第二章分段插值

分段插值,引言我们已经知道插值有多种方法：Lagrange插值、Newton插值、Hermit插值等多种方式。插值的目的就是数值逼近的一种手段，而数值逼近，为得是得到一个数学问题的精确解或足够精确的解。那么，是否插值多项式的次数越高，越能够达到这个目的呢？现在，我们来讨论一下这个问题。我们已经知道：f(x)在n+1个节点xi(i=0，1，2，n)上的n次插值多项式Pn(x)的余项设想当节点数增多时会出现什么情况。由插值余项可知，当f(x)充分光滑时时，余项随n增大而趋于0的，这说明可用增加节点的方法达到这个目的，那么实际是这样吗？,1901年龙格(Runge)给出一个例子:定义在区间-1，1上，这是一个光滑函数，它的任意阶导数都存在，对它在-1，1上作等距节点插值时，插值多项式情况，见图:,从图中，可见，在靠近-1或1时，余项会随n值增大而增大，如P12(0.96)=36!但f(0.96)=0.25,从图中，还可看见，在0附近插值效果是好的，即余项较小，另一种现象是插值多项式随节点增多而振动更多。这种插值多项式当节点增加时反而不能更好地接近被插之数的现象，称为龙格现象。,这个任意阶可导的光滑函数之所以出现这种现象，跟它在复平面上有x=1/5是奇点有关。俄罗斯数学家伯恩斯坦在1916年还给出如下定理：定理1：函数f(x)=|x|在-1，1上取n+1个等距节点x0=-1,xn=1,构造n次插值多项式Pn(x)，当n增大时，除了-1，0，1，三点外，在-1，1中任何点处Pn(x)都不收敛于|x|。上述现象和定理，告诉我们用高次插值多项式是不妥当的，从数值计算上可解释为高次插值多项式的计算会带来舍入误差的增大，从而引起计算失真。因此，实践上作插值时一般只用一次、二次最多用三次插值多项式。那么如何提高插值精度呢？采用分段插值是一种办法。,设f(x)是定义在a,b上的函数，在a,b上节点a=x0x1x2xn-1xn=b,的函数值为y0,y1,y2,yn-1,yn,若函数(x)满足条件(1)(x)在区间a,b上连续;(2)(x)在每个子区间xi,xi+1(i=0,1,2,n-1)上是次数为m的多项式;则称(x)是f(x)在a,b上的分段m次插值多项式。m=1称为分段线性插值m=2称为分段抛物线插值,定义：,分段线性插值的构造：由定义，(x)在每个子区间xi,xi+1(i=0,1,2,n-1)上是一次插值多项式;分段线性插值的余项：定理：设f(x)在a,b上有二阶连续导数f(x)，且|f(x)|m2,记：h=max|xi+1-xi|,就有估计：|f(x)-(x)|=|R(x)|m2h2/8，xa,b。注意到h随分段增多而减少，因此用分段法提高精度是很好的途径.证明：由Lagrange余项公式，当xxi,xi+1时|f(x)-(x)|=|R(x)|=|f()(x-xi)(x-xi+1)|/2!m2max|(x-xi)(x-xi+1)|/2m2h2/8，上式右端与小区间的位置无关，证毕。,分段线性插值曲线图：,例：设-1x1(1)将-1，110等份，用分段线性插值近似计算f(-0.96)。(2)将-1，1n等份，用分段线性插值近似计算,问如何选择步长h可使近似计算误差R10-4?解：(1)插值节点为xi=-1+i/5(i=0,1,10),h=1/5因为-0.96-1,-0.8,取此区间为线性插值区间，其上的插值函数为所以f(-0.96)(-0.96)=0.04253,(2)插值节点为xi=-1+ih(i=0,1,n),h=(b-a)/2=2/n由分段线性插值的余项估计：|f(x)-(x)|=|R(x)|m2h2/8,分段二次插值即：选取跟节点x最近的三个节点xi-1,xi,xi+1进行二次插值，即在区间xi-1,xi+1，取：这种分段的低次插值叫分段二次插值，在几何上就是用分段抛物线代替y=f(x)，故分段二次插值又和分段抛物插值。,实际上，上面介绍的分段低次插值，虽然具有计算简便，收敛性有保证，数值稳定性又好且易在计算机上实现等优点，但它却不能保证整条曲线的光滑性，从而不能满足某些工程技术上的要求，从六