信号与系统教材要点

.第一章 信号与系统1.2 信号因果系统：响应（零状态响应）不出现于激励之前的系统为因果系统。更确切的说，因果系统：对任意时刻或（一般可选或）和任意输入，如果（或），若其零状态响应（或）就称该系统为因果系统。因果信号：借用“因果”一词，常把时接入的信号（即在的信号）称为因果信号或有始信号。连续时间信号的周期求解例1.2-1 判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。（1） （2）分析：两个周期信号，的周期分别为和，若其周期之比为有理数，则其和信号仍然是周期信号，其周期为和的最小公倍数。解：（1）是周期信号，其角频率和周期分别为， 是周期信号，其角频率和周期分别为，由于 为有理数，故为周期信号，其周期为和的最小公倍数。（2）和的周期分别为，由于为无理数，故为非周期信号。离散周期信号举例例1.2-2 判断正弦序列f(k) = sin(k)是否为周期信号，若是，确定其周期。解： 式中称为数字角频率，单位：。由上式可见： 仅当为整数时，正弦序列才具有周期。当为有理数时，正弦序列仍为具有周期性，但其周期为，取使为整数的最小整数。当为无理数时，正弦序列为非周期序列。例1.2-3 判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。（1） （2）解：（1） 和的数字角频率分别为， 由于， 为有理数，故它们的周期分别为，故为周期序列，其周期为和的最小公倍数8。 （2）的数字角频率为 ；由于为无理数，故为非周期序列 。能量信号和功率信号（1）信号的能量 （2）信号的功率 一般规律：（1）一般周期信号为功率信号。（2）时限信号(仅在有限时间区间不为零的非周期信号)为能量信号。（3）还有一些非周期信号，也是非能量信号。如是功率信号；而、为非功率非能量信号；是无定义的非功率非能量信号。例1.2-4 判断并证明下列信号中哪些是功率信号，哪些是能量信号，哪些既不是功率信号也不是能量信号。（） （）（） （）解：（）显然是功率信号，即 （）显然是能量信号，即（）是能量信号，即（）是功率信号，显然有 复习提高题例1.2-4 判断并证明下列信号中哪些是功率信号，哪些是能量信号，哪些既不是功率信号也不是能量信号。（） （）（） （）解：（）周期信号，显然是功率信号，即 （）波形为余弦脉冲，显然是能量信号，即（）非能量信号非功率信号，有 （）是功率信号，显然有 1.3 信号的基本运算例1.3-1 已知如图所示，画出 。 方法一：方法二：方法三：根据信号端点值计算法函数-11-1-2010101例1.3-2 根据信号波形，画出的波形。解：方法一：包含反转、展缩和平移三种运算，可以按下列顺序处理。 反转 压缩 右移方法二：根据信号端点值计算法从上面分析可以看出，信号的反转、压缩和平移运算只是函数变换前自变量的简单变化，而变换前后信号端点的函数值不变。因此，可以通过端点函数值不变这一关系来确定信号变换前后其图形中各端点的位置。 设变换前的信号为，变换后为，与对应变换前信号的左右端点坐标，与对应变换后信号的左右端点坐标。由于信号变化前后的端点函数值不变，故有 ；根据上述关系可以求解出变换后的左右端点坐标与，即；。如例中，则有，。利用上述关系式计算得，。上述方法过程简单，特别适合信号从变换到的过程。因为此时若信号按原先的方法，需将信号经过先平移，后展缩，再反转的逆过程得到信号，再将信号经过先反转，后展缩，再平移的过程得到信号。若根据信号变换前后的端点函数值不变的原理，则可以很简便地计算出变换后信号的端点坐标，从而得到变换后的信号。其计算公式如下：；根据上述关系可以求解出变换后信号的左右端点坐标与，即；例1.3-4 已知信号的波形如图所示，试画出信号的波形。解：，则对应有 ，；，；，利用关系式计算得，即信号中的端点坐标对应变换后的信号中的端点坐标，端点坐标对应变换后的信号中的端点坐标。信号的波形如图所示。 列表计算：01121-140-3例1.3-5 已知的波形如图所示，试画出的波形。方法一： 时移反转展缩方法二： 反转时移展缩方法三： 展缩反转时移方法四： 时移展缩反转方法五：根据信号端点值计算法自变量函数值自变量值函数自变量依据上表中函数自变量=、对应函数值、及原函数波形可画出信号的波形如下图所示。