15a和b均为方阵，求方阵系统的根,a=fix(15*rand(3,3)b=fix(15*rand(3,3)x=ab,2020/5/11,南京信息工程大学,25,总结：,假如方阵a的各个行矢量线性相关，则方阵a为奇异阵，这也使线性方阵ax=b有无穷多组解。假如方阵a近似奇异矩阵，则反斜线运算因子将发出警告信息。假如方阵a确定是奇异矩阵，则反斜线运算因子将发出警告信息。,2020/5/11,南京信息工程大学,26,超定系统,定义：方程的个数多于自变量的个数的系统,求解方法：一般采用最小二乘法,例3.16求表3-1（P55）数据的最新二乘解,2020/5/11,南京信息工程大学,27,欠定系统,定义：未知数的个数比方程式的个数多的系统。调用格式：系统的解不唯一，能计算通解的基解。特解由QR法求解。格式如下：最小元素解：ab最小范数解：pinv(a)*b,例3.17P56“例3-17”例3.18P56“例3-18”,2020/5/11,南京信息工程大学,28,3.3数据分析,对命令行的约定,（1）若输入量X为矢量，则不论是行矢量还是列矢量，运算是对整个矢量进行的。（2）如输入量X为矩阵，则分式运算按列进行，即默认每列是由一个变量的不同“观察”所得的数据组成。适用范围：MATLAB的数据分析函数；所有的MATLAB函数。,2020/5/11,南京信息工程大学,29,基本命令,2020/5/11,南京信息工程大学,30,例3.19产生1004阶的随机数组A，计算A的最大值矢量、中位值矢量、平均值矢量和标准差矢量,A=randn(100,4);Amax=max(A)Amed=median(A)Amean=mean(A)Astd=std(A),思考：求100100阶的随机数组A，计算A的最大值矢量、中位值矢量、平均值矢量和标准差矢量,在进行统计运算时，按列进行运算，运算结果不是一个数组而是一个行矢量,2020/5/11,南京信息工程大学,31,协方差阵与相关阵,分析：一个矩阵位m方n列，则其协方差矩阵位n阶方阵correceof求矩阵的相关系数矩阵，其元素排列与谐方差矩阵相同，相关系数是衡量两个矢量线性关系密切的量，如两个矢量相等则为1；两者相互独立，则为0。,2020/5/11,南京信息工程大学,32,例3.20产生两个105阶的随机数组x和y，计算关于x和y的协方差和相关系数矩阵,x=rand(10,5);y=rand(10,5);cx=cov(x)cy=cov(y)cxy=cov(x,y)px=corrcoef(x)pxy=corrcoef(x,y),2020/5/11,南京信息工程大学,33,第三章数值运算基础,3.3数据分析3.3.4微分、差分与梯度,相邻元素的差分,n阶差分,指定的维数dim求n阶察看,2020/5/11,南京信息工程大学,34,例3.21计算三维数组的差分,a=rand(3,3,2)diff(a)diff(a,2)diff(a,3)diff(a,4)diff(a,5)diff(a,6),例3.22求向量sin（x）的13阶差分，设x由0,2pi均匀分布10个点组成。,x=linspace(0,2*pi,10);y=sin(x);dy=diff(y);%d2y=diff(y,2);%d3y=diff(y,3);%,2020/5/11,南京信息工程大学,35,微分、差分与梯度,2020/5/11,南京信息工程大学,36,v=-2:0.2:2;%生成-2到2间隔为0.2的自变量x,y=meshgrid(v);%产生数据网格z=x.*exp(-x.2-y.2);%计算zpx,py=gradient(z,.2,.2);%求二维梯度contour(x,y,z)%绘制等高线holdon%保持绘图quiver(x,y,px,py)%绘制矢量图holdoff,2020/5/11,南京信息工程大学,37,3.4插值,定义：插值是在已知的数据列中，估计别点的函数值。