新人教版第22章二次函数导学案(学生版)

.22.1 二次函数及其图像22.1.1 二次函数【学习目标】1. 了解二次函数的有关概念2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。3. 确定实际问题中二次函数的关系式。【自学过程 】【旧知回顾】1.若在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值， y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的 ，x叫做 。2. 形如的函数是一次函数，当时，它是 函数。【自主预习】预习课本28页-29页内容一、探究新知1若正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间的函数关系式为 。2. n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式 _3. 某产品现有年产量20t，计划今后两年增加产量。若每年都比上一年的产量增加x倍，两年后的 产量为y,y与x之间的关系式为 。 4. 观察上述1、2、3中函数关系式有哪些共同之处？ 。二、总结归纳：一般地，形如 ，（ ）的函数为二次函数。其中是自变量，是 ，b是 ，c是_三、合作交流：（1）二次项系数为什么不等于0？答： 。（2）一次项系数和常数项可以为0吗？答： .【当堂检测】1观察：；y200x2400x200；，这六个式子中二次函数有 。（只填序号）2. 是二次函数，则m的值为_3. 若物体运动的路段s（米）与时间t（秒）之间的关系为，则当t4秒时，该物体所经过的路程为 。 4.二次函数当x2时，y3时，则这个二次函数解析式为 5.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）若设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围22.1.2二次函数的图象【学习目标】1知道二次函数的图象是一条抛物线；2会画二次函数yax2的图象；3掌握二次函数yax2的性质，并会灵活应用（重点）【自学过程 】【旧知回顾】1描点法画一个函数图象的一般过程是 ； ； 。2.一次函数图象的形状是 ；一次函数有那些性质呢？【自主预习】预习课本30页-32页练习前内容一、探究新知 （一）画二次函数yx2的图象列表：x3210123yx2（3）（2）（1）在图（3）中描点，并连线1.思考：图（1）和图（2）中的连线正确吗？为什么？连线中我们应该注意什么？答：2.归纳： 由图象可知二次函数的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做 线；抛物线是轴对称图形，对称轴是 ；的图象开口 _； 与 的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是 ；它是抛物线的最 点（填“高”或“低”），即当x=0时，y有最 值等于0在对称轴的左侧，图象从左往右呈 趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈 趋势；即0时，随的增大而 。（二）例1在图（4）中，画出函数，和，的图象。解：列表：x432101234x432101234（4）归纳：（1）抛物线，的图象的形状都是 ；顶点都是_；对称轴都是_；二次项系数_0；开口都 ；顶点都是抛物线的最_点（填“高”或“低”） （2）抛物线，的图象的形状都是 ；顶点都是_；对称轴都是_；二次项系数_0；开口都 ；顶点都是抛物线的最_点（填“高”或“低”） 二、总结归纳1 抛物线的性质图象（草图）对称轴顶点开口方向有最高或最低点最值0当x_时，y有最_值，是_0当x_时，y有最_值，是_2.当0时，在对称轴的左侧，即 0时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 0时随的增大而 。当0时，在对称轴的左侧，即 0时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 0时随的增大而 。3在前面图（4）中，关于轴对称的抛物线有 对，它们分别是哪些？答： 。 由此可知和抛物线关于轴对称的抛物线是 。4当0时，越大，抛物线的开口越_；当0时， 越大，抛物线的开口越_；因此，越大，抛物线的开口越_。【当堂检测】1函数的图象顶点是_，对称轴是_，开口向_，当x_时，有最_值是_2. 二次函数的图象开口向下，则m_第4题图3. 二次函数ymx有最高点，则m_4. 二次函数y(k1)x2的图象如图所示，则k的取值范围为_ 5若二次函数的图象过点（1，2），则的值是_6抛物线 开口从小到大排列是_；（只填序号）其中关于轴对称的两条抛物线是 和 。7点A（，b）是抛物线上的一点，则b= ；过点A作x轴的平行线交抛物线另一点B的坐标是 。8.