一元二次方程期末复习(提高卷)

一元二次方程期末复习（提高卷）1关于x的一元二次方程常数项为0，则值等于 2如果，那么x的值为 3m是方程的根，则式子的值为 4满足的整数有 个5已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程的根，则此三角形的周长为 6已知边长为的正方形的面积为8，则下列说法中错误的是 是无理数 是方程的解 是8的算术平方根 247若两个不等实数满足条件：，则= 8已知实数满足，则= 9对于实数定义运算ab=&a2-ab(ab)&ab-b2(ab).若是一元二次方程的两个根，则= 10已知实数满足，则代数式的最小值等于 11如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数的取值范围是 12已知整数5，若ABC的边长均满足关于的方程，则ABC的周长是 13已知：ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程的两个实数根（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB的长为2，那么ABCD的周长是多少？14已知关于的方程有两个正整数根，且是正整数，求的值.15如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，是RtABC和RtBED边长，易知AE=2c，这时我们把关于的形如ax2+2cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于的“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b=0必有实数根；（3）若是“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是62，求ABC面积16等腰ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D设P点运动时间为t，PCQ的面积为S（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，SPCQ=SABC？（3）作PEAC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论一元二次方程期末复习（提高卷）参考答案与试题解析1（2017河北模拟）关于x的一元二次方程（m1）x2+2x+m25m+4=0，常数项为0，则m值等于（）A1B4C1或4D0【考点】A2：一元二次方程的一般形式菁优网版权所有【解答】解：由题意，得m25m+4=0，且m10，解得m=4，故选：B2（2015烟台）如果x2x1=（x+1）0，那么x的值为（）A2或1B0或1C2D1【考点】A8：解一元二次方程因式分解法；6E：零指数幂菁优网版权所有【解答】解：x2x1=（x+1）0，x2x1=1，即（x2）（x+1）=0，解得：x1=2，x2=1，当x=1时，x+1=0，故x1，故选：C3（2017潮阳区模拟）m是方程x2+x1=0的根，则式子2m2+2m+2015的值为（）A2013B2016C2017D2018【考点】A3：一元二次方程的解菁优网版权所有【解答】解：m是方程x2+x1=0的根，m2+m1=0，即m2+m=1，2m2+2m+2015=2（m2+m）+2015=2+2015=2017故选C4（2012浙江校级自主招生）满足（n2n1）n+2=1的整数n有几个（）A4个B3个C2个D1个【考点】A3：一元二次方程的解；6E：零指数幂菁优网版权所有【解答】解：（1）n2n1=1，解得：n=2或n=1；（2）&n2-n-1=-1&n+2为偶数，解得：n=0；（3）&n2-n-10&n+2=0，解得：n=2故选：A5（2017历城区模拟）已知边长为a的正方形的面积为8，则下列说法中，错误的是（）Aa是无理数Ba是方程x23=0的解Ca是8的算术平方根D2a4【考点】A3：一元二次方程的解；26：无理数菁优网版权所有【解答】解：边长为a的正方形的面积为8，a=8=22，A，C，D都正确，故选B6（2017河北模拟）已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程（x3）21=0的根，则此三角形的周长为（）A10B12C14D12或14【考点】A3：一元二次方程的解；K6：三角形三边关系菁优网版权所有【解答】解：（x3）21=0，x3=1，解得x1=4，x2=2若x=4，则三角形的三边分别为4，4，6，其周长为4+4+6=14；若x=2时，64=2，不能构成三角形，则此三角形的周长是14故选：C7（2015株洲）有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中ac0，ac下列四个结论中，错误的是（）A如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C如果5是方程M的一个根，那么15是方程N的一个根D如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1【考点】AA：根的判别式；A3：一元二次方程的解；AB：根与系数的关系菁优网版权所有【解答】解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么=b24ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；B、如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么=b24ac0，ca0，所以a与c符号相同，ac0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确，不符合题意；C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得125c+15b+a=0，所以15是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（ac）x2=ac，由ac，得x2=1，x=1，结论错误，符合题意；故选：D二填空题（共6小题）8（2013黔东南州）若两个不等实数m、n满足条件：m22m1=0，n22n1=0，则m2+n2的值是6【考点】AB：根与系数的关系菁优网版权所有【解答】解：由题意知，m、n是关于x的方程x22x1=0的两个根，则m+n=2，mn=1所以，m2+n2=（m+n）22mn=222（1）=6故答案是：69（2012金牛区三模）已知实数x满足(x+2x)2-(x+2x)=6，则x+2x=3【考点】A9：换元法解一元二次方程菁优网版权所有【解答】解：设x+2x=y，则原方程可变形为y2y=6，解得y1=2，y2=3，当y1=2时，x+2x=2，=b24ac0此方程无解，当y2=3时，x+2x=3，=b24ac0此方程有解，x+2x=3；故答案为：310（2013临沂）对于实数a，b，定义运算“”：ab=&a2-ab(ab)&ab-b2(ab).