【说明：在信号包含冲激函数，时进行尺度变换，根据，即可知中应包含冲激函数】例1.3-6 已知信号的波形如图所示，请画出的波形。解：方法一：函数计算法。从图可知 令 将其代入原式中得注： 其中是普通函数。有个互不相等的实根方法二： 思考 在的点对于而言（），即 ，需要经过，所以出现在处的冲激信号强度变为原来2倍。所以 1.6 系统的特性和分析方法P3 （1.23） P4 （1.25）P7 （1.214） （1.215）P13 （1.45） （1.46）P14 （1.47）; P17 （1.416） （1.417）; P16 （1.420）P18 （1.422a） （1.422b） （1.423）; P19 （1.425） （1.429）（1.430）P21 （1.436） （1.437a） （1.437b） 其中为普通函数，若的个根均为单根，即在处，则有 （1.439）这表明，是由位于各处，强度为的个冲激函数构成的冲激函数序列。 如果有重根，没有意义。P3 1.2-3 P13 1.4-5 1.4-6 狄拉克定义 1.4-7 1.4-9a 1.4-9b；P17 1.4-16 1.4-17；P18 1.4-23；P19 1.4-25；P21 1.4-36；1.4-38第一章 作业 1.9 已知信号的波形如图1-16 所示，分别画出和的波形。解：自变量函数值自变量值函数自变量第二、三章作业（2013年4月10日星期三）2.2 （2）,解: 所以 即 1.27 某连续系统，其初始状态一定，激励为时，其全响应为，若初始状态不变，激励为时，其全响应为，求初始状态不变，激励为时系统的全响应。解：设系统初始状态下系统的零输入响应为，激励为时，系统的零状态响应为，则由系统的可分解性可得 则当初始状态不变，激励为时，其全响应为 可求解的 则初始状态不变，激励为时系统的全响应为，即 ，课外补充题 （华中科技大学考研试题）五、（10分）一线性时不变系统有两个初始条件：。若（1）时，其零输入响应为； （2） 时，其零输入响应为，已知激励为，时，其全响应为，试求激励为，时的全响应。解：设仅由输入引起的零状态响应为 根据（1）（2），已知激励为， 时全响应 故 根据零输入响应的齐次性、可加性，零状态响应的齐次性，可得第2章 连续时间系统的时域分析2.1 LTI系统的响应例 微分方程，在时接入激励，求、在换路瞬间的跃变值。解：方法一：将激励代入微分方程即 说明：根据在时微分方程左、右端的及其各阶导数应该平衡相等的原理，方程右端存在，因此方程左端也必然有，而且一定是在最高阶导数中，则其降阶导数中就会有，响应变量中则，即在换路的瞬间响应变量有2个跃变。为了配平方程两端的函数，方程左端还需有，也一定是在最高阶导数中，同理中会有，即在换路的瞬间响应的一阶导数有个跃变。方法二：函数平衡法，即微分方程两边函数的最高次数应保持平衡。或者写为 设 可求的 代入原方程 解得 对式 两边取积分得 所以对式 两边取积分得 教材P44例 2.1-3 描述某LTI系统的微分方程为已知，求与教材不同的解法解法一：依据微分方程所以 解法二： 设 代回原微分方程得 解得 对式 两边取积分得 所以 对式 两边取积分得 所以 例 求系统，的零状态响应。解：零状态响应 用函数匹配法得零状态响应的初始条件为将初始条件及特解 代入上式得零状态响应为2.2 冲激响应和阶跃响应例 求下列微分方程所描述的系统的冲激响应。（1） （2）解：（1） 方法一：直接法特征根为 设冲激响应为 则代入原方程比较系数有 所以 方法二：直接法特征根为 设冲激响应为 则 依据教材可知 可得 方法三：转移算子法 所以 可见，在以上求冲激响应的方法中，转移算子法较简单。（2）转移算子法 所以例 系统的微分方程如下，试求其单位冲击响应。（1）；（2）。解：（1） （2） 例 某线性非时变系统的单位阶跃响应，求它的单位冲激响应。解：例 某LTI系统对输入的零状态为，的响应为，求该系统的单位冲激响应。解：由LTI系统的输入输出关系可得 所以 例 已知某LTI系统对输入的零状态响应 求该系统的单位冲激响应。解：利用 因此 2.3 卷积积分例 试求下图所示两个信号、的卷积积分，并画出波形。解： =上题修改一下题目不要求绘图例 试求下图所示两个信号、的卷积积分。解： =例 已知：（1）；（2）求和。