二次函数与直线交于点P（1，b）（1）求a、b的值；（2）写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小22.1.3二次函数的图象（一）【学习目标】 1知道二次函数与的联系 2.掌握二次函数的性质，并会应用；【知识链接】1.直线可以看做是由直线 得到的。2.若一个一次函数的图象是由平移（向上或向下）得到，并且过点（-1,3），求这个函数的解析式。由此你能推测二次函数与的图象之间又有何关系吗？猜想： 。【自主预习】预习32页33页练习前内容1、 探究新知 在同一直角坐标系中，画出二次函数，的图象x3210123解：列表、 描点、连线二、总结归纳：1.填表开口方向顶点对称轴有最高（低）点增减性2 可以发现，把抛物线向_平移_个单位，就得到抛物线； 把抛物线向_平移_个单位，就得到抛物线.3抛物线，的形状_开口大小相同。三、知识梳理：（一）抛物线特点： 1.当时，开口向 ；当时，开口 ； 2. 顶点坐标是 ； 3. 对称轴是 。（二）抛物线与形状相同，位置不同，是由 平移得到的。（填上下或左右） 二次函数图象的平移规律：上 下 。（3） 的正负决定开口的 ；决定开口的 ，即不变，则抛物线的形状 。 因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线值 。【当堂检测】1.抛物线向上平移3个单位，就得到抛物线_； 抛物线向下平移4个单位，就得到抛物线_2 抛物线向上平移3个单位后的解析式为 ， 它们的形状_，当= 时，有最 值是 。3 由抛物线向垂直方向平移，且经过（1,7）点的抛物线的解析式是 ， 是把原抛物线向 平移 个单位得到的。4. 写出一个顶点坐标为（0，3），开口方向与抛物线的方向相反，形状相同的抛物线解析式_5. 抛物线关于x轴对称的抛物线解析式为_6.二次函数的经过点A（1，-1）、B（2，5）.求该函数的表达式； 若点C(-2，),D（，7）也在函数图像上，求、的值。22.1.3二次函数的图象（二）【学习目标】 1会画二次函数的图象； 2.知道二次函数与的联系 3.掌握二次函数的性质，并会应用；【自学过程 】【旧知回顾】1.将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。2.将抛物线的图象向下平移3个单位后的抛物线的解析式为 。【自主预习】 预习33页-35页练习前内容1、 探究新知 画出二次函数，的图象；解： 先列表：432101234描点、连线二、总结归纳：（1）的开口向 ， 对称轴是直线 ， 顶点坐标是 。 图象有最 点，即= 时，有最 值是 ；在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 。 可以看作由向 平移 个单位形成的。（2）的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ， 图象有最 点，即= 时，有最 值是 ；在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时随的增大而 。可以看作由向 平移 个单位形成的。可以看作由向 平移 个单位形成的。三、知识梳理（一）抛物线特点： 1.当时，开口向 ；当时，开口 ； 2. 顶点坐标是 ； 3. 对称轴是直线 。（二）抛物线与形状相同，位置不同， 是由 平移得到的。（填上下或左右） 由学案可知二次函数图象的平移规律：左 右 ，上 下 。（3） 的正负决定开口的 ；决定开口的 ，即不变，则抛物线的形状 。 因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线值 。（四）抛物线与的单调性 （相同或不同）。【当堂检测】1 抛物线的开口_；顶点坐标为_； 对称轴是直线 ； 当 时，随的增大而减小； 当 时，随的增大而增大。2. 抛物线的开口_；顶点坐标为_；对称轴是直线 ； 当 时，随的增大而减小； 当 时，随的增大而增大。3. 抛物线的开口_；顶点坐标为_；对称轴是_；4.抛物线向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为_5. 抛物线向左平移3个单位后，得到的抛物线的表达式为_6将抛物线向右平移1个单位后，得到的抛物线解析式为_7抛物线与y轴的交点坐标是_，与x轴的交点坐标为_8. 写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线都相同的二次函数解析式_22.1.3二次函数的图象（三）【学习目标】1会画二次函数的顶点式的图象；2掌握二次函数的性质；【自学过程 】【旧知回顾 1.将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。 2.将抛物线的图象向左平移3个单位后的抛物线的解析式为 。【自主预习】预习35页36页例4前内容一、 探究新知 在右图中做出的图象：观察：1. 抛物线开口向 ；顶点坐标是 ；对称轴是直线 。2. 抛物线和的形状 ， 位置 。（填“相同”或“不同”）3. 抛物线是由如何平移得到的？答： 。二、合作交流平移前后的两条抛物线值变化吗？