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文档简介

,第十一章,积分学定积分二重积分三重积分,积分域区间域平面域空间域,曲线积分,曲线域,曲面域,曲线积分,曲面积分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,对面积的曲面积分,对坐标的曲面积分,曲面积分,曲线积分与曲面积分,第一节,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,二、对弧长的曲线积分的计算法,对弧长的曲线积分,第十一章,一、问题的提出,假设曲线形细长构件在平面所占,实例:曲线形构件的质量,匀质之质量,分割,求和,取极限,近似值,精确值,其线密度为,弧段为,二、对弧长的曲线积分的概念,1.定义,被积函数,积分弧段,积分和式,曲线形构件的质量,注意：,1.被积函数可代入曲线弧方程,2.存在条件：,4.推广,3.物理意义：,曲线形构件的质量,5.性质,(l为曲线弧L的长度),性质,特殊地,则有,若在上,三、对弧长曲线积分的计算,定理,注意:,特殊情形,(1)如果方程为极坐标形式:,则,推广:,例1,解,(1)L是由(0,0)点到(2,0)点间的直线段.,(2)L是上由(2,0)点到(2,3)点间的直线段.,(3)L是的上半圆周.,(4)L是连接由(1,0)点到(0,1)点间的直线段.,例,解,例2.计算,其中(1)L是抛物线,与点B(1,1)之间的一段弧.,解:,上点O(0,0),(2)L是折线OAB,其中,A(1,0),B(1,1),O(0,0).,说明:,积分路径起点与终点相同,但积分路径不同,积分值不一定相等.,例3,解,例4,解,由对称性,知,思考:例4中改为,计算,解:令,则,圆的形心在原点,故,如何,例5.计算,其中为球面,解:,化为参数方程,则,例6.计算,其中L为双纽线,解:在极坐标系下,它在第一象限部分为,利用对称性,得,补充：利用对称性化简第一类曲线积分计算,使用对称性时应注意：,.积分曲线关于坐标轴的对称性；,.被积函数在积分曲线上关于另外坐标轴的奇偶性,例.计算,其中L为右半单位圆,解:,其中L1为L在第一象限的部分,四、几何与物理意义,例7.计算半径为R,中心角为,的圆弧L对于它的对,称轴的转动惯量I(设线密度=1).,解:建立坐标系如图,则,例8.有一半圆弧,其线密度,解:,故所求引力为,求它对原点处单位质量质点的引力.,1.定义,2.性质,(l曲线弧L的长度),五、小结,3.计算,对光滑曲线弧,对光滑曲线弧,对光滑曲线弧,思考题,对弧长的曲线积分的定义中的符号可能为负吗？,解答,的符号永远为正，它表示弧段的长度.,思考与练习,1.已知椭圆,周长为a,求,提示:,原式=,利用对称性,分析:,2.设均匀螺旋形弹簧L的方程为,(1)求它关于z轴的转动惯量,(2)求它的质心.,解:设其密度为(常数).,(2)L的质量,而,(1),故重心坐标为,3.计算曲线积分,其中为螺旋,的一段弧.,解:,线,练习题,练习题答案,备用题,1.设C是由极坐标系下曲线,及,所围区域的边界,
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