《电磁场与电磁波》第1章课件.ppt

电磁场与电磁波,2015.9,电磁理论的发展历程,1820年，奥斯特发现电流的磁效应，随后安培得出安培力定律；,1831年，法拉第发现电磁感应定律；,1845年，法拉第引入“场”的概念；,1864年，麦克斯韦以“麦克斯韦方程组”建立了系统的电磁理论,1887年，赫兹用实验证实电磁波的存在及其光的特性,1895年，波波夫和马可尼实现了无线通信。,电磁场理论知识结构,第一章,矢量分析,基本要求,深刻理解标量场和矢量场的概念；,深刻理解散度、旋度和梯度的物理意义并熟练计算这三个度；,熟练使用直角坐标、圆柱坐标和球坐标进行矢量的微积分运算；,了解亥姆霍兹定理的内容,重点要求,在直角坐标、圆柱坐标和球坐标中计算矢量场的散度和旋度、标量场的梯度以及矢量的线积分、面积分和体积分。,又称数学场论;是研究各种类型场运动规律的数学工具;它的数学公式与场的物理概念紧密相关;把各种物理的场在数学上抽象成矢量场和标量场来研究。,矢量运算,矢量分析,矢量加法,矢量乘法,矢量微积分,1.1矢量场和标量场,场的重要属性：占有一个空间，且在该区域中，除开有限个点和某些表面外，场量是处处连续、可微的。,一.什么是场,如果在我们讨论的空间中的每一点都对应着某个物理量（场量）的一个确定的值，就说在这个空间里确定了该物理量的一个场。,在数学上，任何一个可以表示成空间和时间函数的量都可以称为场。,二.场的分类,动态场：场量与时间有关（时变场）f(x,y,z,t)A(x,y,z,t),标量场：场量是标量如：温度场T(x,y,z)、密度场(x,y,z),静态场：场量与时间无关（恒定场）f(x,y,z)A(x,y,z),矢量场：场量是矢量,如：速度场v(x,y,z)、力场F(x,y,z),2.图示法：,u(x,y,z)：等值面、等值线,u(x,y,z)=c1,u(x,y,z)=c2,u(x,y,z)=c3,A(x,y,z)：矢线切向场量的方向，疏密程度场量的大小。,三.场的表示方法,1.数学法：,f=f(x,y,z),F(x,y,z)=exFx(x,y,z)+eyFy(x,y,z)+ezFz(x,y,z),手写体：,标量场,矢量场,复习：矢量的代数运算,1.矢量加法：,定义：按平行四边形或三角形法则相加,运算法则：,a.A+B=B+A,b.A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C),c.AB=A+(-B),d.若A=exAx(x,y,z)+eyAy(x,y,z)+ezAz(x,y,z)B=exBx(x,y,z)+eyBy(x,y,z)+ezBz(x,y,z)则AB=ex(AxBy)+ey(AyBy)+ez(AzBz)A=ex(Ax)+ey(Ay)+ez(Az),2.两个矢量的标量积（点积，点乘）：结果是标量,定义：AB=ABcos其中为A、B间的夹角,运算法则：,AB=BA(A+B)C=AC+BC,b.AA=A2,直角坐标中，AA=Ax2+Ay2+Az2,A在B方向上的投影,c.正交系中eiej=,1i=j0ij,直角系中AB=AxBx+AyBy+AzBz,AB=0AB（可作为两矢量相互垂直的判据）,3.两个矢量的矢量积（叉积、叉乘）：结果是矢量,定义：C=AB模值C=AB=ABsin方向CA,CB且A,B,C成右手螺旋关系,运算法则：,AB=-BAA(B+C)=AB+AC,b.AA=0,c.正交系中eiej=,1ij0i=j,直角系中AB=ex(AyBzAzBy)+ey(AzBx-AxBz)+ez(AxBy-AyBx),d.AB=0AB（可作为两矢量相互平行的判据）,4.