例如42，因为42，所以42=4242=8若x1，x2是一元二次方程x25x+6=0的两个根，则x1x2=3或3【考点】A8：解一元二次方程因式分解法菁优网版权所有【解答】解：x1，x2是一元二次方程x25x+6=0的两个根，（x3）（x2）=0，解得：x=3或2，当x1=3，x2=2时，x1x2=3232=3；当x1=2，x2=3时，x1x2=3232=3故答案为：3或311（2014南通）已知实数m，n满足mn2=1，则代数式m2+2n2+4m1的最小值等于4【考点】AE：配方法的应用；1F：非负数的性质：偶次方菁优网版权所有【解答】解：mn2=1，即n2=m10，m1，原式=m2+2m2+4m1=m2+6m+912=（m+3）212，则代数式m2+2n2+4m1的最小值等于（1+3）212=4故答案为：412（2012德清县自主招生）如果方程（x1）（x22x+k4）=0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是3k4【考点】AB：根与系数的关系；AA：根的判别式；K6：三角形三边关系菁优网版权所有【解答】解：由题意，得：x1=0，x22x+k4=0；设x22x+k4=0的两根分别是m、n（mn）；则m+n=2，mn=k4；mn=(m+n)2-4mn=4-k；根据三角形三边关系定理，得：mn1m+n，即4-k12；&4-k1&4-k0，解得3k413（2013绵阳）已知整数k5，若ABC的边长均满足关于x的方程x23kx+8=0，则ABC的周长是6或12或10【考点】AA：根的判别式；A8：解一元二次方程因式分解法；K6：三角形三边关系菁优网版权所有【解答】解：根据题意得k0且（3k）2480，解得k329，整数k5，k=4，方程变形为x26x+8=0，解得x1=2，x2=4，ABC的边长均满足关于x的方程x26x+8=0，ABC的边长为2、2、2或4、4、4或4、4、2ABC的周长为6或12或10故答案为：6或12或10三解答题（共5小题）14（2014亳州一模）端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0m1）元（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出300+100m0.1只粽子，利润为（1m）（300+100m0.1）元（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？【考点】AD：一元二次方程的应用菁优网版权所有【解答】解：（1）300+100m0.1，（1m）（300+100m0.1）（2）令（1m）（300+100m0.1）=420化简得，100m270m+12=0即，m20.7m+0.12=0解得m=0.4或m=0.3可得，当m=0.4时卖出的粽子更多 答：当m定为0.4时，才能使商店每天销售该粽子获取的利润是420元并且卖出的粽子更多15（2011淄博）已知：ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2mx+m214=0的两个实数根（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB的长为2，那么ABCD的周长是多少？【考点】AD：一元二次方程的应用；L5：平行四边形的性质；L8：菱形的性质菁优网版权所有【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形，AB=AD，=0，即m24（m214）=0，整理得：（m1）2=0，解得m=1，当m=1时，原方程为x2x+14=0，解得：x1=x2=0.5，故当m=1时，四边形ABCD是菱形，菱形的边长是0.5；（2）把AB=2代入原方程得，m=2.5，把m=2.5代入原方程得x22.5x+1=0，解得x1=2，x2=0.5，CABCD=2（2+0.5）=516（2015黄冈中学自主招生）已知关于x的方程（m21）x23（3m1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）ABC的三边a、b、c满足c=23，m2+a2m8a=0，m2+b2m8b=0求：（1）m的值；（2）ABC的面积【考点】AB：根与系数的关系；A1：一元二次方程的定义；A3：一元二次方程的解；A8：解一元二次方程因式分解法；KH：等腰三角形的性质；KQ：勾股定理；KS：勾股定理的逆定理菁优网版权所有【解答】解：（1）关于x的方程（m21）x23（3m1）x+18=0有两个正整数根（m是整数）a=m21，b=9m+3，c=18，b24ac=（9m3）272（m21）=9（m3）20，设x1，x2是此方程的两个根，x1x2=ca=18m2-1，18m2-1也是正整数，即m21=1或2或3或6或9或18，又m为正整数，m=2；（2）把m=2代入两等式，化简得a24a+2=0，b24b+2=0当a=b时，a=b=22当ab时，a、b是方程x24x+2=0的两根，而0，由韦达定理得a+b=40，ab=20，则a0、b0ab，c=23时，由于a2+b2=（a+b）22ab=164=12=c2故ABC为直角三角形，且C=90，SABC=12ab=1a=b=22，c=23时，因2(2-2)23，故不能构成三角形，不合题意，舍去a=b=2+2，c=23时，因2(2+2)23，故能构成三角形SABC=12（23）3+42=9+122综上，ABC的面积为1或9+12217（2016濉溪县三模）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是RtABC和RtBED边长，易知AE=2c，这时我们把关于x的形如ax2+2cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b=0必有实数根；（3）若x=1是“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是62，求ABC面积【考点】AD：一元二次方程的应用；KR：勾股定理的证明菁优网版权所有【解答】（1）解：当a=3，b=4，c=5时勾系一元二次方程为3x2+52x+4=0；（2）证明：根据题意，得=（2c）24ab=2c24aba2+b2=c22c24ab=2（a2+b2）4ab=2（ab）20即0勾系一元二次方程ax2+2cx+b=0必有实数根；（3）解：当x=1时，有a2c+b=0，即a+b=2c2a+2b+2c=62，即2（a+b）+2c=6232c=62c=2a2+b2=c2=4，a+b=22（a+b）2=a2+b2+2abab=2SABC=12ab=118（2014江西模拟）等腰ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动