为什么？ 答： 三、总结归纳：结合上图和课本第35页例3归纳：（一）抛物线的特点： 1.当时，开口向 ；当时，开口 ； 2. 顶点坐标是 ； 3. 对称轴是直线 。（2） 抛物线与形状 ，位置不同，是由平移得到的。 二次函数图象的平移规律：左 右 ，上 下 。（三）平移前后的两条抛物线值 。【当堂检测】1.二次函数的图象可由的图象（ ）A.向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到 B.向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到C.向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到 D.向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到2.抛物线开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x 时，y有最 值为 。3.若把函数的图象分别向下、向左移动2个单位，则得到的函数解析式为 。4. 顶点坐标为（2，3），开口方向和大小与抛物线相同的解析式为（ ）A B CD5. 一条抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，对称轴和抛物线相同，且顶点纵坐标为0，求此抛物线的解析式.6.填表：性质 方程开口方向顶点对称轴22.1.3二次函数的图象（四）【学习目标】 会用二次函数的性质解决问题；【自学过程 】【旧知回顾】1. 抛物线开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ， 当x 时，y有最 值为 。当 时，随的增大而增大.2. 抛物线是由如何平移得到的？ 答： 。【自主预习】1. 抛物线的顶点坐标为（2，-3），且经过点（3,2）求该函数的解析式？ （分析：如何设函数解析式？写出完整的解题过程。）2.例4：要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？ 解：分析：由题意可知：池中心是 ，水管是 ，点 是喷头，线段 的长度是1米，线段 的长度是3米。 已知条件可设抛物线的解析式为 。抛物线的解析式中有一个待定系数，所以只需再确定 个点的坐标即可，这个点是 。 求水管的长就是通过求点 的 坐标。【当堂检测】1.如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米. AO= 3米，现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系.(1) 直接写出点A及抛物线顶点P的坐标；(2) 求出这条抛物线的函数解析式；2.如图抛物线与轴交于A,B两点，交轴于点D，抛物线的顶点为点C（1） 求ABD的面积。（2） 求ABC的面积。（3） 点P是抛物线上一动点，当ABP的面积为4时，求所有符合条件的点P的坐标。（4） 点P是抛物线上一动点，当ABP的面积为8时，求所有符合条件的点P的坐标。（5） 点P是抛物线上一动点，当ABP的面积为10时，求所有符合条件的点P的坐标。22.1.4二次函数的图象【学习目标】1.能通过配方把二次函数化成的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标。2熟记二次函数的顶点坐标公式；3会画二次函数一般式的图象【自学过程 】【知识链接】 1.抛物线的顶点坐标是 ；对称轴是直线 ；当= 时有最 值是 ；当 时，随的增大而增大；当 时，随的增大而减小。2. 二次函数解析式中，很容易确定抛物线的顶点坐标为 ，所以这种形式被称作二次函数的顶点式。【自主预习】自主探究 问题：（1）你能直接说出函数 的图像的对称轴和顶点坐标吗？ （2）你有办法解决问题（1）吗？解：的顶点坐标是 ，对称轴是 .（3）用配方法把下列二次函数化成顶点式： 合作探究（4）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式从而直接得到它的图像性质.（5）归纳：将二次函数进行配方，得到因此，抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴：开口方向对称轴顶点坐标单调性（6）用顶点坐标和对称轴公式也可以直接求出抛物线的顶点坐标和对称轴，这种方法叫做公式法。 用公式法写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。 【达标检测】1二次函数y=3x22x1的图像是开口方向_，顶点是_， 对称轴是_2二次函数y=2x2bxc的顶点坐标是（1，2），则b=_，c=_3.抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ， 当x 时，函数值y随x的增大而减小；当x 时，函数值y随x的增大而增大。 