三个矢量的混合积：,ABC,由行列式交换法则可得：(AB)C=(BC)A=(CA)B=-(BA)C=-(CB)A=-(AC)B,物理意义：以A、B、C为邻边的平行六面体的体积,1.2正交坐标系,正交坐标系简介,常用的正交坐标系有3种：,直角圆柱球,一.直角坐标系,单位矢量,任意矢量A在直角坐标系下的表达式,直角坐标系中,体积元,面积元,长度元矢量,直角坐标系中,A矢量：,B矢量：,（圆柱坐标系及球坐标系下相应知识）类似,二.圆柱坐标系,P(,z),P到z轴垂直距离与+x轴的夹角z,叉乘关系：(e)(e)(ez),2.点乘关系：,3.换算关系：,注意：ex、ey、ez是常矢量，模值为1，方向不变。e、e模值为1，但方向随变化，是的函数，是变矢。,4.位置矢量r：（从原点指向某点）,直角：r=exx+eyy+ezz,圆柱：r=e+ezz,5.线元矢量:（位移矢量）,6.面元矢量：,方向的定义：开表面与面积外沿的绕向呈右手螺旋关系,闭合面外法线方向,例如直角系中：dS=exdSx+eydSy+ezdSz,其中dSx=dydz，dSy=dxdz，dSz=dxdy分别是dS在yOz面，xOz面和xOy面上的投影,7.体积元：,直角系中,圆柱系中,dV=dxdydz,dV=dddz,圆柱系中：dS=edS+edS+ezdSz,dS=ddz，dS=ddz，dSz=dd,二球坐标系,e,z,x,y,er,e,O,r,P,P(r，),rP到球心距离,叉乘关系：(er)(e)(e),0r与+z轴的夹角,r在xOy面上的投影（）与+x轴的夹角,1i=j0ij,eiej=,2.点乘关系：,3.换算关系：,z,x,er,e,O,r,P,y,e,z,x,er,e,O,r,P,y,e,注意：er(，）、e(，）、e(）均不是常矢量,z,x,er,e,O,r,P,y,e,4.位置矢量：r=err,5.线元矢量:,6.矢量面元：,dS=erdSr+edS+edS,dS=rsinddr,7.体积元：,dV=r2sindrdd,dSr=r2sindd,dS=rddr,直角坐标与圆柱坐标系,圆柱坐标与球坐标系,直角坐标与球坐标系,o,q,r,z,单位圆,柱坐标系与球坐标系之间坐标单位矢量的关系,q,q,o,f,x,y,单位圆,直角坐标系与柱坐标系之间,坐标单位矢量的关系,f,四.坐标单位矢量之间的关系,1.3标量场的梯度,一.方向导数,定义：,标量场u(r)在l方向上的变化率,在直角坐标系中，dldx、dy、dz，全微分：,则u（r）在dl方向上的方向导数为,u沿x方向的变化率,例如：,在直角坐标系中,在圆柱坐标系中,在球坐标系中,二标量场的梯度,三梯度的性质,1.一个标量场的梯度构成一个矢量场。u矢量,2.在空间任何一点，梯度的方向总是与过该点的等值面相垂直，即梯度的方向与等值面的法线方向是一致的。,3.在空间任何一点，梯度的模都等于标量场在该点的方向导数可能取得的最大值。,证：,其中为u与dl之间的夹角,最大,即,当=0时，,4.在空间任何一点，梯度的方向都指向标量场场量增加的方向。,5.一个单值标量场梯度的线积分仅与曲线的起止点有关，而与曲线的形状无关。即一个单值标量场的梯度是一个保守的矢量场。,证：,得,若P1、P2重合，则,由,6.运算法则：,(uv)=(vu)=vu+uv,（fA）=Af+fA,（fA）=fA+fA,u=0,(u+v)=(v+u)=u+v,四.梯度的物理意义,在空间任何一点，标量场梯度的方向是该点标量场场量增加最快的方向；它的模是由该点向各个不同方向移动时场量可能有的最大增加率。,标量场的梯度是标量场的场量空间变化率。,例1.3.1已知R=ex(x-x)+ey(y-y)+ez(z-z),求证：,证：,同理可得：,(3)设有标量场，求证：以(x,y,z)为动点的梯度f（R）与以（x，y，z）为动点时的梯度f（R）之间有如下关系：,f（R）=-f（R）,其中：,同理,证明：,1.4矢量场的通量和散度,散度定理,一.