解：由于卷积积分不易求逆运算，故解此题可用卷积的微风性质求解。（1）因为 即所以 （2）即 代入已知条件可得第四章 傅里叶变换和系统的频域分析4.1 信号分解为正交函数4.2 傅里叶级数例 将下图中作为激励信号经过线性非时变系统，从理论上讲可以产生或的波形吗？为什么？解：都不能产生。由图可见，、具有相同的。因为为奇函数，其频谱只有奇次谐波。又和都不是奇谐函数，其频谱必然含有偶次谐波。而线性时不变系统不会产生新的频率分量，故不能由产生和的波形。第一章 信号与系统 自测题一一、选择题（每题3分，共21分）（每题给出了四个答案，其中有一个是符合题意的，请将符合题意答案的序号写在横线上。）1、下列各式中，错误的是 。（1） （2） （3） （4）2、下列各式中，错误的是 。（1） （2）（3） （4）3、已知系统响应与激励的关系为 ，则该系统是 系统。（1）线性非时变非因果 （2）非线性非时变因果（3）线性时变 （4）线性时变因果4、已知系统响应与激励的关系为，则该系统是 系统。（1）线性非时变 （2）非线性非时变（3）线性时变 （4）非线性时变5、设系统的初始状态为，激励为，响应与激励和初始状态的关系为，则该系统是 系统。（1）线性非时变 （2）非线性非时变（3）线性时变 （4）非线性时变6、下列信号中为非周期信号的是 。（1） （2）（3） （4）7、信号是 运算的结果。（1）右时移2 （2）左时移2（3）左时移6 （4）右时移6二、填空题（每题3分，共21分）（请将算得的正确答案写在横线上。不必写求解过程。）1、下图所示信号的时域表达式= 。2、下图所示信号的时域表达式= 。3、已知，则= 。4、= 。5、= 。6、= 。7、已知，则= 。三、作图题（按题目要求绘出波形图或电路图等。）1、（5分）已知的波形如下图所示，试画出的波形。2、（5分）已知的波形如下图所示，试画出的波形。3、（5分）绘出信号的波形图。4、（5分）已知的波形如下图所示，试画出其导数的波形图。四、（13分）某线性非时变因果系统，在相同的初始状态下，已知当激励时的全响应为，当激励时的全响应为。求在初始状态不变，激励的波形如下图所示时的系统全响应。五、（13分）某线性非时变因果系统，当初始状态，激励时，其全响应为，当初始状态，激励时，其全响应为。求全响应的零输入响应和零状态响应。第二章 连续系统的时域分析 自测题二一、是非题（每题1分，共5分） （在每小题后（ ）内用“”表示对，用“”表示错。）1、零输入响应就是只有响应；零状态响应就是强迫响应。（ ）2、零输入响应是由初始状态所引起的响应，而初始状态是由系统内部的有限储能引起的。因此，确定零输入响应时所需初始值必须是未加入信号时的初始值。（ ）3、零输入响应是输入为零时，系统的初始状态所引起的响应；而单位冲激响应是状态为零时，输入为单位冲激所引起的响应，故二者的模式应不相同。（ ）4、线性时不变系统的单位冲激响应一定是一个因果信号；而零输入响应不一定就是因果信号。（ ）5、两个因果信号作卷积时，其结果也一定是一个因果信号。（ ）二、选择题（每题3分，共12分）（每题给出了四个答案，其中有一个是符合题意的，请将符合题意答案的序号写在横线上。）1、两信号波形如下图所示。设，则= 。2、如图所示电路的冲激响应电流= 。3、和波形如图所示，卷积= 。4、线性系统响应的分解特性满足 规律。（1）若系统的零状态响应为零，则零输入响应与只有相应相等。（2）若系统的激励信号为零，则零状态响应与自由响应相等。（3）一般情况下，零输入响应与系统特性无关。（4）若系统的强迫响应为零，则零输入响应与自由响应相等。三、填空题（每题3分，共12分）（请将算得的正确答案写在横线上。不必写求解过程。）1、已知系统微分方程和初始条件为，则系统的零输入响应为 。2、激励为，响应为的线性非时变因果系统描述方程为，则系统的冲激响应= 。3、卷积积分= 。4、卷积积分= 。期中考前复习（通信2009级）20110419典型例题第1章 信号与系统1、 根据下图信号写出信号的表达式。 分析：从的图形看，有扩展，有倒置，有时移，同时幅度也有增加。解：幅度：是的2倍；。倒置：是的自变量加负号；。扩展：是扩展3倍，其自变量乘；。时移：是右移2，其自变量减，即。所以 。例2 已知波形如下图所示，试画出的波形。 分析：这类题目也可以用宗量相等、函数值相等