高中数学总复习课件：直线与圆锥曲线的位置关系

1.直线过点（2,4）与抛物线y2=8x只有一个公共点，这样的直线共有（ ）A.1条B.2条C.3条D.4条,B,因为点(2,4)在曲线上，所以当直线与抛物线相切时只有一条，而当直线与抛物线的对称轴平行时也有一条，故共有2条，故选B. 易错点：直线与抛物线相交，交点的问题应注意到直线的斜率k不存在，以及直线平行抛物线对称轴时的两种情况.,2.若双曲线 的两条渐近线恰好是抛物线y=ax2+的两条切线，则a的值为（ ）A.B.C.D. 易得双曲线的渐近线方程为y=x，由对称性可知，直线y=x与曲线y=ax2+相切，联立两方程消去y得ax2-x+=0，由= ，得a=，故选B.,B,3.已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是（ ）A.（1,2） B.（1,2C. D.（2,+）,C,可得双曲线的渐近线方程为y=x，过点F分别作两条渐近线的平行线l1和l2，由图形可知，符合题意的直线斜率的取值范围为，故选C. 易错点：直线与双曲线相交问题，应结合图形分析直线与渐近线平行、相切等极端位置.,4.过抛物线y2=4x的焦点，且倾斜角为 的直线交抛物线于P，Q两点，O为坐标原点，则OPQ的面积是 .,因为直线方程为x+y-1=0，即x=1-y.代入y2=4x，得：y2+4y-4=0，设P（x1,y1），Q（x2,y2），所以y1+y2=-4,y1y2=-4，所以所以故填,5.已知抛物线y2=2px（p0）的顶点为O焦点为F，点P为抛物线上一点，对于POF的形状有下列说法：可能为等腰三角形；可能为等腰直角三角形；可能为正三角形，其中正确的序号是. 结合图形当 时， ，不等于，也不等于，又因为通径长（过焦点F与对称轴垂直的弦长）为2p，则均不可能发生.故填.,，,1.直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离；相交有两个交点（特殊情况除外），相切只有一个交点，相离无交点.判断直线与圆锥曲线的位置关系，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y（或x）得变量x（或y）的方程：ax2+bx+c=0（或ay2+by+c=0）,若a0，可考虑一元二次方程的判别式，有：0直线与圆锥曲线相交；=0直线与圆锥曲线相切；0，得k21，即-1k0.,y2)，,又因为BC的长等于点(0，m)到直线l的距离即所以 =-(m+1)2+11，所以当m=-1时，AC边最长，(这时=-12+640)，此时AB所在直线的方程为y=x-1. 利用韦达定理、弦长公式可解答与弦中点有关的问题、弦长问题及弦所围成的三角形面积等高考常见热点问题.,已知抛物线y2=8x上一个定点M(x0,y0)(y00)，过点N(x0+4,0)与MN垂直的直线交抛物线于P，Q两点，若求MPQ的面积. 据题意得：=8x0 所以x0=2，y0=4，所以M (2,4)，N(6,0)， 所以,，,又因为y00，,，,因为MNPQ,所以kPQ=1，则直线PQ方程为：y=x-6， y=x-6 y2=8x所以又点M到直线PQ的距离为所以SMPQ=16 4 =64.,联立,，得：y2-8y-48=0，,重点突破：最值与范围问题 设F1，F2分别是椭圆 的左、右焦点，顶点A(0,-1).()若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；()是否存在斜率为k(k0)的直线l，使l与已知椭圆交于不同的两点M、N，且 若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.,()设点P(x,y) ，利用函数的最值来求解.()假设存在，设出直线方程，与椭圆联立，由转化为AP是线段MN的垂直平分线，利用根与系数的关系可判断.,()由题意知所以F1(- ,0)，F2( ,0)，设P(x,y)，则因为x ，故当x=0时，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值-1；当x=时，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值1.,()设存在满足条件的直线l，其方程为y=kx+b(k0)， y=kx+b则=36k2b2-4(3k2+1)(3b2-3)=36k2-12b2+设M(x1,y1)，N(x2,y2)，得：,由,得：(3k2+1)x2+6bkx+3b2-3=0，,120.,从而MN的中点P的坐标为因为所以AP是线段MN的垂直平分线，所以APMN，于是代入并整理得：（3k2+1）（k2-1）0，所以-1k1，故满足条件的直线l存在，其斜率k的范围为-1k0，只能x=,于是y=，所以点P的坐标是( ,).,=(x-4,y)，由已知可得：,()易得直线AP的方程是x- y+6=0，设点M(m,0)，则M到直线AP的距离是 ，于是=|m-6|，又-6m6，解得m=2，所以椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-由于-6x6，所以当x=时，d取得最小值 .,已知圆O：x2+y2=1，点O为坐标原点，一条直线l：y=kx+b(b0)与圆O相切并与椭圆 交于不同的两点A，B.