矢量场的矢量线,1.矢量线的定义:,形象的描述矢量在空间分布的有向曲线,静电场中的电场线,磁场中的磁场线,例如：,2.矢量线的特点:,在矢量线上任意一点的切线方向都与该点的场矢量方向相同,3.矢量线的微分方程:,（1）定义式：,：矢量切线方向上的微分矢量,物理意义：与夹角为零。即，二者方向相同,（2）在直角坐标系下的形式,例1.4.1,已知：点电荷位于坐标原点，任意场点的（x,y,z）处的电场强度，,其中为介电常数，位置矢量：求：的矢量线,解：,代入方程组得,即,解方程组得,一.矢量场的通量,1.通量的定义:,(1)矢量场A穿过面元dS的通量：,(2)矢量场A穿过开表面S的通量：,(3)矢量场A穿过闭合面S的通量：,2.通量的物理意义：,以流体为例，若,每秒有净流量流出，包面内有正源,每秒有净流量流入，包面内有负源,每秒流入包面和流出包面的净流量相等，包面内无源，或正源与负源相等,二.矢量场的散度,1.散度的定义:,2.散度的数学计算式:,式中,定义为矢量微分算子，也叫汉密顿算符。,圆柱系中：,球系中：,3.矢量场散度的性质：,a.一个矢量场的散度在空间构成一个标量场。,b.矢量场的散度反映了矢量场在空间各点的净通量状态,有散场有散场无散场,c.散度具有通量体密度的量纲。,d.,三.散度定理（高斯定理）,定理内容：设在空间有一闭合曲面S，它所包围的空间体积为V，如果矢量场A在S和V上都是连续可导的，则,表明了矢量场通过闭合面发出的净通量与矢量场在曲面内的通量源之间的关系。,1.5矢量场的环量和旋度,斯托克斯定理,一.矢量场的环量（环流）,1.矢量场做功：,2.环流的定义：,直角系中,圆柱系中,球系中,3环量的物理意义：,表明c包围涡旋源,表明c不包含涡旋源,水流沿平行于水管轴线方向流动=0，无涡旋运动,流体做涡旋运动0，有产生涡旋的源,例：流速场,二.矢量场的旋度,1.旋度的定义：,对M点，仿照散度的定义，取,（环流面密度）,显然，上面的算式与积分路径的选取有关,定义：,其中n是最大环流密度所在环路的单位法线方向,(rotation),柱坐标：,2.旋度的数学计算式：,直角坐标：,球坐标：,求A=exx2+eyy2+ezz2沿着xy面上的一个闭合回路c的线积分。如图所示，再计算A。,解：回路c在xOy面上，dz=0,=0,例1.6,讨论：A=exx2+eyy2+ezz2=err2是辐射状的场，必定是无旋的。,A=exx2+eyy2+ezz2,3.旋度的性质：,a.一个矢量场的旋度构成一个新的矢量场。,b.分类：有旋场、无旋场,c.旋度具有环流面密度的量纲。,d.(A+B)=A+B,(A)=0,说明任一矢量场的旋度一定是无散的。反过来也成立，即若B=0，则一定对应着一个矢量场A，使B=A。,三.斯托克斯（stockes)定理,1.6无旋场和无散场,1、定义：一个矢量场，对任意闭合路径都有,无旋场对应着一个标量场u,则称其为无旋场,一、无旋场,2、恒等式：梯度的旋度恒为零,证明：,1、定义：一个矢量场F，对任意闭合面都有,则称其为无散场,无散场对应着一个矢量场A-,二、无散场,2、恒等式：旋度的散度恒为零,证明：,=0,1.8亥姆霍兹定理,源是场的因，场同源一起出现。,若F=0，则F0散度源（通量源）,若F=0，则F0旋度源（涡旋源）,例：判断矢量场的性质,0,0,0,0,0,0,一、场与源的关系,二、亥姆霍兹定理的基本内容,一个矢量场只可能有两种源旋度源和散度源，此外，再无其它类型的源。若在给定边界空间中，一个矢量场的旋度和散度都给定了，则该矢量场的解是唯一确定