当x= 时，函数有最 值，是y= 4二次函数y=x23x的图像是由函数y=x2的图像先向_平移_个单位，再向_平移_个单位得到的5已知二次函数y=x22（m1）xm22m3的图像与函数y=x26x的图像交于y 轴一点，则m=_6如右图所示，已知抛物线y=ax2bxc的图像， 试确定下列各式的符号 a_0，b_0，c_0；abc_0，abc_07函数y=（x1）（x2）的图像的对称轴是 ，顶点为 8下列关于抛物线y=x22x1的说法中，正确的是（ ） A开口向下B对称轴为直线x=1 C与x轴有两个交点D顶点坐标为（1，0）22.1.5用待定系数法求二次函数的解析式【学习目标】 1.能根据已知条件选择合适的二次函数解析式； 2.会用待定系数法求二次函数的解析式。【自学过程 】知识链接：1已知正比例函数经过点（2，3），求正比例函数解析式。 2已知直线过点（-1，2）和点（0,4），求该函数的解析式. 自主探究1二次函数解析式通常有三种形式：一般式 ；顶点式 。 交点式 2若二次函数yx22xa21的图象经过点(1，0)，则a的值为 3已知抛物线的对称轴为直线x2，与x轴的一个交点为则它与x轴的另一个交点为_4.自主学习读课本39-40页探究题5.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步， ：先设出二次函数的解析式，如或， 或，其中a0；第二步， ：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步， ：解此方程或方程组，求待定系数；第四步， ：将求出的待定系数还原到解析式中【合作探究】1已知抛物线经过点A（1，0），B（4，5），C（0，3），求抛物线的解析式2.已知抛物线顶点为（1，4），且又过点（2，3）求抛物线的解析式3已知二次函数yax2bxc的图像与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），求二次函数的顶点坐标达标检测：1已知二次函数的图象的顶点坐标为（2，3），且图像过点（3，1），求这个二次函数的解析式2已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式3.已知二次函数的图象过点（1，2），则的值为_4. 一条抛物线经过点与.求这条抛物线的解析式.5. 已知抛物线的顶点坐标为（1，4），与轴两交点间的距离为6，求此抛物线的函数关系式.6.已知一抛物线与x轴的交点是，B（1，0），且经过点C（2，8）. （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标.7. 如图所示，已知二次函数的图象经过A(2，0)，B(0，-6)两点(1)求这个二次函数的解析式； (2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求ABC的面积拓展延伸8.如图，直线交轴于点A，交轴于点B，过A,B两点的抛物线交轴于另一点C（3,0），（1）求该抛物线的解析式； 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.22.2 二次函数与一元二次方程(一）【学习目标】1、 体会二次函数与方程之间的联系。2、 理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，【自学过程 】【知识链接】1.直线与轴交于点 ，与轴交于点 。2.一元二次方程，当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根；【自主预习】1.解下列方程（1） （2） （3）2.观察二次函数的图象，写出它们与轴的交点坐标：函数图 象交点与轴交点坐标是 与轴交点坐标是 与轴交点坐标是 3.对比第1题各方程的解，你发现什么？ 【知识梳理】 一元二次方程的实数根就是对应的二次函数与轴交点的 .（即把代入）二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为）二次函数与一元二次方程 与轴有 个交点 0，方程有 的实数根与轴有 个交点；这个交点是 点 0，方程有 实数根与轴有 个交点 0，方程 实数根. 二次函数与轴交点坐标是 .【当堂检测】1. 二次函数，当1时，_；当0时，_2抛物线与轴的交点坐标是 ，与轴的交点坐标是 ；（5）3.二次函数，当 _ 时，3（4）4.如图，一元二次方程的解为 。5.如图，一元二次方程的解为 。6. 已知抛物线的顶点在x轴上，则_7已知抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是_ 8. 若一元二次方程，则二次函数与轴的交点有 个；这两个交点的横坐标分别为 和 。 22.2二次函数与一元二次方程(二）学习目标 1. 能根据图象判断二次函数的符号； 2.能根据图象判断一些特殊方程或不等式是否成立。【知识链接】根据的图象和性质填表：（的实数根记为）（1）抛物线与轴有两个交点 0；（2）抛物线与轴有一个交点 0；（3）抛物线与轴没有交点 0.【自主预习】1.