()设b=f(k)，求f(k)的表达式；()若，求直线l的方程；()若求三角形OAB面积的取值范围.,()由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径可求得.()联立直线与椭圆方程，由根与系数关系可求得.()利用弦长公式及求最值的方法可得. ()因为y=kx+b(b0)与圆x2+y2=1相切，则即b2=k2+1(k0)，所以,y=kx+b ，消去y得：(2k2+1)x2+4kbx+2b2-2=0,所以=8k20(因为k0)，设A(x1,y1),B(x2,y2),则所以k2=1，k=1，则b2=2，又b0，所以b= ，所以直线l的方程为y=x+ 或y=-x+ .,()由,()由()知：因为 所以所以k21，由弦长公式得：设O到直线AB的距离为d，则d=1，,所以解得：本题考查直线与圆，直线与椭圆的位置关系，考查椭圆与向量，不等式等知识的综合交汇，考查转化与化归思想.,1.直线与圆锥曲线的位置关系可通过对直线方程与圆锥曲线方程组成的二元二次方程组的解的情况来讨论.(1)若方程组消元后得到一个一元二次方程，根据来讨论；,(2)若方程组消元后得到一个一元一次方程，则相交于一个公共点，需要注意的是，直线与圆锥曲线只有一个公共点时，未必一定相切，还有其他情况，如抛物线与平行(或重合)与其对称轴的直线，双曲线与平行于其渐近线的直线，它们都只有一个公共点，但不是相切，而是相交；,(3)直线与圆锥曲线的位置关系，还可以利用数形结合，以形助数的方法解决；(4)若讨论一线段与圆锥曲线或一直线与圆锥曲线的一部分（如双曲线的一支）的公共点个数，则应根据根的范围限制；(5)直线与圆锥曲线相交问题，解题时，注意应用韦达定理及“设而不求”的技巧.,2.利用数形结合和等价转化的思想，可以将某些最大值、最小值问题转化为求圆锥曲线的切线的斜率问题.3.圆锥曲线中的最值及范围问题求范围的方法同求最值及函数的值域的方法类似，常见的解法有两种：代数法和几何法.,4.遇到中点弦问题常用“根与系数关系”或“点差法”求解.若知道中点，则利用“点差法”的方法可得出过中点弦的直线的斜率.比较两种方法，用“点差法”的方法的计算量较少，此法解决有关存在性的问题时，要结合图形和判别式加以检验.,1.(2009全国卷)设双曲线(a0,b0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（ ）A. B. 2C. D.,C,由题双曲线(a0,b0)的一条渐近线方程为y=x，代入抛物线方程整理得ax2-bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2-4a2=0，即c2=5a2，所以e=，故选择C. 本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，为基础题.,2.(2009全国卷)已知椭圆C：(ab0)的离心率为,过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为 .()求a,b的值；()C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立?若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由.,()设F(c,0)，当l的斜率为1时，其方程为x-y-c=0，O到l的距离为故 解得c=1.由得,（）C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立.由（）知C的方程为2x2+3y2=6.设A（x1,y1）,B（x2,y2）.（）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=k（x-1）.C上的点P使成立的充要条件是P点的坐标为（x1+x2,y1+y2），且2（x1+x2）2+3（y1+y2）2=6,整理得,又A、B在C上，即故2x1x2+3y1y2+3=0.将y=k（x-1）代入2x2+3y2=6，并化简得（2+3k2）x2-6k2x+3k2-6=0,于是y1y2=k2（x1-1）（x2-1）=代入，解得k2=2,此时x1+x2=.,于是y