适用范围：信号处理图形分析插值种类：一维二维多维,2020/5/11,南京信息工程大学,38,一维插值,xi的范围不能超过x,1.nearest寻找最近数据点,由其得出函数值;2.linear线性插值(该函数的默认方法);3.spline样条插值,数据点处光滑-左导等于右导;4.cubic三次插值,2020/5/11,南京信息工程大学,39,例3.24用不同的方法计算sin(x)在pi/2点的值,X=0:0.2:pi;Y=sin(x);%给出X、Yinterp1(X,Y,pi/2)%缺省方法（线性插值方法）interp1(X,Y,pi/2,nearest)%最近方法interp1(X,Y,pi/2,linear)%线性方法interp1(X,Y,pi/2,spline)%三次样条方法interp1(X,Y,pi/2,cubic)%三次多项式,2020/5/11,南京信息工程大学,40,例3.25某检测参数f随时间t的采样结果如下表，用数值插值计算t=2,7,12,17,22,17,32,37,42,47,52,57时f的值,例3-23,2020/5/11,南京信息工程大学,41,例3.26P63“例3-23”,2020/5/11,南京信息工程大学,42,二维插值,1.nearest寻找最近数据点,由其得出函数值;2.linear线性插值(该函数的默认方法);3.spline样条插值,数据点处光滑-左导等于右导;4.cubic三次插值,2020/5/11,南京信息工程大学,43,例3.27二维插值四种方法的对比,x,y,z=peaks(7);%生成双峰函数值mesh(x,y,z)%绘制网格图xi,yi=meshgrid(-3:0.2:3,-3:0.2:3);%生成供插值的数据网格z1=interp2(x,y,z,xi,yi,nearest);z2=interp2(x,y,z,xi,yi,linear);z3=interp2(x,y,z,xi,yi,spline);z4=interp2(x,y,z,xi,yi,cubic);figure,mesh(xi,yi,z1)%绘制邻近点方法插值结果的网格图figure,mesh(xi,yi,z2)%绘制双线性方法插值结果的网格图figure,mesh(xi,yi,z3)%绘制三次样条方法插值结果网格图figure,mesh(xi,yi,z4)%绘制二重立方方法插值结果网格图,2020/5/11,南京信息工程大学,44,例3.27二维插值四种方法的对比,2020/5/11,南京信息工程大学,45,例3.28设z=x2+y2,对z函数在(0,1)(0,2)区间内进行插值,x=0:0.1:10;y=0:0.2:20;x,y=meshgrid(x,y);z=x.2+y.2;a=interp2(x,y,z,0.5,0.5)%b=interp2(x,y,z,0.50.6,0.4)%c=interp2(x,y,z,0.50.6,0.40.5)%d=interp2(x,y,z,0.50.6,0.40.5)%,2020/5/11,南京信息工程大学,46,V1=interp3(x,y,z,v,xi,yi,zi,method),多维插值,2020/5/11,南京信息工程大学,47,曲线拟合,p,s=polyfit(x,y,m),说明,根据采样点x和采样点函数值y，生产一个m次多项式p及其在采样点的误差向量S。其中x、y是两个等长的向量，p是一个长度为m1的向量,2020/5/11,南京信息工程大学,48,例2.29用一个5次多项式在区间0,2pi内逼近函数Sin(x)在给定区间上，均匀选择50个采样点x，并应用sin(x)计算采样点函数值y，然后利用5次多项式逼近。,x=linspace(0,2*pi,50);y=sin(x);p,s=polyfit(x,u,5)%poly(x,y,k*,x,polyval(p,x),k-),说明,*曲线是sin(x)，实线是p(x),函数polyval(p,x)是一个matlab函数，返回多项式p(x)的值,2020/5/11,南京信息工程大学,49,3.5数字信号处理初步MATLAB提供了专门的信号处理工具箱（SignalProcessingToolbox）和滤波设计工具箱（FilterDesignToolbox）,以满足相关领域用户的需求。,2020/5/11,南京信息工程大学,50,3.5数字信号处理初步离散傅立叶变换离散傅立叶变换在通信、数据测试与分析及过程控制中有广泛的应用。,2020/5/11,南京信息工程大学,51,傅立叶原理表明：任何连续测量的时域或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加，而根据该原理创建的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。时域信号频域信号满足一定条件的函数三角函数,2020/5/11,南京信息工程大学,52,3.5数字信号处理初步3.5.2变换的实现,Y=fft(x),Y=fft(x,n),Y=f