抛物线和抛物线与轴的交点坐标分别是 和 。抛物线与轴的交点坐标分别是 .2.抛物线，如图 开口向上，所以可以判断 。 对称轴是直线= ，由图象可知对称轴在轴的右侧， 则0，即 0， 已知 0，所以可以判定 0. 因为抛物线与轴交于正半轴，所以 0. 抛物线与轴有两个交点，所以 0；【知识梳理】的符号由 决定：开口向 0； 开口向 0.的符号由 决定： 在轴的左侧 ； 在轴的右侧 ； 是轴 0.的符号由 决定：点（0，）在轴正半轴 0；点（0，）在原点 0； 点（0，）在轴负半轴 0.的符号由 决定：抛物线与轴有 交点 0 方程有 实数根；抛物线与轴有 交点 0 方程有 实数根；抛物线与轴有 交点 0 方程 实数根； 特别的，当抛物线与x轴只有一个交点时，这个交点就是抛物线的 点.【当堂检测】1.利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式（1） 方程的根为_；（2） 方程的根为_；（3） 方程的根为_（4） 不等式的解集为_；（5）不等式的解集为_ _；2. 根据图象填空：（1）_ _0；（2） 0；（3） （3） 0;（4） 0 ;（5） _0；（6） ；（7） ；22.3实际问题与二次函数（一）学习目标 1.通过实际问题与二次函数关系的探究,让学生掌握利用顶点坐标解决最大值（或最小值）问题的方法. 2.通过对生活中实际问题的探究,体会数学建模思想.知识链接：1抛物线y(x1)22中，当x_时，y有_值是_2抛物线yx2x1中，当x_时，y有_值是_2.二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条 ,它的对称轴是 ,顶点坐标是 . 当a0时,抛物线开口向 ,有最 点,函数有最 值,是 ； 当 a0时,抛物线开口向 ,有最 点,函数有最 值,是 。【自主预习】 探究 1.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长L的变化而变化。当L是多少米时，场地的面积S最大？（1）矩形的一边长为Lm，则另一边长为?矩形的面积S怎样表示?（2）本题中有几个变量?分别是? S是L的函数吗? L的取值范围是什么?（3）利用什么知识来确定L是多少时S的值最大？归纳：一般地，因为抛物线的顶点是最低（高）点，所以知道它的顶点坐标，即可知道，二次函数何时取最值.【合作探究】 某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100x）件，应如何定价才能使利润最大？【当堂检测】1.用长为8m的铝合金条制成矩形窗框，问窗框的宽和高各是多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？2、 某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用长 为16m的旧墙，其余各面用木材围成栅栏，计划用木材围成总长为24m的栅栏，设每间羊圈与墙垂直的一边长x，三间羊围的总面积为S,则S与x的函数关系式是 ,x的取值范围是 当x= 时，面积S最 大，最大面积为 解题过程：3 某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空间对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用设每个房间每天的定介增加x元，求：（1）房间每天入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式；（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式，当每个房间的定价为多少元时，w有最大值？最大值是多少？22.3实际问题与二次函数（二）学习目标 1.通过实际问题与二次函数关系的探究,让学生掌握利用顶点坐标解决最大值（或最小值）问题的方法.2.通过对生活中实际问题的探究,体会数学建模思想.【旧知回顾】利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： (1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围。 (2)在自变量取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值【自主预习】 探究:某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？（1）题目中有几种调整价格的方法？ （2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况设每件涨价x 元，则每星期售出的商品利润Y随之变化。我们先来确定y随x变化的函数式。涨价x元时，每星期少卖 10x 件，销售量可表示为 : 销售额可表示为: 买进商品需付: 所获利润可表示为: 当销售单价为 元时,可以获得最大利润, 最大利润是 元.解题过程：【合作探究】思考：